Per lo svolgimento di questo esercizio, non possiamo avvalerci degli sviluppi di Taylor fondamentali, in quanto la funzione di partenza una funzione composta, e lo sviluppo richiesto centrato in un punto diverso da zero.
Dobbiamo procedere, quindi, calcolando le derivate di ordine primo, secondo, terzo e quarto della funzione, e calcolare il valore da esse assunto nel punto
[math] x = 1[/math]
.
In questo caso, quindi, occorre applicare fedelmente la formula del polinomio di Taylor:
[math] T_n (f , x) = f(x_0) + f(x_0) (x - x_0) + \frac{f(x_0)}{2!} {(x - x_0)}^2 + + \frac{f^n(x_0)}{n!} {(x -x_0)}^n [/math]
Calcoliamo quindi il valore della funzione in 1, ovvero
[math] f(x_0)[/math]
:
[math] f(1) = 1^{\log(1)} = 1^0 = 1 [/math]
Procediamo calcolando la derivata prima della funzione; semplifichiamo i calcoli trasformando la funzione nel seguente modo:
[math] f(x) = x^{\log(x)} = e^{\log(x) \cdot \log(x)} = e^{\log^2(x)} [/math]
Quindi abbiamo:
[math] f(x) = \frac{d}{dx} e^{\log^2(x)} = e^{\log^2(x)} \cdot \frac{2 \log(x) }{x}[/math]
Calcoliamo il valore che la derivata prima assume in
[math] x = 1[/math]
:
[math] f(1) = e^{\log^2(1)} \cdot \frac{2 \log(1) }{1} = 0 [/math]
Procediamo ora con la derivata seconda:
[math] f(x) = \frac{d}{dx} e^{\log^2(x)} \cdot \frac{2 \log(x) }{x} = [e^{\log^2(x)} \cdot \frac{2 \log(x) }{x} \cdot \frac{2 \log(x) }{ x} ] + [e^{\log^2(x)} \cdot \frac{2(1-\log(x))}{x^2}] [/math]
Svolgiamo tutti i calcoli e sempli?chiamo:
[math] f(x) = [ 4 e^{\log^2(x)} \cdot \frac{\log^2(x) }{x^2} ] + [2e^{\log^2(x)} \cdot \frac{1-\log(x)}{x^2}] [/math]
Possiamo effettuare un raccoglimento totale:
[math] f(x) = 2e^{\log^2(x)} [ 2 \frac{\log^2(x)}{x^2} + \frac{1-\log(x)}{x^2}] = 2 \frac{e^{\log^2(x)}}{x^2} [ 2 \log^2(x) - \log(x) +1] [/math]
Calcoliamo il valore della derivata seconda nel punto
[math] x = 1[/math]
:
[math] f(1) = 2 \frac{e^{\log^2(1)}}{1^2} [ 2 \log^2(1) - \log(1) +1] = 2 [/math]
Proseguiamo con la derivata terza della funzione:
[math] f(x) = \frac{d}{dx} {2 \frac{e^{\\log^2(x)}}{x^2} [ 2 \log^2(x) - \log(x) +1]} = [/math]
[math] [4 e^{\log^2(x)} \cdot \frac{\log(x) - 1}{x^3} ][ 2 \log^2(x) - \log(x) +1] + 2 \frac{e^{\log^2(x)}}{x^2} \cdot [4 \frac{\log(x)}{x} - 1/x ] [/math]
Svolgiamo i calcoli e semplifichiamo; per agevolare i calcoli effettuiamo un raccoglimento totale:
[math] f(x) = e^{\log^2(x)} {[4 \cdot \frac{\log(x) - 1}{x^3} ][ 2 \log^2(x) - \log(x) +1] + 2 \frac{1}{x^2} \cdot [4 \frac{\log(x)}{x} - 1/x ]} = [/math]
[math] e^{\log^2(x)} {[4 \cdot \frac{\log(x) - 1}{x^3} ][ 2 \log^2(x) - \log(x) +1] + 2 \frac{1}{x^3} \cdot [4 \log(x) - 1 ]} = [/math]
[math] \frac{e^{\log^2(x)}}{x^3} {[4 (\log(x) - 1) ][ 2 \log^2(x) - \log(x) +1] + 2 [4 \log(x) - 1 ]} = [/math]
[math] \frac{e^{\log^2(x)}}{x^3} { (4\log(x) - 4) (2 \log^2(x) - \log(x) +1) + 8 \log(x) - 2 } = [/math]
[math] 2 \frac{e^{\log^2(x)}}{x^3} { (2\log(x) - 2) (2 \log^2(x) - \log(x) +1) + 4 \log(x) - 1 } = [/math]
[math] 2 \frac{e^{\log^2(x)}}{x^3} ( 4 \log^3(x) - 6 \log^2(x) + 8 \log(x) - 3) [/math]
Calcoliamo il valore della derivata terza nel punto
[math] x = 1[/math]
:
[math] f(1) = 2 \frac{e^{\log^2(1)}}{1^3} ( 4 \log^3(1) - 6 \log^2(1) + 8 \log(1) - 3) = - 6 [/math]
Procediamo con l'ultima derivata, quella di ordine quarto:
[math] f^{4}(x) = \frac{d}{dx} [2 \frac{e^{\log^2(x)}}{x^3} ( 4 \log^3(x) - 6 \log^2(x) + 8 \log(x) - 3)] = [/math]
[math] [2 \frac{e^{\log^2(x)}}{x^4} \cdot (2\log(x) - 3) ] \cdot ( 4 \log^3(x) - 6 \log^2(x) + 8 \log(x) - 3) + 2 \frac{e^{\log^2(x)}}{x^3} \cdot [ 12 \frac{\log^2(x)}{x} - 12 \frac{\log(x)}{x} + 8/x ][/math]
Semplifichiamo, effettuando anche raccoglimenti:
[math] [2 \frac{e^{\log^2(x)}}{x^4} \cdot (2\log(x) - 3) ] \cdot ( 4 \log^3(x) - 6 \log^2(x) + 8 \log(x) - 3) + 2 \frac{e^{\log^2(x)}}{x^4} \cdot [ 12 \log^2(x) - 12 \log(x) + 8 ] = [/math]
[math] 2 \frac{e^{\log^2(x)}}{x^4} \cdot [ (2\log(x) - 3) \cdot ( 4 \log^3(x) - 6 \log^2(x) + 8 \log(x) - 3) + (12 \log^2(x) - 12 \log(x) + 8) ] = [/math]
[math] 2 \frac{e^{\\log^2(x)}}{x^4} \cdot [ 8 \log^4(x) - 12 \log^3(x) + 16 \log^2(x) - 6 \log(x) - 12 \log^3(x) + 18 \log^2(x) - 24 \log(x) + 9 + 12 \log^2(x) - 12 \log(x) + 8 ] = [/math]
[math] 2 \frac{e^{\log^2(x)}}{x^4} \cdot [ 8 \log^4(x) - 24 \log^3(x) + 46 \log^2(x) - 42 \log(x) + 17 ] [/math]
Calcoliamo il valore della derivata quarta nel punto
[math] x = 1[/math]
:
[math] f^{4}(1) = 2 \frac{e^{\log^2(1)}}{1^4} \cdot [ 8 \log^4(1) - 24 \log^3(1) + 46 \log^2(1) - 42 \log(1) + 17 ] = 34[/math]
Possiamo infine determinare lo sviluppo di Taylor della funzione di partenza, applicando la formula del polinomio di Taylor al quarto ordine:
[math] T_4 (f , 1) = f(1) + f(1) (x - 1) + \frac{f(1)}{2} (x - 1)^2 + \frac{f(1)}{6} (x - 1)^3 + \frac{f^{4}(1)}{24} (x -1)^4 = [/math]
[math] T_4 (f , 1) = 1 + 0 (x - 1) + \frac{2}{2} (x - 1)^2 + \frac{-6}{6} (x - 1)^3 + \frac{34}{24} (x - 1)^4 = [/math]
[math] 1 + (x - 1)^2 - (x - 1)^3 + \frac{17}{12} (x - 1)^4 [/math]
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