Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x_0=0 fino al quarto ordine: f(x)=x*log(sin(x)+cos(x))

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Per la risoluzione dell'esercizio possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzioni logaritmo, seno e coseno, in quanto lo sviluppo richiesto della funzione di partenza centrato nel punto

[math]x_0=0[/math]

Ricordiamo, quindi, che gli sviluppi fondamentali sono i seguenti:

per la funzione logaritmica si ha:

[math] \log(1+z) = z- \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + \cdots + (-1)^{n+1} \frac{z^n}{n} + o(z^n) [/math]

per la funzione seno:

[math] \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{{2n+1}!} + o(x^{2n+1}) [/math]

e infine per la funzione coseno:

[math] \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{{2n}!} + o(x^{2n}) [/math]

Possiamo quindi procedere allo svolgimento; per comodità, possiamo considerare inizialmente solo l'espressione che costituisce il secondo fattore della funzione, e sviluppare essa al terzo ordine.

Essendo poi moltiplicata per x, ci fornir un quanto ordine della funzione di partenza.

Cominciamo quindi sviluppando le funzioni seno e coseno al quarto ordine:

[math] \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) [/math]

[math] \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) [/math]

Ora, possiamo procedere determinando lo sviluppo della funzione logaritmo al quarto ordine:

[math] \log(1+z) = z- \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \frac{z^4}{4} + o(z^4) [/math]

Tornando all'espressione presente, abbiamo che l'argomento del logaritmo è dato da:

[math] \sin(x) + \cos(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) + 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) = [/math]

[math] 1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) [/math]

Quindi, la sostituzione che dobbiamo effettuare è la seguente:

[math] z = x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) [/math]

Per semplificare i calcoli, possiamo tralasciare tutte le potenze di grado maggiore di quattro, in quanto esse vengono incluse all'interno di

[math] o(x^4)[/math]

; procediamo calcolando separatamente le varie potenze di

[math]z[/math]

[math] z^2 = (x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4))^2 = x^2 - x^3 - \frac{1}{12} x^4 + o(x^4) [/math]

[math] z^3 = (x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4))^3 = x^3 - \frac{3}{2} x^4 + o(x^4) [/math]

[math] z^4 = (x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4))^4 = x^4 + o(x^4) [/math]

Possiamo ora sostituire le espressioni trovate nello sviluppo del logaritmo:

[math] \log(1+z) = z- \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \frac{z^4}{4} + o(z^4) = [/math]

[math] x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) - \frac{1}{2} (x^2 - x^3 - \frac{1}{12} x^4 + o(x^4)) + \frac{1}{3} (x^3 - \frac{3}{2} x^4 + o(x^4)) - \frac{1}{4} (x^4 + o(x^4)) [/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math] \log(1+z) = x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{24} x^4 + \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^4 - \frac{1}{4} x^4 + o(x^4)) = [/math]

[math] x - x^2 + \frac{2}{3} x^3 - \frac{2}{3} x^4 + o(x^4)) [/math]

Moltiplichiamo ora tutto per x, ottenendo così lo sviluppo finale:

[math] x \log(1+z) = x^2 - x^3 + \frac{2}{3} x^4 + o(x^4) [/math]

Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x_0=0 fino al quarto ordine: f(x)=x*log(sin(x)+cos(x))

Per la risoluzione dell'esercizio possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzioni logaritmo, seno e coseno, in quanto lo sviluppo richiesto della funzione di partenza è centrato nel punto x_0=0 .

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