Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x_0=0 fino al quinto ordine: f(x)=e^(x^2 log(1+x(x+1)))+x sin(x)

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La funzione si presenta in una forma per la quale possibile applicare lo sviluppo noto di alcune funzioni; in particolare, in questo caso gli sviluppi che verranno utilizzati sono quelli delle funzioni esponenziale, logaritmo e seno, che ricordiamo essere i seguenti:

[math] e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \dots + \frac{z^n}{n!} + o(z^n) [/math]

[math] \log(1+z) = z- \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + \dots + + (-1)^{n+1} \frac{z^n}{n} + o(z^n) [/math]

[math] \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{{2n+1}!} + o(x^{2n+1}) [/math]

Possiamo procedere concentrandoci inizialmente sulla prima parte della funzione, ovvero il termine

[math]e^{ x^2 \log( 1 + x(x+1) ) }[/math]

e sviluppando tale termine al quinto ordine di infinitesimo.

Per farlo, notiamo che l'argomento dell'esponenziale è dato dal prodotto di una funzione logaritmica e di una potenza di x (

[math]x^2[/math]

Per ottenere un quinto grado, quindi, sarà necessario sviluppare

[math]\log( 1 + x(x+1) ) [/math]

al terzo ordine.

Procediamo, quindi, sviluppando la funzione

[math]\log(1+z)[/math]

al terzo ordine:

[math] \log(1+z) = z- \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + o(z^3) [/math]

Ora, possiamo apportare la seguente sostituzione:

[math] z = x(x+1) = x^2 + x [/math]

; l'uguaglianza

[math] o(z) = o( x + x^2)[/math]

è valida, in quanto il comportamento delle funzioni

[math]x[/math]

[math] x^2 + 2[/math]

è pressoché uguale quando x tende a zero.

Procediamo, quindi, con la sostituzione:

[math] \log(1+ x(x+1)) = x^2 + x - \frac{(x^2 + x)^2}{2} + \frac{(x^2 + x)^3}{3} + o((x^2 + x)^3) [/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math] \log(1+ x(x+1)) = x^2 + x -\frac{1}{2} x^4 - \frac{1}{2} x^2 - x^3 + \frac{1}{3} x^6 + \frac{1}{3} x^3 + x^5 + x^4 + o( x^3) [/math]

Possiamo tralasciare i termini con esponenti maggiori di 3, in quanto essi vengono considerati all'interno di

[math] o(x^3)[/math]

[math] \log(1+ x(x+1)) = x^2 + x - \frac{1}{2} x^2 - x^3 + \frac{1}{3} x^3 + o( x^3) = x + \frac{1}{2} x^2 - \frac{2}{3} x^3 + o( x^3) [/math]

Nella funzione di partenza, tale logaritmo è moltiplicato per il fattore

[math]x^2[/math]

[math] x^2 \cdot \log(1+ x(x+1)) = x^2 [ x + \frac{1}{2} x^2 - \frac{2}{3} x^3 + o( x^3)] = [/math]

[math] x^3 + \frac{1}{2} x^4 - \frac{2}{3} x^5 + o( x^5) [/math]

Tale espressione costituisce l'esponente di un'esponenziale; per poter determinare lo sviluppo complessivo, dobbiamo inizialmente calcolare lo sviluppo della funzione esponenziale; sarà suffciente fermarsi al secondo ordine, ottenendo un sesto ordine complessivo:

[math] e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + o(z^2) [/math]

Sostituiamo a

[math]z[/math]

l'espressione

[math] x^3 + \frac{1}{2} x^4 - \frac{2}{3} x^5 + o( x^5) [/math]

[math] e^{x^2 \dot \log{(1+ x(x+1))}} = 1 + [x^3 + \frac{1}{2} x^4 - \frac{2}{3} x^5 + o( x^5)] + \frac{(x^3 + \frac{1}{2} x^4 - \frac{2}{3} x^5 + o( x^5))^2}{2} + o((x^3 + \frac{1}{2} x^4 - \frac{2}{3} x^5 + o( x^5))^2) [/math]

Come prima, nello svolgimento dei calcoli, possiamo tralasciare i termini che presentano esponenti maggiori di 5, che verranno ravvolti all'interno di

[math]o(x^5)[/math]

[math] e^{x^2 \cdot \log(1+ x(x+1))} = 1 + x^3 + \frac{1}{2} x^4 - \frac{2}{3} x^5 + \frac{1}{2} x^6 + o(x^5) [/math]

Possiamo quindi procedere con lo sviluppo della seconda parte della funzione, ovvero con lo sviluppo dell'espressione

[math]x \sin(x) [/math]

; in questo caso, dobbiamo sviluppare solo la funzione seno, e lo sviluppo dovrà essere di quarto ordine (moltiplicato per x ci consentirà di ottenere un quinto ordine complessivo).

Lo sviluppo della funzione seno è il seguente:

[math] \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) [/math]

Moltiplichiamo tale espressione per x:

[math] x \cdot \sin(x) = x \cdot [x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)] = x^2 - \frac{x^4}{6} + o(x^5) [/math]

Possiamo infine determinare lo sviluppo complessivo della funzione di partenza:

[math] f(x) = e^{ x^2 \log( 1 + x(x+1) ) } + x \sin(x) = [/math]

[math]1 + x^3 + \frac{1}{2} x^4 - \frac{2}{3} x^5 + \frac{1}{2} x^6 + o(x^5) + x^2 - \frac{x^4}{6} + o(x^5) = [/math]

[math] 1 + x^2 + x^3 + \frac{1}{3} x^4 - \frac{2}{3} x^5 + o(x^5) [/math]

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