Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x_0=1 fino al quarto ordine: f(x)=x^(x

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Per la risoluzione di questo esercizio possiamo usare due strade; poiché non possiamo usare gli sviluppi fondamentali (almeno non direttamente), possiamo utilizzare il metodo classico, ovvero applicare la formula dello sviluppo di Taylor, calcolando le derivate (fino alla quarta) della funzione di partenza, e il valore che esse assumono nel punto

[math]x_0=1[/math]

Oppure possiamo ragionare diversamente, trasformando la nostra funzione in modo da poter applicare gli sviluppi fondamentali.

Notiamo che il punto richiesto nello sviluppo della funzione, ovvero

[math]x_0=1[/math]

, pu essere scritto che nel seguente modo:

[math]x_0 - 1 = 0[/math]

; questo ci suggerisce che, applicando la sostituzione

[math] x_0 - 1 = t[/math]

, ci ritroviamo nel caso classico, perché in questo modo lo sviluppo sarà centrato nel punto

[math] t = 0[/math]

Procediamo, quindi, sostituendo nella funzione di partenza

[math] x-1 = t \to x = t + 1[/math]

[math] f(x) = f(t+1) = (t+1)^{t+1 - 1} = (t+1)^t [/math]

Applicando la proprietà che lega potenze e funzione esponenziale, è possibile scrivere la nostra funzione nel seguente modo:

[math] f(t+1) = e^{t \log(t+1)} [/math]

Notiamo, quindi, che ci siamo ricondotti in un caso classico, che possiamo risolvere facilmente con gli sviluppi fondamentali; in questo caso utilizzeremo lo sviluppo della funzione esponenziale, e della funzione logaritmica, che ricordiamo essere i seguenti:

[math] e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \dots + \frac{z^n}{n!} + o(z^n) [/math]

[math] \log(1+z) = z- \frac{z^2}{2} + \frac{z^2}{6} + + (-1)^{n+1} \frac{z^n}{n!} + o(z^n) [/math]

Per ottenere uno sviluppo al quarto ordine della funzione di partenza, possiamo sviluppare la funzione logaritmo al terzo ordine, ottenendo il seguente sviluppo:

[math] \log(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + o(t^3) [/math]

Moltiplicando per

[math]t[/math]

abbiamo la seguente espressione, che rappresenta l'esponente dell'esponenziale:

[math] t \log(1+t) = t^2 - \frac{t^3}{2} + \frac{t^4}{3} + o(t^4) [/math]

Procediamo ora sviluppando la funzione esponenziale al quarto ordine:

[math] e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \frac{z^4}{4!} + o(z^4) [/math]

A questo punto dobbiamo sostituire l'espressione precedentemente trovata per l'esponente, alla

[math]z[/math]

che compare nello sviluppo dell'esponenziale; la sostituzione è quindi la seguente:

[math] z = t^2 - \frac{t^3}{2} + \frac{t^4}{3} + o(t^4) [/math]

Per semplicità, possiamo procedere calcolando singolarmente le potenze di

[math]z[/math]

; per

[math]z^2[/math]

abbiamo:

[math] z^2 = (t^2 - \frac{t^3}{2} + \frac{t^4}{3} + o(t^4))^2 [/math]

Nell'esecuzione dei calcoli, possiamo tralasciare le potenze con esponente maggiore di 4, in quanto, per le proprietà dell'o-piccolo, esse verranno inglobate all'interno di

[math]o(t^4) [/math]

[math] z^2 = t^4 + o(t^4) [/math]

Nel caso di

[math]z^3[/math]

[math]z^4[/math]

si ottengono tutte potenze di grado maggiore di 4.

Procediamo quindi sostituendo i valori trovati precedentemente nello sviluppo di

[math]e^z[/math]

[math] e^{t \log(t+1)} = 1 + t^2 - \frac{t^3}{2} + \frac{t^4}{3} + o(t^4) + \frac{t^4}{2} + o(z^4) = [/math]

[math] 1 + t^2 - \frac{t^3}{2} + \frac{5}{6} t^4 + o(z^4) [/math]

A questo punto, dobbiamo ricondurre l'espressione trovata in funzione di x, come era nella funzione di partenza; per farlo, ricordiamo la sostituzione effettuata, ovvero

[math] x = t+1[/math]

, q applichiamo la sostituzione inversa, cioé

[math] t = x - 1[/math]

; otteniamo il seguente sviluppo:

[math] e^{(x-1) \log(x)} = 1 + (x - 1)^2 - \frac{1}{2} (x - 1)^3 + \frac{5}{6} (x - 1)^4 + o((x - 1)^4) [/math]

Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x_0=1 fino al quarto ordine: f(x)=x^(x - 1)

Per la risoluzione di questo esercizio possiamo usare due strade

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