Insiemi: definizione, rappresentazione e simbologia

In questo appunto di Geometria verranno introdotti i metodi e simboli utilizzati per rappresentare gli insiemi e le relazioni tra insiemi, con relativi esempi ed applicazioni matematiche.

Introduzione al concetto di Insieme

Un insieme è definito come un raggruppamento di “oggetti” aventi una caratteristica o un fattore in comune tra loro.

Esempi banali di insiemi possono essere: le lettere dell’alfabeto, i numeri pari, le capitali europee ecc... quindi non si tratta solo di un’applicazione matematica; possono essere e vengono utilizzati in diverse discipline, sia scientifiche che umanistiche, in quanto aiutano ad avere una rappresentazione grafica e immediata di quella caratterista comune.
In generale, un insieme può essere rappresentato nel piano cartesiano in tre diversi modi, quali:

• Rappresentazione grafica mediante il diagramma di Eulero-Venn
• Rappresentazione estensiva: in cui si elencano tutti gli elementi dell’insieme, ad esempio
  [math]I=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/math]
• Rappresentazione intensiva: si scrive la relazione matematica per cui quegli elementi appartengono all’insieme
  [math]I=\{x \in I | I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}\}[/math]

N.B. Il simbolo

significa “tale che”, mentre

significa “appartiene”.
Gli oggetti che fanno parte di un insieme prendono il nome di elementi di un insieme e vengono solitamente rappresentati graficamente con dei “punti” all’interno dell’insieme che invece, viene solitamente rappresentato con un “cerchio-ovale”. A ciascun punto, quindi, è associato un elemento, che può essere nominato o meno (solitamente quando vengono nominati si utilizzano le lettere in corsivo o i numeri), mentre ad ogni ovale è associato un insieme, solitamente indicato con le lettere in stampatello.
Questo concetto può anche essere espresso tramite una rappresentazione intensiva. In particolare, dato un insieme N ed un elemento

, la relazione tra

ed N può essere di due tipi:

• l’elemento
  [math]a[/math]
  appartiene all’insieme
  [math]N[/math]
  , quindi possiamo scrivere:
  [math]a \in N[/math]
  ;
• l’elemento
  [math]a[/math]
  non appartiene all’insieme
  [math]N[/math]
  , quindi possiamo scrivere:
  [math]a \notin N[/math]
  ;

Detto ciò, nel prossimo paragrafo vedremo quali possono essere i legami o rapporti tra due insiemi.

Relazioni tra insiemi

Dati due insiemi A e B, i rapporti o legami che ci possono essere tra questi insiemi si definiscono mediante la seguente simbologia:

In questo contesto possiamo anche introdurre il concetto di coppia ordinata. In particolare, si chiama coppia ordinata l’insieme di due elementi presi da due insiemi differenti, A e B, rispettando un certo ordine:

. Inoltre, dati due insiemi A e B, il prodotto cartesiano dei due insieme A e B è dato da tutte le coppie ordinate possibili comprendenti un elemento del primo insieme e un elemento del secondo, quindi avremo:

.

La riproduzione grafica di un prodotto cartesiano prende il nome di piano cartesiano. Di conseguenza, allo stesso modo di quanto detto per la definizione di piano cartesiano nell’appunto di matematica, si dicono ascissa e ordinata le coordinate secondo con cui si raffigurano le coppie ordinate sul piano cartesiano.
A questo punto, note le definizioni e le operazioni possibili tra diversi insiemi, possiamo passare asl prossimo paragrafo dove sono riportate alcune applicazioni ed esempi sugli insiemi.

Insiemi: Applicazioni ed Esempi

Per comprendere meglio quanto detto nel paragrafo precedente facciamo qualche esempio.
Per prima cosa definiamo tre insiemi (A,B,D) ad esempio possiamo dire che:

• A è dato da tutti i numeri naturali pari, quindi:
  
  [math]a \in A \leftrightarrow \text{a è pari} \Rightarrow A=\{2,4,6,8,10,12,14….\};[/math]
• B è dato da tutti i numeri naturali pari multipli di 3, quindi:
  
  [math]b \in B \leftrightarrow \text{b è pari } \vee \frac{b}{3}=x, x \in N \Rightarrow B=\{6,12,18,24,30….\};[/math]
• C è dato da tutti i numeri naturali dispari:
  
  [math]d \in D \leftrightarrow \text{d è dispari} \Rightarrow D=\{1,3,5,7,9,11,13,15….\};[/math]

N.B con N in genere si indica l’insieme dei numeri naturali, con R l’insieme dei numeri reali e con C l’insieme dei numeri complessi.
Definiti gli insiemi (potete anche fare una rappresentazione mediante il diagramma di Eulero-Venn), possiamo dire che:

• l’insieme
  [math]A[/math]
  include l’insieme
  [math]B[/math]
  :
  
  [math]A \supset B[/math]
  ;
• l’insieme
  [math]B[/math]
  è incluso nell’insieme
  [math]A[/math]
  :
  
  [math]B \subset A[/math]
  ;
• l’intersezione tra l’insieme
  [math]A[/math]
  e l’insieme
  [math]B[/math]
  è uguale all’insieme
  [math]B[/math]
  , essendo questo incluso nell’insieme A:
  
  [math]A \cap B =B[/math]
  ; cioè B è un sottoinsieme di A;
• l’intersezione tra l’insieme
  [math]A[/math]
  e l’insieme
  [math]D[/math]
  è uguale all’ insieme vuoto perché questi non hanno alcun elemento in comune:
  
  [math]A \cap D = \varnothing [/math]
  ;
• l’intersezione tra l’insieme
  [math]B[/math]
  e l’insieme
  [math]D[/math]
  è uguale all’ insieme vuoto perché questi non hanno alcun elemento in comune:
  
  [math]B \cap D = \varnothing [/math]
  ;
• il prodotto cartesiano tra A e B è uguale alle seguenti coppie ordinate:
  
  [math]A \times B=\{(2;6), (4;12),(6;18),(8;24),(10;30),…\}[/math]
  ;
• il prodotto cartesiano tra A e D è uguale alle seguenti coppie ordinate:
  
  [math]A \times D=\{(2;1), (4;3),(6;5),(8;7),(10;9),…\}[/math]
  ;
• il prodotto cartesiano tra B e D è uguale alle seguenti coppie ordinate:
  
  [math]B \times D=\{(6;1), (12;3),(18;5),(24;7),(30;9),…\}[/math]
  .