Primo teorema di Euclide: teoria e dimostrazione

In questo appunto di geometria viene enunciato il Primo Teorema di Euclide e vengono proposte diversi esempi applicativi e dimostrazioni per verificare la correttezza di tale teorema. Nell'appunto sono presenti alcune dimostrazioni che, partendo dalla stessa figura, propongono differenti modalità di confronto tra i vari elementi geometrici inidividuati, al fine di verificare la correttezza dell'enunciato del Primo Teorema di Euclide.

Enunciato del primo teorema di Euclide

Il primo teorema di Euclide è un teorema, appartenente all'area della geometria, che riguarda il triangolo rettangolo, raccolto all'interno del VI libro degli Elementi di Euclide. Tale Teorema può essere enunciato in due modi differenti, a seconda della proprietà che si desideramettere in risalto:

Se si vuole sottolineare la relazione tra i segmenti allora si può affermare che: "In ogni triangolo rettangolo, il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa".

Se invece si vuole dare maggiore enfasi all'equiestensione tra le figure possiamo utilizzare la seguente definizione: "In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa".

Ora prendiamo in esame la figura rappresentata qui sopra.
Sia

un triangolo rettangolo e sia . Andiamo a costruire un quadrato sul cateto AB () ed un rettangolo avente per lati , entrambi uguali ad (dove AC è l'ipotenusa del triangolo), e (dove AG è la proiezione del cateto AB sull'ipotenusa AC).

Prolungando i lati

del rettangolo e il lato del quadrato ABDE otteniamo il parallelogramma : infatti, data la sua costruzione, questo quadrilatero ha i lati opposti paralleli ed uguali tra loro. E' possibile individuare anche il triangolo rettangolo .

Per ulteriori approfondimenti sui teoremi di Euclide vedi anche qua

Dimostrazione: il triangolo AEK è retto

Come dimostrare che il triangolo AEK (in giallo) è realmente retto? Il quadrato ABDE (in verde), essendo un poligono regolare, ha quattro lati uguali ed è equiangolo (cioè ha quattro angoli uguali). Nel quadrato i quattro angoli sono anche retti. Il triangolo AEK è dunque rettangolo in E.

Dimostrazione: i triangoli ABC e AEK sono triangoli rettangoli uguali

Dimostriamo ora che i triangoli ABC e AEK, oltre ad essere entrambi rettangoli, sono anche uguali.
, poichè sono complementari di uno stesso angolo, . Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto. Ciò vuol dire che: . I due triangoli hanno poi il lato AB in comune.

Queste tre relazioni sono sufficienti per affermare che i due triangoli

sono uguali. Di conseguenza , ed essendo , per transitività si ha anche che .

Per ulteriori approfondimenti sui triangoli rettangoli vedi anche qua

Dimostrazione considerando il parallelogramma ABKL ed il rettangolo AGHIL

Ora passiamo ad osservare la situazione con un altro punto di vista. Se consideriamo il parallelogrammo ABKL, che chiameremo più semplicemente , ed il rettangolo AGHIL, che chiameremo più semplicemente , vediamo che hanno la stessa base (AK = AH) e la stessa altezza (AG). Poichè sia l'area del parallelogramma che quella del rettangolo si calcolano attraverso il prodotto (base per altezza), allora si avrà che le due figure geometriche hanno la stessa area: .

Consideriamo ora il quadrato

ed il parallelogramma . Anch'essi hanno la stessa base (AB) e la stessa altezza (poiché il lato del quadrato è pari all'altezza del parallelogramma rispetto ad AB), quindi anch'essi sono equivalenti: . Ed essendo il parallelogramma equivalente al rettangolo , per transitività si ha che anche .

In virtù di tutte queste considerazioni si può in definitiva affermare che:

Ovvero:

Vale anche, per gli stessi motivi, che:

Il teorema di Euclide è dimostrato.