PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE

Il primo teorema di Euclide enuncia che: "in ogni triangolo rettangolo, il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa".

Osserviamo la figura qui sopra rappresentata.
Sia

[math]ABC[/math]
un triangolo rettangolo e sia
[math]A \hat B C=90°[/math]
. Costruiamo un quadrato sul cateto AB (
[math]ABDE[/math]
) ed un rettangolo
[math]AGIH[/math]
avente per lati
[math]GI=AH[/math]
, entrambi uguali ad
[math]AC[/math]
(dove AC è l'ipotenusa del triangolo), e
[math]IH = AG[/math]
(dove AG è la proiezione del cateto AB sull'ipotenusa AC).

Prolungando i lati

[math]AH\ \ e\ \ GI[/math]
del rettangolo e il lato
[math]ED[/math]
del quadrato ABDE otteniamo il parallelogramma
[math]ABLK[/math]
: infatti, data la sua costruzione, questo quadrilatero ha i lati opposti paralleli ed uguali tra loro. E' possibile individuare anche il triangolo rettangolo
[math]AEK[/math]
.


Come dimostrare che il triangolo AEK (in giallo) è realmente retto? Il quadrato ABDE (in verde), essendo un poligono regolare, ha quattro lati uguali ed è equiangolo (cioè ha quattro angoli uguali). Nel quadrato i quattro angoli sono anche retti. Il triangolo AEK è dunque rettangolo in E.

Dimostriamo ora che i triangoli ABC e AEK, oltre ad essere entrambi rettangoli, sono anche uguali.

[math]E \hat A H=B \hat A C[/math]
, poichè sono complementari di uno stesso angolo,
[math]K \hat A B[/math]
. Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto. Ciò vuol dire che:
[math]E \hat A H+K \hat A B=90°,\ K \hat A B+B \hat A C=90°[/math]
. I due triangoli hanno poi il lato AB in comune.

Queste tre relazioni sono sufficienti per affermare che i due triangoli

[math]EAK\ \ e\ \ ABC[/math]
sono uguali. Di conseguenza
[math]AK=AC[/math]
, ed essendo
[math]AC=GI[/math]
, per transitività si ha anche che
[math]AK=GI[/math]
.

Ora passiamo ad osservare la situazione con un altro punto di vista. Se consideriamo il parallelogrammo ABKL, che chiameremo più semplicemente

[math]P[/math]
, ed il rettangolo AGHIL, che chiameremo più semplicemente
[math]R[/math]
, vediamo che hanno la stessa base (AK = AH) e la stessa altezza (AG). Poichè sia l'area del parallelogramma che quella del rettangolo si calcolano attraverso il prodotto
[math]b*h[/math]
(base per altezza), allora si avrà che le due figure geometriche hanno la stessa area:
[math]P \equiv R[/math]
.

Consideriamo ora il quadrato

[math]Q[/math]
ed il parallelogramma
[math]P[/math]
. Anch'essi hanno la stessa base (AB) e la stessa altezza (poiché il lato del quadrato è pari all'altezza del parallelogramma rispetto ad AB), quindi anch'essi sono equivalenti:
[math]Q \equiv P[/math]
. Ed essendo il parallelogramma
[math]P[/math]
equivalente al rettangolo
[math]R[/math]
, per transitività si ha che anche
[math]Q \equiv R[/math]
.


In virtù di tutte queste considerazioni si può in definitiva affermare che:

[math]AB^2 = AG * AH (=AC) [/math]

Ovvero:

[math]AC:AB=AB:AG\\[/math]

Vale anche, per gli stessi motivi, che:

[math]AC:BC=BC:CG[/math]

Il teorema di Euclide è dimostrato.

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