Numeri naturali: ordine crescente e decrescente

In quest'appunto saranno affrontati i numeri naturali, con un focus su come, data una successione, inserire i numeri in ordine crescente o decrescente.

Cosa sono i numeri naturali e gli insiemi numerici

In matematica, i numeri sono organizzati in insiemi numerici i quali raccolgono elementi aventi caratteristiche in comune.

Gli insiemi numerici sono fondamentali nella scrittura dei domini, ossia nella definizione dei valori accettabili che una variabile può assumere all'interno di una funzione affinché essa sia valida.

Vi sono alcune operazioni, infatti, che non ammettono risultati in determinati sottoinsiemi numerici e per cui è fondamentale estendere il dominio considerato ai numeri complessi. Uno degli esempi più emblematici di quest'ultima situazione è la risoluzione di un'equazione di secondo grado con discriminante negativo. In quel caso, per definire una coppia di soluzioni, è fondamentale estendere il dominio considerato dai numeri reali ai numeri complessi, poiché la radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali.

Gli insiemi numerici in matematica sono sei e sono:

• l’insieme dei numeri naturali, il quale contiene tutti i numeri non decimali non negativi, incluso il numero zero
• l’insieme dei numeri relativi, in cui sono presenti numeri interi positivi o negativi, incluso il numero zero
• l’insieme dei numeri razionali relativi, cioè quelli scrivibili mediante una frazione e avente segno positivo o negativo. E’ incluso lo zero.
• l’insieme dei numeri irrazionali, formato dai numeri non scrivibili mediante una frazione generatrice
• l’insieme dei numeri reali dato dalla somma dell’insieme dei numeri irrazionali e l’insieme dei numeri razionali. Fanno parte di questo gruppo tutti i numeri decimali e interi, positivi e negativi incluso lo zero
• l’insieme dei numeri complessi, ossia l’insieme più grande definibile. Esso contiene tutti gli elementi degli insiemi precedentemente citati più i numeri complessi, come ad esempio le radici quadrate dei numeri negativi. Questi sono espressi tramite l’ausilio dell’unità immaginaria
  [math]i[/math]

Per ordinare correttamente una successione è fondamentale saper confrontare i numeri. I numeri naturali possono essere confrontati tra di loro attraverso l’utilizzo di tre simboli:

• segno maggiore
  [math]>[/math]
  . Il numero posto alla sinistra di questo segno ha un valore maggiore rispetto a quello posto alla destra
• segno minore
  [math]>[/math]
  . Il numero posto alla sinistra di questo segno ha un valore minore rispetto a quello a destra
• segno uguale
  [math]=[/math]
  . I due numeri posti ai lati del segno sono uguali

Nel prossimo paragrafo verranno forniti degli esempi commentati riguardanti il riordinamento, secondo un ordine prestabilito, degli elementi in una determinata successione.

Come ordinare una successione di numeri naturali in ordine crescente o decresente

Consideriamo la successione formata dai numeri interi:

.
Essa è infinita o illimitata poiché non è mai possibile aggiungere un ultimo numero. Se, infatti, pensiamo un numero molto grande è sempre possibile trovare un altro numero, aggiungendo

al numero stesso, per ottenere un numero naturale più grande di quello dato.
I numeri interi si chiamano anche naturali e formano l'insieme

.

Consideriamo due numeri naturali scelti a caso, per esempio

e

.
Come è facile capire, i due numeri sono diversi e precisamente:

e si può leggere come: "

è diverso da

".
Se vogliamo diventare più precisi, occorre stabilire se

precede

o viceversa, cioè qual è cioè l'ordine con cui i numeri si dispongono.
In base a questo principio possiamo disporre i numeri naturali ordinatamente, partendo dal più piccolo (ordine crescente) oppure partendo dal più grande (ordine decrescente).

Esempi sulla definizione di successioni ordinate

la successione è ordinata secondo ordine crescente, poiché accade che

la successione è in ordine decrescente, in quanto si ha che

Esercizio sulle successioni ordinate

Scrivi la successione ordinata dei numeri interi, disponendo in ordine crescente i seguenti numeri:

Svolgimento

La disposizione dei numeri in ordine crescente è la seguente

poichè possiamo dire che

.

Per ulteriori informazioni sui numeri naturali vedi anche qui