Piramidi: regole e definizioni

In quest'appunto troverai un'introduzione generale sulla geometria solida, con un approfondimento sulle varie tipologie di piramidi. Sono elencate, inoltre, le principali formule da utilizzare per il corretto svolgimento degli esercizi.

Geometria piana e geometria solida: le differenze

La geometria è la branca della matematica che studia la disposizione e la proprietà delle figure geometriche: queste ultime possono essere disposte lungo un piano o nello spazio.
Le figure disposte lungo un piano prendono il nome di figure piane.

Esse presentano soltanto due grandezze, altezza e larghezza; sono figure piane il quadrato, il cerchio, il rettangolo etc.

Le figure piane si dividono a loro volta in poligonali e non poligonali: tale caratteristica è conferita dal contorno della figura. Se, infatti, il contorno è rappresentato da una linea spezzata chiusa, ossia da una successione di segmenti consecutivi aventi direzioni differenti, la figura è una poligonale. Sono poligonali il rettangolo e il quadrato.
Vi sono, però, delle figure piane che non sono poligonali: un chiaro esempio è il cerchio. Il contorno del cerchio prende il nome di circonferenza e viene definito come l'insieme di punti equidistanti da un altro punto chiamato centro. La distanza tra il centro e tale punto prende il nome di raggio.

Le figure che, invece, sono posizionate nello spazio prendono il nome di figure solide. Esse presentano tre dimensioni: larghezza, altezza e profondità. Le figure solide si dividono in due grandi famiglie: i poliedri e i solidi di rotazione. I poliedri sono figure solide composte esclusivamente da poligoni (quindi non presentano superficie curve) mentre i solidi di rotazione sono ottenuti dalla rotazione di una figura piana rispetto a un asse. Per questo motivo, tale famiglia presenta facce non poligonali.

Un poliedro è caratterizzato da una serie di elementi, i quali vengono poi sfruttati per il calcolo di grandezze quali area e volume. Quest'ultima non è calcolabile nelle figure piane perché rappresenta la parte di spazio occupata dalla figura e l'unità di misura corrispondente è il cubo di una lunghezza. Gli elementi principali di una figura solida sono:

• le facce, ossia i poligoni che compongono il poliedro. Esse possono essere di diverso tipo: nel cubo, ad esempio, le facce sono esclusivamente quadrate mentre in altri parallelepipedi possono assumere anche forme rettangolari
• gli spigoli, cioè i lati delle facce
• i vertici, ossia i punti in cui si intersecano tre spigoli

Cosa sono le piramidi e come si classificano

La piramide è una figura geometrica di grande importanza storica: per apprezzarne l'entità, basta pensare all'imponente struttura delle piramidi di Giza.
Dal punto di vista geometrico, la piramide è un poliedro limitato da un poligono detto base e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono di base, aventi tutti un vertice in comune detto vertice della piramide. Per questo motivo esistono piramidi a base rettangolare, quadrata, esagonale etc.

Le piramidi non possono essere classificate solo ed esclusivamente rispetto al proprio poligono di base: anche altre caratteristiche sono sfruttabili per tale scopo. In relazione a queste ultime è possibile distinguere:

• le piramidi rette. Una piramide si dice retta se nella sua base si può inscrivere un circonferenza, e se il piede dell'altezza della piramide coincide con il centro della circonferenza. Si ricorda che l'altezza è un segmento perpendicolare che unisce il vertice della piramide alla base. Anche le facce poligonali della piramide presentano un'altezza: in quel caso, essa prende il nome di apotema. Nelle piramidi rette, l'apotema congiunge il vertice con il punto medio dello spigolo di base che è anche il punto di tangenza della circonferenza inscritta nello spigolo di base. Le facce laterali sono triangoli isosceli congruenti, e di conseguenza gli spigoli laterali sono tutti congruenti. Il raggio nella circonferenza inscritta nella base si chiama apotema di base. Il raggio della circonferenza circoscritta alla base si chiama raggio di base.

.

Le formule utili per lo svolgimento di problemi sulla piramide: dall'area all'apotema

Conoscere le formule principali per il calcolo di area e perimetro della piramide è fondamentale per svolgere gli esercizi in maniera veloce e corretta.

In generale, la superficie totale di una piramide si calcola come la somma della superficie di base e della superficie laterale mentre il volume come il prodotto tra l'area di base e l'altezza diviso tre. La superficie di base cambia a seconda del poligono di base ed è quindi bene avere una conoscenza solida anche della geometria piana.
Per le piramidi rette, invece, è possibile calcolare la superficie laterale come il semiprodotto tra il perimetro e l'apotema.

Quest'ultimo può essere calcolato facilmente se si conoscono il valore dell'altezza

e del raggio della circonferenza inscritta

. Le principali formule a tal proposito sono:

.

Per ulteriori approfondimenti sulla piramide vedi anche qui