Indovinelli matematici, gatti e topi

Un appunto di matematica per gli alunni delle scuole medie in cui proponiamo lo svolgimento di un simpatico indovinello rompicapo. Per fortuna la soluzione è semplice se si conosce la differenza tra grandezze direttamente proporzionali e grandezze inversamente proporzionali. Applicando le giuste conoscenze matematiche diventa facile risolvere questi indovinelli, proposti anche nei test di ammissione universitari.

Indovinelli matematici, gatti e topi

Il famoso indovinello dei gatti e dei topi, se non lo conoscete, recita così:
Sapendo che un gatto e mezzo mangia un topo e mezzo in un minuto e mezzo, quanti gatti servono per mangiare sessanta topi in mezz'ora?
Cerchiamo di capire come bisogna ragionare per arrivare alla soluzione rapidamente, e come mai, la maggior parte delle volte quest'indovinello è sbagliato, cioè dove c'è l'errore tipico che viene commesso quando uno lo risolve senza pensarci su.
Questo tipo di indovinelli matematici si risolvono utilizzando i concetti di proporzionalità diretta e proporzionalità inversa.

La prima cosa da fare dunque, è riconoscere nel testo dell'indovinello quali sono le grandezze legate fra di loro e qual è il tipo di proporzionalità.

Grandezze direttamente proporzionali

Se indichiamo le due grandezze con le lettere x ed y, possiamo scrivere in questo modo:

Esprimendo una grandezza in funzione dell’altra:

Proviamo con un esempio più semplice. Giovanna acquista la frutta al mercato, oggi trova le albicocche a 2€ al kg. Quanto spenderà se ne acquista 3 kg?
Proviamo ad analizzare la situazione: stiamo considerando due grandezze, il peso delle albicocche e il loro costo. Se il peso delle albicocche raddoppia anche il costo complessivo raddoppia: Giulia per 2kg spenderà 4 €. Se il peso delle albicocche triplica anche il costo complessivo triplica: Giulia per 3kg spenderà 6 €.
Sappiamo che ogni kg di albicocche costa 2 €; questo numero, che ci permette di prevedere facilmente il costo complessivo delle albicocche, può essere considerato come il rapporto tra il costo in euro e il peso di un chilogrammo di albicocche.
Se indichiamo con la lettera x la grandezza costo, e con la lettera y la grandezza peso, il rapporto tra queste due, è costante e vale 2, cioè il costo unitario al chilogrammo. Il costo è direttamente proporzionale al peso.
Scriviamo la relazione di proporzionalità diretta:

Grandezze inversamente proporzionali

.
Se indichiamo ancora le due grandezze con le lettere x ed y, possiamo scrivere in questo modo:

Esprimendo una grandezza in funzione dell’altra:

Proviamo con un esempio più semplice.
La nonna di Andrea ha acquistato una tavoletta di cioccolato da 300 grammi per distribuirla tra i suoi numerosi nipoti che andranno a trovarla la prossima domenica. Andrea cerca di capire quanto cioccolato potrà avere, a seconda del numero di cugini che saranno presenti. Poiché il peso della tavoletta è fissato per determinare quanto ne avrà ciascuno dei nipotini occorre dividere tale peso per il numero dei ragazzi.
Analizziamo la situazione come prima: stiamo considerando due grandezze il numero di nipoti x, e la quantità di cioccolato y. Se ci saranno solo 2 nipoti riceveranno una quantità di cioccolato pari a 150 grammi, se si presenteranno in tre allora ciascuno riceverà 100 grammi, se arriveranno i quattro ne riceveranno 75 grammi e così via. Con questo ragionamento semplice capiamo che man mano che aumenta il numero di nipoti diminuisce la quantità di cioccolato che riceveranno ciascuno di essi. Se il numero dei nipoti raddoppia la quantità di cioccolato dimezza, se il numero di nipoti triplica la quantità di cioccolato si riduce ad 1/3. Abbiamo così individuato una relazione di proporzionalità inversa tra queste due grandezze, la quantità di cioccolato è inversamente proporzionale al numero dei nipoti. Il prodotto tra numero di nipoti e quantità di cioccolata ricevuta è pari sempre a 300 grammi, questo valore rappresenta la costante di proporzionalità tra le grandezze x ed y, come il costo delle albicocche nell'esempio precedente.
In simboli matematici possiamo scrivere come segue:

Strategia di soluzione

Cerchiamo ora di risolvere il nostro indovinello.
La prima cosa da fare è di liberarsi dell'elemento scomodo, che sono i mezzi gatti e i mezzi topi. Allora cerchiamo una formula equivalente a quella di partenza che non coinvolga mezzi gatti e mezzi topi; ora immaginate di raddoppiare il numero dei gatti, cioè invece di dire che un gatto e mezzo mangiano un topo e mezzo in un minuto e mezzo, possiamo dire che tre gatti, mangiano tre topi in un minuto e mezzo. L'errore tipico che uno fa è di dire in tre minuti, cioè se uno dice raddoppia i gatti, raddoppia i topi e logicamente viene da dire che raddoppia il tempo. Ma effettivamente questo non è vero, perché se io raddoppio i gatti, questi mangeranno il doppio dei topi a parità di tempo.

A questo punto abbiamo quasi vinto, immaginate di lasciare ai gatti mezz'ora per mangiare, quindi invece di un minuto e mezzo gli lasciamo mezz'ora.
Quant'è mezz'ora rispetto a un minuto e mezzo?
Facciamo le conversioni:

• [math]{1\over 2}h=30'=30\cdot 60^"=1800s[/math]
• 1 minuto e mezzo
  [math]\to 60^"+30^"=90s[/math]
• [math]\frac{1800s}{90s}=20[/math]

Concludiamo allora che: mezz'ora è venti volte di più di un minuto e mezzo, cioè in mezz'ora ci sono venti intervalli di tempo da un minuto e mezzo. In mezz'ora i miei gatti avranno mangiato venti volte di più di quello che mangiavano in un minuto e mezzo. E quindi, se facciamo mangiare i gatti per mezz'ora, cioè se moltiplichiamo il tempo per

, verrà moltiplicato per lo stesso fattore anche il numero di topi mangiati dallo stesso numero di gatti.
Attenzione a questo passaggio!!
L'altro errore tipico che si fa è quello di moltiplicare anche il numero dei gatti per

. Possiamo affermare allora che: sono

Analizziamo un attimino la strategia che abbiamo usato: abbiamo tre grandezze, bloccando il valore di una di esse vediamo cosa succede alle altre due.
Nel primo passaggio, tenendo invariato il numero dei minuti, abbiamo scoperto che se moltiplico per

il numero dei gatti, viene moltiplicato per

anche il numero dei topi a parità di tempo.
In termini matematici: il numero dei gatti è direttamente proporzionale al numero dei topi, a parità di tempo.
Nel secondo passaggio, vedete che tenendo fermo il numero dei gatti, succede che se uno moltiplica per

il tempo, viene moltiplicato per

anche il numero di topi mangiati, a parità del numero dei gatti. E quindi: il tempo trascorso ed il numero dei topi mangiati sono direttamente proporzionali tra loro a parità del numero dei gatti.

Per ulteriori approfondimenti sulla proporzionalità vedi anche qua