Come scomporre un numero e il calcolo del minimo comune multiplo e del massimo comune divisore

In questo appunto si troveranno le regole fondamentali per effettuare correttamente la scomposizione di un numero e le istruzioni per il calcolo del minimo comune multiplo e del massimo comune divisore.

A cosa serve la scomposizione in fattori in matematica

Nelle espressioni e nelle equazioni matematiche spesso è necessario effettuare delle operazioni tra frazioni.

Nel caso di moltiplicazione e divisione, il calcolo non si complica particolarmente in quanto il risultato di un prodotto sarà la frazione cui numeratore è dato dal prodotto dei numeratori dei fattori e cui denominatore è dato dal prodotto dei denominatori dei fattori. Nella divisione, invece, il risultato sarà una frazione che avrà per numeratore il prodotto tra il numeratore del primo fattore e il denominatore del secondo fattore mentre il denominatore del risultato sarà il prodotto del denominatore del primo fattore per il numeratore del secondo.

La situazione si complica quando bisogna effettuare una somma algebrica, ossia una somma in cui compaiono sia sottrazioni che addizioni. In quel caso, per ottenere il risultato, è necessario calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori delle frazioni coinvolte e il risultato sarà una frazione avente come denominatore il minimo comune multiplo e come numeratore la somma algebrica del quoziente tra il minimo comune multiplo e il denominatore di ogni frazione per il suo numeratore.

Ecco una serie di esempi per comprendere meglio i concetti appena espressi:

Quali sono le regole fondamentali per la scomposizione

Per definire il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore, è fondamentale conoscere le regole relative alla divisibilità. Queste ultime ti permettono di stabilire a priori se il risultato della divisione tra un numero

e un numero

ha resto nullo. In particolare, se ciò accade, si dice che

sia divisibile per

.

Tali regole permettono di effettuare correttamente la scomposizione in fattori primi, cioè il procedimento che consente di scrivere un qualsiasi numero positivo come il risultato di una moltiplicazione tra numeri primi. Esse sono:

• un numero è divisibile per
  [math]2[/math]
  se è pari ovvero se termina con
  [math]0,2,4,6,8[/math]
  . Sono numeri divisibili per
  [math]2[/math]
  [math]12,24,148,1024[/math]
  . Numeri come
  [math]1023,45,763[/math]
  invece non lo sono
• un numero è divisibile per
  [math]3[/math]
  se la somma delle sue cifre è un numero divisibile per 3. Quindi, ad esempio
  [math]321[/math]
  è divisibile per tre, poiché le cifre che lo compongono sono
  [math]3,2,1[/math]
  e
  [math]3\cdot2\cdot1=6[/math]
  , che è divisibile per tre. Se, invece, il numero considerato è
  [math]530[/math]
  , esso non è divisibile per tre poiché
  [math]5+3+0=8[/math]
  e
  [math]8[/math]
  non è divisibile per tre.
• un numero è divisibile per
  [math]5[/math]
  se termina con
  [math]0[/math]
  o
  [math]5[/math]
  . In questo caso possono essere divisi per 5 i numeri come
  [math]1555,10020,875[/math]
  e non
  [math]1452,1029,482[/math]
• un numero è divisibile per
  [math]11[/math]
  se la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è
  [math]0[/math]
  oppure un multiplo di
  [math]11[/math]
  . Il numero
  [math][/math] 5962 è divisibile per [math]11[/math]
  perché: considerando la somma delle cifre dispari
  [math]5+6[/math]
  e la somma delle cifre pari
  [math]9+2[/math]
  , la differenza tra questi due valori è zero:
  [math]11-11=0[/math]
  . Non è, invece, un numero divisibile per
  [math]11[/math]
  il numero
  [math]8586[/math]
  poiché facendo la differenza tra le cifre dispari
  [math]8+8[/math]
  e le cifre pari
  [math]5+6[/math]
  il risultato non è nullo

Come si calcola il MCD(massimo comune divisore)

Una volta svolta la scomposizione in fattori primi, è possibile calcolare il MCD e il mcm.
Il MCD tra 2 o più numeri è il divisore più grande comune.
Si calcola effettuando la scomposizione in fattori primi dei numeri dati e moltiplicando tra loro i fattori comuni presi con il minimo esponente.

es.

Come si calcola il minimo comune multiplo (mcm)

Il mcm tra 2 o più numeri è il più piccolo multiplo comune.
Si calcola effettuando la scomposizione in fattori primi e moltiplicando tra loro i fattori comuni e non comuni presi col massimo esponente

es.

Per ulteriori approfondimenti sulla scomposizione dei numeri e sul MCD e il MCM vedi anche qua