Basi di Fisica - Leggi di proporzionalità

In questo appunto vengono descritte in modo approfondito le leggi di proporzionalità (diretta, inversa e quadratica), vengono inoltre riportate formule ed esempi.

Le leggi di proporzionalità più semplici

In natura, può esistere una relazione tra due grandezze fisiche qualsiasi.
Esempi sono la massa e il peso, la temperatura e la pressione o il volume di un gas, oppure il campo elettrico in un punto e la carica elettrica nei punti circostanti.

Le relazioni in natura possono essere qualsiasi, ovvero avere carattere funzionale.

Le relazioni di proporzionalità più semplici sono quella diretta, quadratica o inversa.

Tali leggi sono molto utili a livello sperimentale perché mettono in relazione due grandezze e permettono di definire come varia una grandezza, al variare dell’altra.
Ovviamente se consideriamo due grandezze qualsiasi, non è sempre detto che tali due grandezze siano legate da una legge di proporzionalità, in alternativa può essere che la legge che le lega sia anche molto complessa.
Molto spesso in fisica lo scopo dello scienziato è proprio quello di trovare tali leggi di proporzionalità in modo da poter agire su tali grandezze per controllare il comportamento del materiale.

Legge di proporzionalità diretta (o lineare)

Se una grandezza la cui misura y varia linearmente al variare di un'altra grandezza di misura x (ossia in modo che se x raddoppia, triplica, etc..

anche y raddoppia, triplica, etc..) diciamo che y è espressa in funzione di x da una legge di proporzionalità diretta.
Se il rapporto tra queste due misure è costante, l'equazione con cui la si esprime è

Un’equazione del tipo

rappresenta una retta nel piano cartesiano, tale retta avrà pendenza pari a k e tale costante prende il nome di costante di proporzionalità. Dato che tale equazione non presenta alcun termine noto la retta che rappresenta passerà per l’origine degli assi del piano cartesiano.

Esistono molte grandezze che sono legate da una proporzionalità diretta: un esempio è l’allungamento di una molla e la forza applicata a tale molla (se applichiamo una forza ad una molla otterremo un certo allungamento, se applichiamo una forza doppia, tripla, etc… otterremo un allungamento della molla rispettivamente doppio, triplo, etc..).

Per capire se due grandezze sono legate da una proporzionalità diretta è necessario eseguire delle misure di una grandezza (ad esempio l’allungamento della molla) al variare della seconda grandezza (ad esempio la forza applicata alla molla). Se tali misure vengono poi riportate lungo i due assi del piano cartesiano, si otterrà una serie di punti, se tali punti si dispongono lungo una retta allora si può affermare che c’è una proporzionalità diretta tra le due grandezze riportate negli assi cartesiani.
Per ulteriori approfondimenti sulla forza elastica vedi anche qua

Legge di proporzionalità quadratica (o parabolica)

Se una grandezza la cui misura y varia al variare di un'altra grandezza di misura x in modo che x = 2, 3, 4..., implica y = 4k, 9k, 16k...,(con k costante) diciamo che la y è espressa in funzione di x da una legge di proporzionalità diretta alla seconda potenza.
Tale legge è espressa dall'equazione

che graficamente rappresenta una parabola con vertice nell'origine e concavità verso l'alto, se

, verso il basso se

.
Questo tipo di proporzionalità implica che se variamo una grandezza di una certa quantità, la grandezza ad essa correlata varierà in modo maggiore.

Legge di proporzionalità inversa (o iperbolica)

Se una grandezza la cui misura y varia al variare di un'altra grandezza di misura x in modo che il prodotto tra esse assuma sempre lo stesso valore k, diciamo che la y è espressa in funzione di x da una legge di proporzionalità inversa.
L'equazione che descrive tale legge è

, che graficamente corrisponde ad un'iperbole equilatera avente per asintoti gli assi x e y.

Tale relazione implica che se una grandezza aumenta, l’altra grandezza dovrà diminuire e viceversa.

Un esempio di proporzionalità che mette insieme gli ultimi due casi è quello della forza gravitazionale.
L’equazione che esprime la forza gravitazionale è:

G è una costante che prende il nome di costante di gravitazione universale e sarà la costante di proporzionalità dell’equazione riportata.
Osservando la formula si può notare come la forza gravitazionale sia proporzionale alla massa dei corpi (maggiore è la massa dei corpi e maggiore è la forza gravitazionale che i due corpi risentono), dato che le masse non sono elevate ad alcuna potenza si ha che la forza e le masse dei corpi sono legate da una proporzionalità diretta (se quindi ad esempio riportiamo in un grafico la forza gravitazionale in funzione della massa di un corpo, mantenendo invariati gli altri parametri, si potrà notare come i punti che si trovano saranno disposti lungo una retta).
Si può notare inoltre come nell’equazione sia presente a denominatore la distanza (r) al quadrato, tale dipendenza prende il nome di legge di proporzionalità quadratica inversa: dato che tale proporzionalità è inversa si avrà che all’aumentare della distanza tra i corpi, la forza diminuisce ed essendo una proporzionalità quadratica si ha che se la distanza raddoppia la forza sarà

Per ulteriori approfondimenti sulla legge di gravitazione universale vedi anche qua