Come svolgere le potenze: teoria ed esercizi

In questi appunti troverai tutte le informazioni necessarie per svolgere correttamente l'elevazione a potenza, abbinate a degli opportuni esempi svolti riguardanti i casi più comuni.

Cosa sono le potenze e perché si utilizzano

Le potenze sono utili perché permettono di scrivere in maniera più compatta una successione di moltiplicazioni in cui i due fattori coinvolti risultano uguali.

In particolare, data la potenza

:

• [math]a[/math]
  è la base della potenza, ossia il fattore che si ripete nelle moltiplicazioni. Esso può essere un numero intero, positivo, negativo, una frazione etc.
• [math]n[/math]
  è chiamato esponente, ossia il numero di volte in cui il fattore si ripete nel corso delle moltiplicazioni. Anche in questo caso,
  [math]n[/math]
  può essere intero, positivo, negativo etc. Nota bene: se l'esponente è un numero pari, la potenza avrà valore positivo anche se la base è un numero negativo.

  Al contrario, in caso di esponente dispari, la potenza avrà valore positivo se la base è un numero positivo e un valore negativo qualora la base sia un numero negativo.
  E' possibile anche trovare una potenza con esponente frazionario. Se l'esponente è del tipo

  [math]\frac{n}{d}[/math]
  , allora il risultato della potenza sarà la radice
  [math]d[/math]
  -esima della base elevata alla
  [math]n[/math]

Le principali proprietà delle potenze

Come ogni altra operazione, anche le potenze hanno delle proprietà. Queste possono essere utilizzate negli esercizi per svolgerli in modo più veloce, semplificando i calcoli. In particolare, le proprietà delle potenze sono:

• il prodotto di potenze aventi la medesima base. In quel caso, il risultato della potenza è una potenza avente come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti
  [math]a^b\cdot a^c=a^{b+c}[/math]
• il quoziente di potenze aventi la medesima base. Il risultato della potenza è una potenza avente come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti
  [math]a^b:a^c=a^{b-c}[/math]
• l'elevazione a potenza di una potenza. Il risultato della potenza è una potenza avente come base la base della prima potenza e come esponente il prodotto degli esponenti
  [math](a^b)^c=a^{b\cdot c}[/math]
• il prodotto di potenze aventi il medesimo esponente. Il risultato della potenza è una potenza avente lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi
  [math]a^b \cdot c^b=(a \cdot c)^b[/math]
• il quoziente di potenze aventi il medesimo esponente. Il risultato della potenza è una potenza avente lo stesso esponente e come base il quoziente delle basi
  [math]\frac{a^b}{c^b}=(\frac{a}{c})^b[/math]

Esercizi su elevazioni a potenza ed espressioni con le potenze

In aritmetica, si possono trovare esercizi con sole potenze singole da risolvere oppure una serie di operazioni da svolgere sotto forma di espressioni. In questi appunti valuteremo entrambi i casi.

Esercizi tipici sull'elevazione a potenza

• [math]1^1 = 1 [/math]
  per una sola volta, quindi 1 x ("per") nient’altro, quindi = 1
• [math]2^2 = 2 \cdot 2 = 4 [/math]
• [math]3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 [/math]
• [math]4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256 [/math]
• [math]5^5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3.125 [/math]
• [math]6^6 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 46.656 [/math]
• [math]7^7 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 823.543 [/math]
• [math]8^8 = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot8 \cdot 8 \cdot 8 = 16.777.216 [/math]
• [math]9^9 = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 387.420.489[/math]
• [math]0^0 = 0 [/math]
• [math] 1^0 = 1 [/math]
• [math]2^0 = 1[/math]
• [math]0^8 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0[/math]
• [math]1^2 = 1 \cdot 1 = 1 [/math]
• [math]1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 [/math]
• [math]1^4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 =1 [/math]
• [math]1^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 [/math]
• [math]1^6 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 [/math]
• [math]1^7 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 [/math]
• [math]1^8 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 [/math]
• [math]1^9 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 [/math]
• [math]1^0 = 0 [/math]
• [math]2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 [/math]
• [math]111^3 = 111 \cdot 111 \cdot 111= 1.367.631 [/math]
• [math]10^1 = 10 [/math]
• [math]10^2 = 10 \cdot 10 = 100 [/math]
• [math]10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10.000 [/math]
• [math]10^10 = 100.000.000.000 [/math]
• [math]10^11 = 1.000.000.000.000 [/math]
• [math]100^2 = 100 \cdot 100 = 10.000 [/math]
• [math]100^3 = 100 \cdot 100 \cdot 100 = 1.000.000 [/math]
• [math]7^5 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 16.807 [/math]
• [math]2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 [/math]

Come abbiamo già scritto precedentemente, le potenze possono essere incluse nelle espressioni e in tal caso vanno eseguite sempre e solo come prima operazione. Nota bene: nelle espressioni non c’è bisogno di scrivere lo svolgimento delle potenze, ma direttamente si scrive il risultato e poi si continua con le restanti operazioni.

Esercizio 1: espressioni con le potenze

Esercizio 2: espressioni con le potenze

Esercizio 3: espressioni con potenze

Se quando risolviamo una potenza otteniamo un numero con troppe cifre, cioè un numero molto lungo, è consigliabile usare il punto “.” per dividere le migliaia, così riusciamo a leggerlo con più facilità. Il punto non è la virgola! Quindi i numeri con il punto sono numeri interi, non decimali. Esistono anche numeri che presentano sia il punto (opzionale) che la virgola (obbligatoria per rappresentare i decimali).

Esercizio 4: espressioni con potenze

E’ vero che le potenze sono un'operazione aritmetica, si basano su una delle 4 operazioni principali: la moltiplicazione.

Per ulteriori approfondimenti sulle potenze vedi anche qua