Insieme N dei numeri naturali: proprietà ed esercizi

Nel seguente appunto viene descritto l'insieme dei numeri naturali, ossia quell'insieme che contiene tutti i numeri interi non negativi. Vedremo le proprietà principali di questo insieme e svolgeremo degli esercizi richiedenti l'utilizzo dell'insieme dei numeri naturali.

L'insieme dei numeri naturali

L'insieme dei numeri naturali si indica con

.

Esso comprende tutti i numeri interi non negativi, ossia tutti i numeri interi che sono maggiori o uguali a

. Per questa ragione, essendo

un insieme, potremo dire che

. Una cosa interessante che possiamo notare è che l'insieme dei numeri naturali ha un inizio ma non ha una fine. Per questa ragione, possiamo dire che questo insieme è limitato inferiormente ma illimitato superiormente.
I numeri che ne fanno parte (ossia 0, 1, 2 e così via) costituiscono l'insieme, ossia ne sono elementi e sono detti numeri naturali.
L'insieme dei numeri naturali non è da confondere con l'insieme degli interi positivi che contiene tutti i numeri che sono strettamente maggiori di

. Tale insieme viene solitamente indicato con la notazione

oppure con la notazione

.
Per approfondimenti sugli insiemi vedi anche qua.

Ordinabilità dell'insieme dei numeri naturali

Il fatto che l'insieme dei numeri naturali sia ordinato ci porta ad affermare la seguente proprietà: ogni numero naturale è minore di tutti i numeri naturali che lo seguono ed è maggiore di tutti i numeri naturali che lo precedono (vedi figura). Ad esempio, se percorriamo la linea dei numeri naturali da sinistra verso destra incontreremo prima il

e poi il

. Potremo affermare che

(la punta va sempre verso il numero più piccolo) e tale relazione si legge 23 è minore di 347.
Ogni numero naturale, quindi, escluso lo zero, ha un precedente (o antecedente), che è quello che viene subito prima; così pure ogni numero intero ha un suo consecutivo (o successivo), che è quello che viene subito dopo.
Oltre ai simboli

che significano minore e maggiore rispettivamente, esistono anche

e

che significano rispettivamente minore o uguale e maggiore o uguale.
Possiamo quindi dire ad esempio:

,

,

, ma non possiamo dire che

.

La simbologia in sintesi

In sintesi:

• Il simbolo
  [math]>[/math]
  sta per maggiore;
• Il simbolo
  [math]>[/math]
  sta per minore;
• Il simbolo
  [math]\ge[/math]
  sta per maggiore o uguale;
• Il simbolo
  [math]\le[/math]
  sta per minore o uguale;

Esercizi sul maggiore (con soluzioni)

Per ognuna delle seguenti relazioni, stabilire se sono vere o se sono false.

• [math] 8 > 7 [/math]
• [math] 3 > 2 [/math]
• [math] 5 > 6 [/math]
• [math] 9 > 8 [/math]
• [math] 7 > 4 [/math]

• Vero
• Vero
• Falso
• Vero
• Vero

Esercizi sul maggiore o uguale (con soluzioni)

Per ognuna delle seguenti relazioni, stabilire se sono vere o se sono false.

• [math] 13 \ge 10 [/math]
• [math] 12 \ge 2 [/math]
• [math] 9 \ge 17 [/math]
• [math] 5 \ge 6 [/math]
• [math] 3 \ge 3 [/math]

• Vero
• Vero
• Falso
• Falso
• Vero

Esercizi sul minore (con soluzioni)

Per ognuna delle seguenti relazioni, stabilire se sono vere o se sono false.

• [math] 5 > 3 [/math]
• [math] 2 > 2 [/math]
• [math] 9 > 12 [/math]
• [math] 7 > 4 [/math]
• [math] 8 > 10 [/math]

• Falso
• Falso
• Vero
• Falso
• Vero

Esercizi sul minore o uguale (con soluzioni)

Per ognuna delle seguenti relazioni, stabilire se sono vere o se sono false.

• [math] 7 \le 8 [/math]
• [math] 5 \le 14 [/math]
• [math] 3 \le 2 [/math]
• [math] 7 \le 1 [/math]
• [math] 5 \le 9 [/math]

• Vero
• Vero
• Falso
• Falso
• Vero

Approfondimenti

L'insieme dei numeri naturali non è l'unico insieme per il quale è possibile stabilire, data una coppia di elementi, se il primo elemento è maggiore, minore o uguale al secondo. Infatti è possibile effettuare operazioni di questo tipo anche con i numeri decimali.

Per approfondimenti sulle relazioni di disuguaglianza (o uguaglianza) tra i numeri decimali, vedi anche qua