Nel seguente appunto viene descritto l'insieme dei numeri naturali, ossia quell'insieme che contiene tutti i numeri interi non negativi. Vedremo le proprietà principali di questo insieme e svolgeremo degli esercizi richiedenti l'utilizzo dell'insieme dei numeri naturali.
L'insieme dei numeri naturali
L'insieme dei numeri naturali si indica con[math]\mathbb{N}[/math]
. Esso comprende tutti i numeri interi non negativi, ossia tutti i numeri interi che sono maggiori o uguali a [math]0[/math]
. Per questa ragione, essendo [math]\mathbb{N}[/math]
un insieme, potremo dire che [math]\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}[/math]
. Una cosa interessante che possiamo notare è che l'insieme dei numeri naturali ha un inizio ma non ha una fine.
Per questa ragione, possiamo dire che questo insieme è limitato inferiormente ma illimitato superiormente.I numeri che ne fanno parte (ossia 0, 1, 2 e così via) costituiscono l'insieme, ossia ne sono elementi e sono detti numeri naturali.
L'insieme dei numeri naturali non è da confondere con l'insieme degli interi positivi che contiene tutti i numeri che sono strettamente maggiori di
[math]0[/math]
. Tale insieme viene solitamente indicato con la notazione [math]\mathbb{N^+}[/math]
oppure con la notazione [math]\mathbb{N}^*[/math]
.Per approfondimenti sugli insiemi vedi anche qua.
Ordinabilità dell'insieme dei numeri naturali
Il fatto che l'insieme dei numeri naturali sia ordinato ci porta ad affermare la seguente proprietà: ogni numero naturale è minore di tutti i numeri naturali che lo seguono ed è maggiore di tutti i numeri naturali che lo precedono (vedi figura). Ad esempio, se percorriamo la linea dei numeri naturali da sinistra verso destra incontreremo prima il[math]23[/math]
e poi il [math]347[/math]
. Potremo affermare che [math]23 > 347[/math]
(la punta va sempre verso il numero più piccolo) e tale relazione si legge 23 è minore di 347.Ogni numero naturale, quindi, escluso lo zero, ha un precedente (o antecedente), che è quello che viene subito prima; così pure ogni numero intero ha un suo consecutivo (o successivo), che è quello che viene subito dopo.
Oltre ai simboli
[math]>, >[/math]
che significano minore e maggiore rispettivamente, esistono anche [math]\le[/math]
e [math]\ge[/math]
che significano rispettivamente minore o uguale e maggiore o uguale.Possiamo quindi dire ad esempio:
[math]3 \le 7[/math]
, [math]3 > 7[/math]
, [math]7 \le 7[/math]
, ma non possiamo dire che [math]7 > 7[/math]
.
La simbologia in sintesi
In sintesi:- Il simbolo [math]>[/math]sta per maggiore;
- Il simbolo [math]>[/math]sta per minore;
- Il simbolo [math]\ge[/math]sta per maggiore o uguale;
- Il simbolo [math]\le[/math]sta per minore o uguale;
Esercizi sul maggiore (con soluzioni)
Per ognuna delle seguenti relazioni, stabilire se sono vere o se sono false.- [math] 8 > 7 [/math]
- [math] 3 > 2 [/math]
- [math] 5 > 6 [/math]
- [math] 9 > 8 [/math]
- [math] 7 > 4 [/math]
- Vero
- Vero
- Falso
- Vero
- Vero
Esercizi sul maggiore o uguale (con soluzioni)
Per ognuna delle seguenti relazioni, stabilire se sono vere o se sono false.- [math] 13 \ge 10 [/math]
- [math] 12 \ge 2 [/math]
- [math] 9 \ge 17 [/math]
- [math] 5 \ge 6 [/math]
- [math] 3 \ge 3 [/math]
- Vero
- Vero
- Falso
- Falso
- Vero
Esercizi sul minore (con soluzioni)
Per ognuna delle seguenti relazioni, stabilire se sono vere o se sono false.- [math] 5 > 3 [/math]
- [math] 2 > 2 [/math]
- [math] 9 > 12 [/math]
- [math] 7 > 4 [/math]
- [math] 8 > 10 [/math]
- Falso
- Falso
- Vero
- Falso
- Vero
Esercizi sul minore o uguale (con soluzioni)
Per ognuna delle seguenti relazioni, stabilire se sono vere o se sono false.- [math] 7 \le 8 [/math]
- [math] 5 \le 14 [/math]
- [math] 3 \le 2 [/math]
- [math] 7 \le 1 [/math]
- [math] 5 \le 9 [/math]
- Vero
- Vero
- Falso
- Falso
- Vero
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