Moto circolare uniforme: definizione e formulario

Nel seguente appunto studieremo nel dettaglio uno dei moti principali della fisica: il moto circolare uniforme, elencando tutte le formule che possono risultare utili nella risoluzione dei problemi. Un moto, in fisica, è detto uniforme quando la velocità è costante in ogni istante del moto. Infatti, studieremo il moto di un corpo che si muove lungo una traiettoria che ha la forma di una circonferenza a velocità sempre costante.

Richiami di geometria e goniometria

Per comprendere bene il moto circolare uniforme è necessario conoscere bene determinati concetti di geometria piana e dei cenni di goniometria.
Sappiamo che, come accennato nell'introduzione sopra, la traiettoria descritta dal corpo è circolare. E sappiamo inoltre che la circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro. Tale distanza fissa è detta raggio, e per passare dal raggio alla lunghezza della circonferenza bisogna usare la formula per il calcolo della lunghezza della circonferenza, che è la seguente:
dove sono rispettivamente le misure di circonferenza e raggio. Potrebbe essere utile anche la formula inversa facilmente ricavabile dalla formula di partenza:
.
Nel moto circolare uniforme si sentirà spesso parlare inoltre di velocità angolare. Si differenzia dalla velocità tangenziale perché in realtà la velocità angolare rappresenta l'angolo descritto dal corpo in traiettoria per unità di tempo. Tipicamente la velocità angolare si esprime in radianti al secondo, scritto come e non è possibile effettuare una conversione univoca da velocità tangenziale a velocità angolare, ma il passaggio da velocità angolare a velocità tangenziale (e viceversa) dipende dal raggio della traiettoria in esame. Va ricordato che , quindi ad esempio, se un corpo compie un giro al secondo nella traiettoria circolare, la sua velocità angolare (solitamente indicata con , leggasi omega) sarebbe stata .

Per ulteriori approfondimenti sulle relazioni tra le varie unità di misura dell'angolo (ossia gradi sessagesimali e radianti) vedi anche qua

Moto circolare uniforme: definizione

Il moto circolare uniforme è quello di un punto che si muove su una circonferenza con velocità di modulo costante. La direzione, così come il vettore velocità tangenziale è tangente alla circonferenza, il verso può essere orario o antiorario.
La velocità in un moto circolare uniforme è il rapporto fra la lunghezza dell’arco percorso sulla circonferenza e l’intervallo di tempo impiegato a percorrerlo.
Se il punto percorre l’intera circonferenza impiega un certo intervallo di tempo che si chiama periodo ed esso viene indicato con .
La velocità in un moto circolare uniforme può essere definita, oltre a "velocità tangenziale", anche "velocità periferica".
In un moto circolare, anche in quello uniforme, è sempre presente un’accelerazione (detta accelerazione centripeta ), infatti è proprio il cambiamento costante di direzione che determina l'accelerazione del punto.

Moto circolare uniforme: formule utili

Calcolo della velocità tangenziale :

. Viene utilizzata la classica definizione di velocità, prendendo come spazio la lunghezza della circonferenza, e come tempo il periodo.

. Questa formula è utile per passare dalla velocità angolare alla velocità tangenziale.

[math] v_t = \sqrt{a_c \cdot r} [/math]

. Questa formula serve per ricavare la velocità tangenziale se è nota l'accelerazione centripeta e il raggio della traiettoria.

Calcolo della velocità angolare

[math]\omega[/math]

:

• [math] \omega = \frac{v_t}{r} [/math]
  . Inversa di una delle uguaglianze precedenti, serve a calcolare la velocità angolare se è nota la velocità tangenziale.
• [math] \omega = \sqrt{a_c \cdot r} [/math]
  . Se non dovesse invece essere nota la velocità tangenziale, ma è invece nota l'accelerazione centripeta assieme al raggio della traiettoria, con questa formula è possibile trovare la velocità angolare.
• [math] \omega = \frac{2 \pi}{T} [/math]
  . Serve a trovare l'accelerazione angolare dato il periodo del moto circolare in esame.

Calcolo del raggio della traiettoria

[math]r[/math]

:

[math] r = \frac{v_t \cdot T}{2 \pi} [/math]

se è nota la velocità tangenziale, assieme al periodo.

[math] r = \frac{v_t}{\omega} [/math]

se sono note entrambe le velocità: sia la velocità tangenziale che la velocità angolare.

[math] r = \frac{v_t^2}{a_c} [/math]

se conosciamo la velocità tangenziale e l'accelerazione centripeta.

Calcolo dell'accelerazione centripeta

[math]a_c[/math]

:

[math] a_c = \frac{v_t^2}{r} [/math]
se conosciamo la velocità tangenziale e il raggio della traiettoria circolare.

[math]a_c = \omega^2 \cdot r[/math]
se invece è nota la velocità angolare e il raggio della traiettoria circolare. Quest'ultima formula è ricavabile dalla relazione
[math]v_t = \omega \cdot r[/math]
. Se sappiamo che
[math] a_c = \frac{v_t^2}{r} [/math]
, allora, sostituendo al numeratore
[math]\omega \cdot r[/math]
a
[math]v_t[/math]
otteniamo che
[math] a_c = \frac{\omega^2 \cdot r^2}{r} = \omega^2 \cdot r [/math]
.

L'accelerazione centripeta è un'accelerazione che è diretta verso il centro della circonferenza, ossia il centro della traiettoria.

Per ulteriori approfondimenti sull'accelerazione centripeta vedi anche qua