Accelerazione centripeta - formule e descrizione

Appunto di fisica in cui viene introdotto il concetto di accelerazione centripeta e vengono spiegate le formule che legano tale grandezza ad altre grandezze coinvolte nel moto circolare uniforme.

adminv15
di adminv15
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Concetti Chiave

  • L'accelerazione centripeta è una grandezza che varia la direzione della velocità nei moti circolari uniformi, ed è diretta verso il centro della traiettoria.
  • La formula per calcolare l'accelerazione centripeta è a_c = \frac{v_t^2}{r}, dove v_t è la velocità tangenziale e r è il raggio della traiettoria circolare.
  • La forza centripeta, fondamentale nei moti circolari, è il prodotto della massa e dell'accelerazione centripeta: F_c = m \cdot a_c = m \cdot \frac{v_t^2}{r}.
  • La dimostrazione della formula dell'accelerazione centripeta utilizza principi di analisi matematica e calcolo vettoriale, con un focus sulla variazione infinitesimale della velocità.
  • Determinando l'accelerazione centripeta della Terra, si considera la sua orbita intorno al Sole come circolare, ottenendo un valore di 5,9 \cdot 10^{-6} \frac{\text{km}}{\text{sec}^2}.

In questi appunto vedremo meglio che cos'è l'accelerazione centripeta: ossia una grandezza che compare spesso nel moto circolare uniforme. Esso è il moto caratteristico dei corpi che si muovono a velocità costante lungo una traiettoria circolare. La variazione della direzione del vettore velocità è infatti continua, secondo l'azione del vettore accelerazione centripeta.

Accelerazione centripeta - formule e descrizione articolo

Indice

  1. Accelerazione centripeta
  2. Relazione tra accelerazione centripeta e forza centripeta
  3. Dimostrazione della formula per l'accelerazione centripeta
  4. Determinazione dell'accelerazione centripeta della Terra

Accelerazione centripeta

Immaginiamo di far ruotare uno yo-yo, tenendo il filo in tensione, facendogli seguire una traiettoria circolare, a velocità costante. Se da un momento all'altro dovessimo mollare lo yo-yo, esso cambierebbe il moto e si muoverebbe in avanti, lungo la retta tangente alla traiettoria circolare nel punto di "stop". Tuttavia, se il moto circolare continuasse, allora la variazione di direzione è continua. Il vettore responsabile di questa variazione è diretto verso il centro ed è detto accelerazione centripeta.
Essa si esprime mediante la formula:
[math] a_c = \frac{v_t^2}{r} [/math]
dove
[math] a_c, v_t, r [/math]
rappresentano rispettivamente accelerazione centripeta, velocità tangenziale e raggio della traiettoria circolare.

Relazione tra accelerazione centripeta e forza centripeta

Per la seconda legge della dinamica (anche detta seconda legge di Newton) si ha che la forza è data dal prodotto tra massa e accelerazione. In formule:
[math] F = m \cdot a [/math]
.
Questa relazione è molto utile perché grazie ad essa possiamo ricavare l'espressione che ci permette di calcolare la forza centripeta. Per la seconda legge di Newton, essa sarà uguale al prodotto tra la massa e l'accelerazione centripeta.
In formule:
[math] F_c = m \cdot a_c = m \cdot \frac{v_t^2}{r} [/math]
Per approfondimenti sul moto circolare uniforme, vedi anche qua.

Dimostrazione della formula per l'accelerazione centripeta

Sarà necessario qualche richiamo di analisi matematica e qualche richiamo sul calcolo vettoriale.
In generale, ricordiamo che:
[math] a = \frac{d\vec{v}}{dt} [/math]
Consideriamo due punti con distanza tendente a
[math] 0 [/math]
sulla nostra traiettoria circolare. In quei punti le velocità saranno
[math] \vec{v_1}, \vec{v_2} [/math]
, uguali in modulo pari a
[math] v_t [/math]
ma non in direzione e verso. Formano tra di loro un angolo
[math] d\theta \rightarrow 0 [/math]
Di conseguenza il vettore
[math] d\vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1} [/math]
. Per il Teorema di Carnot il modulo della differenza tra i due vettori sarà uguale a:
[math] |d\vec{v}| = \sqrt{v_t^2 + v_t^2-2 \cdot v_t \cdot v_t \cdot \cos(\theta)} [/math]
Che possiamo riscrivere come:
[math] |d\vec{v}| = \sqrt{2v_t^2 \cdot (1 - \cos(d\theta))} [/math]
In definitiva avremo che:
[math]a_c = \frac{ \sqrt{2v_t^2 \cdot (1 - \cos(d\theta))}}{dt}[/math]
Possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per
[math] \sqrt{1 + \cos(\theta)} [/math]
, e sfruttando il fatto che
[math] \sin^2 (\theta) + \cos^2(\theta) = 1 [/math]
per l'identità fondamentale della trigonometria si ottiene:
[math] a_c = \frac{\sqrt{2v_t^2 \cdot \sin^2(d\theta)}}{dt (\sqrt{1 + \cos(d\theta)}} [/math]
Ora, dal momento che
[math] \theta \rightarrow 0 [/math]
, si avrà che
[math] 1 + \cos(d\theta) \rightarrow 2 [/math]
, quindi possiamo semplificare e riscrivere il tutto semplificando
[math] \sqrt{2} [/math]
come:
[math] a_c = \frac{\sqrt{v_t^2 \cdot \sin^2(d\theta)}}{dt} [/math]
Estraiamo la radice, si ottiene:
[math] a_c = \frac{v_t \cdot \sin(d\theta)}{dt} [/math]
Sfruttando il limite notevole del seno, ossia la nota uguaglianza:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 [/math]
, possiamo sostituire
[math] \sin(d\theta) [/math]
con
[math] d\theta [/math]
.
Ma allora:
[math] a_c = v_t \cdot \omega [/math]
dove
[math] \omega [/math]
è detta velocità angolare. Sfruttando il fatto che
[math] \omega \cdot r = v_t [/math]
, otteniamo infine che
[math] a_c = \frac{v_t^2}{r} [/math]
, che è quanto volevamo dimostrare.

Per approfondimenti sui limiti vedi anche qua

Accelerazione centripeta - formule e descrizione articolo

Determinazione dell'accelerazione centripeta della Terra

Determiniamo ora l'accelerazione centripeta della Terra quando orbita intorno al Sole. Sappiamo bene che per la prima legge di Keplero, non si tratta di un moto circolare uniforme bensì di un moto a traiettoria ellittica. Per questo, approssimeremo l'orbita ad una circonferenza.
Abbiamo a disposizione la distanza media tra la Terra e il Sole, pari a
[math] R = 1,496 \cdot 10^8 \text{km} [/math]
. Proviamo a determinare la velocità tangenziale della Terra, tenendo conto del fatto che l'orbita sarà la misura di una circonferenza e quindi pari a
[math] C = 2 \cdot \pi \cdot r = 9,395 \cdot 10^8 \text{km} [/math]
. Tenuto conto del fatto che la Terra impiega (circa) 365 giorni per fare un giro completo intorno al Sole avremo:
[math] v_t = \frac{9,395 \cdot 10^8 \text{km}}{31536000 \text{sec}} = 29,8 \frac{\text{km}}{\text{sec}} [/math]
Ora abbiamo dati sufficienti per determinare l'accelerazione centripeta:
[math] a_c = \frac{v_t^2}{R} = \frac{29.8 \frac{\text{km}}{\text{sec}})^2}{1,496 \cdot 10^8 \text{km}} = 5,9 \cdot 10^{-6} \frac{\text{km}}{\text{sec}^2} [/math]

Visualizza il file allegato.

Domande da interrogazione

  1. Che cos'è l'accelerazione centripeta?

    2. L'accelerazione centripeta è una grandezza che compare nel moto circolare uniforme, responsabile della variazione continua della direzione del vettore velocità, ed è diretta verso il centro della traiettoria circolare.

  2. Come si esprime la relazione tra accelerazione centripeta e forza centripeta?

    3. La forza centripeta si calcola come il prodotto tra la massa e l'accelerazione centripeta, espressa dalla formula [math] F_c = m \cdot a_c = m \cdot \frac{v_t^2}{r} [/math].

  3. Qual è la formula per l'accelerazione centripeta e come si dimostra?

    4. La formula per l'accelerazione centripeta è [math] a_c = \frac{v_t^2}{r} [/math]. La dimostrazione utilizza concetti di analisi matematica e calcolo vettoriale, considerando la variazione infinitesimale della velocità lungo la traiettoria circolare.

  4. Come si determina l'accelerazione centripeta della Terra?

    5. L'accelerazione centripeta della Terra si determina approssimando l'orbita ellittica a una circonferenza, calcolando la velocità tangenziale e applicando la formula [math] a_c = \frac{v_t^2}{R} [/math], ottenendo [math] 5,9 \cdot 10^{-6} \frac{\text{km}}{\text{sec}^2} [/math].

  5. Qual è il ruolo della velocità angolare nella dimostrazione della formula per l'accelerazione centripeta?

    6. La velocità angolare [math] \omega [/math] è utilizzata nella dimostrazione per esprimere l'accelerazione centripeta come [math] a_c = v_t \cdot \omega [/math], sfruttando la relazione [math] \omega \cdot r = v_t [/math] per arrivare alla formula finale [math] a_c = \frac{v_t^2}{r} [/math].

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