Accelerazione dei sistemi complessi e quantità di moto

Appunto di Fisica sull'accelerazione dei sistemi complessi di punti materiali e sulla definizione di Quantità di moto (o momento lineare)

SteDV
di SteDV
Habilis
5 min. di lettura
Vota 4 / 5

Concetti Chiave

  • Il centro di massa di un sistema di particelle è governato dalla Seconda legge di Newton, indipendentemente dalle altre variabili.
  • In un sistema chiuso, la massa complessiva resta invariata e la somma delle forze agenti sulle particelle è la risultante sul sistema.
  • La quantità di moto, o momento lineare, misura la capacità di un corpo di modificare il moto di un altro e dipende dalla massa e dalla velocità del corpo.
  • La variazione della quantità di moto di un corpo è direttamente proporzionale alla forza risultante applicata su di esso.
  • Per un sistema complesso di particelle, la quantità di moto complessiva deriva dalla somma delle quantità di moto individuali e varia con la forza risultante totale.

L’accelerazione dei sistemi complessi

Considerato un generico sistema di particelle (punti materiali) di massa complessiva

[math]M[/math]
, il centro di massa è il solo punto il cui moto è governato, sempre e comunque, dalla Seconda legge di Newton. In altre parole:

[math]\textbf{F}_{net} = M \textbf{a}_{cdm}[/math]
[math]F_{net,x} = M a_{cdm,x} \text{; } F_{net,y} = M a_{cdm,y} \text{; } F_{net,z} = M a_{cdm,z}[/math]

NOTA: si considera un sistema chiuso, tale per cui la massa complessiva non varia per effetto del moto o delle forze esterne.
Tale affermazione si dimostra algebricamente, considerando un sistema di

[math]n[/math]
particelle. di massa complessiva
[math]M[/math]
, il cui centro di massa è individuato dal vettore posizione
[math]\textbf{r}_{cdm}[/math]
.

[math]M\textbf{r}_{cdm} = m_1 \textbf{r}_1 + m_2 \textbf{r}_2 + … + m_n \textbf{r}_n [/math]

Poiché la velocità corrisponde alla derivata rispetto al tempo della posizione e l’accelerazione, a sua volta, è la derivata rispetto al tempo della velocità, risulta:

[math]M \textbf{v}_{cdm} = m_1 \textbf{v}_1 + m_2 \textbf{v}_2 + … + m_n \textbf{v}_n \text{ con } \textbf{v}_i = \frac{d \textbf{r}_i}{dt} \text{ e } \textbf{v}_{cdm} = \frac{d\textbf{r}_{cdm}}{dt}[/math]

[math]M \textbf{a}_{cdm} = m_1 \textbf{a}_1 + m_2 \textbf{a}_2 + … + m_n \textbf{a}_n \text{ con } \textbf{a}_i = \frac{d \textbf{v}_i}{dt} \text{ e } \textbf{a}_{cdm} = \frac{d\textbf{v}_{cdm}}{dt}[/math]

In applicazione della Seconda legge di Newton, i termini

[math]m_i \textbf{a}_i[/math]
corrispondono alla risultante delle forze agenti su ciascuna particella del sistema considerato.
La somma vettoriale di tali forze è la risultante rispetto all’intero sistema, per cui:

[math]\textbf{F}_{net} = M \textbf{a}_{cdm} = \textbf{F}_{net,1} + \textbf{F}_{net,2} + … + \textbf{F}_{net,n} = m_1 \textbf{a}_1 + m_2 \textbf{a}_2 + … + m_n \textbf{a}_n[/math]

Quantità di moto

L’analisi fisica degli urti e, più in generale, dell’interazione dinamica tra i corpi, richiede l’introduzione di una grandezza chiamata quantità di moto o momento lineare.
Si tratta di una grandezza vettoriale che misura la capacità di un corpo di modificare il moto degli oggetti con i quali entra in contatto e risulta dal prodotto tra la massa

[math]m[/math]
del corpo stesso e la sua velocità
[math]\textbf{v}[/math]
.

[math]\textbf{q} = m \textbf{v}[/math]

NOTA: per definizione, la quantità di moto si misura in chilogrammi per metro al secondo (kg • m/s); il vettore

[math]\textbf{q}[/math]
ha direzione e verso uguali al vettore velocità
[math]\textbf{v}[/math]
, essendo la massa m una grandezza scalare sempre positiva.
La quantità di moto di un corpo dipende direttamente dalla forza risultante applicata ad esso ed ogni sua variazione è proporzionale a quest’ultima. Infatti (richiamando la Seconda legge di Newton):

[math]\textbf{F}_{net} = m \textbf{a} = m \frac{d \textbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt} (m \textbf{v} = \frac{d\textbf{q}}{dt})[/math]

Si ricava che la quantità di moto di un corpo varia esclusivamente in applicazione di una forza risultante non nulla; in caso contrario, risulta costante.

Quantità di moto di sistemi complessi

Dato un sistema complesso di

[math]n[/math]
punti materiali, ognuno dei quali dotato di propria massa
[math]m_i[/math]
e velocità vi, la quantità di moto complessiva
[math]\textbf{Q}[/math]
di tale sistema risulta dalla somma vettoriale delle quantità di moto
[math]q_i[/math]
associate a ciascuno dei punti materiali componenti.
Essa è pari al prodotto tra la massa complessiva M del sistema e la velocità del suo centro di massa vcdm.

[math]\textbf{Q} = \textbf{q}_1 + \textbf{q}_2 + … + \textbf{q}_n = m_1 \textbf{v}_1 + m_2 \textbf{v}_2 + … + m_n \textbf{v}_n = M \textbf{v}_{cdm}[/math]

La forza risultante

[math]\textbf{F}_{net}[/math]
applicata all’intero sistema è pari alla derivata della quantità di moto complessiva:

[math]\textbf{F}_{net} = \frac{d\textbf{Q}}{dt}[/math]

Domande da interrogazione

  1. Cosa rappresenta il centro di massa in un sistema di particelle?

    2. Il centro di massa è il punto il cui moto è governato dalla Seconda legge di Newton, ed è l'unico punto in un sistema di particelle che si comporta in questo modo.

  2. Come si calcola la quantità di moto di un corpo?

    3. La quantità di moto si calcola come il prodotto tra la massa del corpo e la sua velocità, ed è una grandezza vettoriale.

  3. Qual è la relazione tra la forza risultante e la quantità di moto?

    4. La forza risultante applicata a un corpo è uguale alla derivata temporale della sua quantità di moto, secondo la Seconda legge di Newton.

  4. Come si determina la quantità di moto complessiva di un sistema complesso?

    5. La quantità di moto complessiva di un sistema complesso è la somma vettoriale delle quantità di moto di ciascun punto materiale del sistema.

  5. Cosa accade alla quantità di moto di un corpo in assenza di una forza risultante?

    6. In assenza di una forza risultante, la quantità di moto di un corpo rimane costante.

Appunti correlati

Domande e risposte

Hai bisogno di aiuto?
Chiedi alla community
Fai una domanda

I migliori insegnanti di Fisica

Salvatore

Salvatore F.

Supertutor
Percorsi
Verificato
DSA

Insegnante di Aiuto compiti, Aiuto tesi, Algebra, Analisi 1

a partire da 20 €/ora
most booked
Matteo

Matteo S.

Supertutor
Verificato

Insegnante di Aiuto tesi, Algebra, Geometria, Matematica

a partire da 20 €/ora
most booked
Mostra altri Tutor