Concetti Chiave
- Il problema riguarda un corpo che scivola lungo due piani inclinati simmetricamente disposti a V, con un angolo di inclinazione α rispetto all'orizzontale.
- Il corpo parte da un'altezza iniziale h1 su un piano inclinato e raggiunge un'altezza finale h2 sull'altro piano, inferiore a h1, a causa dell'attrito.
- La differenza tra l'energia potenziale iniziale e finale del corpo corrisponde al lavoro svolto dall'attrito durante il movimento.
- Il coefficiente di attrito dinamico k è determinato usando la formula: k = (h1 - h2) / ((h1 + h2) * tan(α)).
- Il percorso totale del corpo, l, è calcolato tramite trigonometria elementare come l = (h1 + h2) / sin(α).
Testo dell'esercizio
Due piani inclinati scabri sono disposti simmetricamente a forma di V, inclinati rispetto all'asse orizzontale di un angolo[math]\alpha[/math]
. Un corpo di piccole dimensioni viene posato su uno dei piani inclinati ad altezza [math]h_1[/math]
rispetto al piano orizzontale e viene lasciato libero di muoversi con velocità iniziale nulla. Il corpo scivola lungo il piano inclinato, arriva sul fondo dove trova un raccordo regolare di lunghezza trascurabile rispetto ad [math]h_1[/math]
e risale sul secondo piano inclinato fino ad altezza [math]h_2[/math]
minore di [math]h_1[/math]
(rispetto al piano orizzontale). Si chiede di determinare il coefficiente di attrito dinamico dei due piani scabri (è uguale per i due piani).
Svolgimento dell'esercizio
La differenza tra l'energia potenziale iniziale e finale combacia con il lavoro fatto dall'attrito.Infatti se non ci fosse stato attrito, la massa sarebbe risalita di un'altezza uguale. L'energia iniziale è:
[math] U_1 = mgh_1 [/math]
[math]U_2 = mgh_21[/math]
[math]mgh_1-mgh_2=mg \cos(\alpha) \cdot k \cdot l[/math]
[math]l[/math]
è il tragitto totale del corpo, calcolabile con un po' di trigonometria elementare a partire da [math]h_1[/math]
e [math]h_2[/math]
Si vede bene che la massa si semplifica, e non ha influenza sul risultato finale. Inoltre anche
[math]g[/math]
si semplifica.Noti
[math]h_1, h_2, \alpha, l [/math]
l'unica incognita è [math] k [/math]
.Dunque si ha:
[math] k = \frac{h_1-h_2}{l \cos (\alpha) } [/math]
Domande da interrogazione
- Come si determina il coefficiente di attrito dinamico nei piani inclinati scabri?
- Perché il corpo non risale alla stessa altezza iniziale sul secondo piano inclinato?
Il coefficiente di attrito dinamico si determina eguagliando la differenza tra l'energia potenziale iniziale e finale al lavoro fatto dall'attrito. La formula risultante è [math] k = \frac{h_1-h_2}{l \cos (\alpha) } [/math], dove [math]h_1[/math] e [math]h_2[/math] sono le altezze iniziale e finale, [math]l[/math] è il tragitto totale e [math]\alpha[/math] è l'angolo di inclinazione.
Il corpo non risale alla stessa altezza iniziale sul secondo piano inclinato a causa del lavoro compiuto dall'attrito, che dissipa parte dell'energia potenziale iniziale, riducendo l'altezza finale raggiunta.
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