Momento torcente di una spira – spiegazione e formula

In questo appunto viene descritta e calcolata la formula utile per esprimere il momento torcente di una spira; per comprendere al meglio tale descrizione viene prima proposto un ripasso sulla forza magnetica, sul momento torcente e sulle caratteristiche di una spira.

Forza magnetica

La forza magnetica è un particolare tipo di forza che appare nel momento in cui una carica o una corrente è immersa in un campo magnetico.

Data una carica libera (q) che si muove con velocità v e che è immersa in un campo magnetico (B), tale carica risentirà di una forza magnetica che può essere espressa attraverso la seguente formula:

Nella formula riportata compaiono due diversi tipi di prodotto: il primo è un prodotto scalare ovvero un prodotto tra due numeri o tra un numero e un vettore; il secondo prodotto è invece un prodotto vettoriale.
Un prodotto vettoriale è un prodotto tra due vettori che viene indicato con il simbolo ∧; tale prodotto fornisce come risultato un vettore.
A differenza del prodotto scalare, nel prodotto vettoriale è molto importante l’ordine dei vettori in quanto il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa.
Il vettore che si ottiene dal prodotto vettoriale ha direzione e verso che possono essere trovati utilizzando la regola della mano destra.
Il modulo del vettore risultante dal prodotto vettoriale può essere ottenuto introducendo la funzione seno dell’angolo compreso tra i due vettori.

La forza magnetica agisce in presenza di cariche libere o in presenza di correnti elettriche (una corrente non è altro che l’insieme di più cariche elettriche).
Nel caso di correnti elettriche la forza magnetica può essere ricavata utilizzando la seguente espressione:

Dove i è la corrente, L è la lunghezza del filo in cui passa la corrente e B è il campo magnetico applicato.

In genere la corrente viene espressa in Ampere (A), ricordiamo che l’Ampere è una grandezza derivata che deriva dal rapporto tra i Coulomb e i secondi.
L è la lunghezza del filo che viene espressa in metri (m).
Il campo magnetico viene invece espresso in Tesla (T), ricordiamo che:

Eseguendo le opportune moltiplicazioni tra le grandezze che sono contenute nella formula che esprime la forza; si può quindi ricavare che la forza F risultante è espressa in Newton (N).

Per ulteriori approfondimenti sul prodotto vettoriale vedi anche qua

Momento torcente

Il momento torcente (M) di una forza F può essere espresso attraverso la seguente forza:

Dove F è la forza considerata mentre r è il braccio della forza ovvero la distanza tra l’origine del sistema di riferimento e il punto di applicazione della forza.

Osservando l’espressione che descrive il momento torcente si può notare come tale quantità dipenda dal braccio (generalmente espresso in metri in quanto corrisponde ad una distanza) e dipenda dalla forza (generalmente espressa in N, Newton); il momento avrà quindi come unità di misura il prodotto delle due unità di misura da cui deriva.
L’unità di misura del momento è quindi

Si nota come anche nel caso del calcolo del momento della forza è presente il prodotto vettoriale tra la forza e il braccio.

La formula per il calcolo del momento torcente in forma scalare è la seguente:

Dove, in analogia a quanto affermato nel caso della forza magnetica, il modulo del prodotto vettoriale può essere ottenuto introducendo il seno dell’angolo (α) compreso tra i due vettori.

Per ulteriori approfondimenti sulla funzione seno vedi anche qua

La spira

La spira è una particolare configurazione di un filo al cui interno passa una corrente di intensità i.
Una spira può essere ottenuta avvolgendo un filo attorno ad un cilindro, in tal caso la spira è caratterizzata da una sezione circolare; la spira può avere sezioni differenti a seconda di come si avvolge la spira.

Il momento torcente di una spira

Supponiamo che una spira di forma quadrata e lato , percorsa da corrente , sia immersa in un campo magnetico .

Considerando la forza

nei diversi tratti del conduttore si ha che:
- nei tratti AB e CD (paralleli alle linee di campo) si ha che poiché la corrente e il campo magnetico hanno la stessa direzione e si ha dunque che ;
- nei tratti BC e DA (perpendicolari alle linee di campo) le forze hanno modulo , con direzione perpendicolare sia ai conduttori che alle linee di campo, e verso opposto fra loro.

Le forze tendono a far ruotare il circuito con un momento torcente

La spira ruota fino a che le forze giacciono sulla stessa retta, perpendicolarmente al campo. La posizione finale sarà di equilibrio.

Per avere un motore elettrico è necessario che il movimento sia continuo. Si osserva che quando il momento è nullo poiché le forze sono allineate, la rotazione prosegue per inerzia ma viene invertita dalle stesse forze. Se nell'istante in cui la spira ha compiuto la rotazione di 90° viene invertito il senso della corrente, si inverte anche la coppia di forze e la rotazione è continua (dinamo).