Concetti Chiave
- Il paradosso di Achille e la tartaruga, introdotto da Zenone, sostiene che Achille non possa mai raggiungere la tartaruga se questa parte con un vantaggio.
- Filosofi come Diogene e Aristotele hanno sfidato il paradosso, con Gauss che ha risolto il problema usando il concetto di serie matematiche.
- Le serie matematiche, in particolare le serie geometriche, sono somme di termini di una successione che possono convergere a un valore finito.
- La soluzione matematica al paradosso dimostra che la somma dei tempi impiegati da Achille per avvicinarsi alla tartaruga forma una serie convergente.
- La dimostrazione assume che Achille e la tartaruga si muovano di moto rettilineo uniforme e calcola il tempo necessario affinché Achille raggiunga la tartaruga.
In quest'appunto verrà analizzato dal punto di vista matematico il paradosso di Achille e la tartaruga, con un approfondimento sul concetto di serie.
Indice
Il paradosso di Achille e la tartaruga: cos'è
Il paradosso di Achille e la tartaruga venne introdotto da Zenone nel quinto secolo avanti Cristo ed è stato successivamente affrontato da filosofi del calibro di Aristotele.
L'intero paradosso si fonda sul concetto di non esistenza del movimento.
I protagonisti del paradosso sono due: Achille e la tartaruga. Tali personaggi non sono affatto casuali: Achille è, infatti, simbolo di velocità e prestanza mentre la tartaruga rappresenta la lentezza.
Secondo Zenone, se Achille e una tartaruga si sfidassero in una gara di corsa e la seconda partisse con una certa distanza di vantaggio, Achille non potrà mai vincere la sfida. Il motivo alla base della supposizione è il seguente: nell'intervallo di tempo che Achille impiega per percorrere la distanza di vantaggio della tartaruga, la tartaruga avrà già fatto un altro passo e quindi si sarà spostata.
La soluzione filosofica e la soluzione matematica
Dal punto di vista filosofico, furono due importanti autori a contestare per primi questo paradosso: Diogene e Aristotele. Il primo decise di farlo attraverso una dimostrazione pratica, mentre secondo Aristotele il concetto di distanza non era in realtà infinito.
Qualche secolo dopo, Gauss dimostrò la non validità del paradosso di Zenone sfruttando il concetto di tempo e di serie matematica.
Secondo Gauss, infatti, sommando i tempi sempre più brevi che Achille necessita percorrere per raggiungere la tartaruga si ottiene una serie geometrica convergente.
Cos'è una serie matematica
Una serie geometrica è una serie matematica, cioè una somma dei valori di una successione che può avere infiniti termini. Gli elementi di una serie possono appartenere a qualsiasi insieme numerico, essere funzioni oppure vettori e matrici.
Le due serie più studiate in matematica sono la serie aritmetica e la serie geometrica. Entrambe le tipologie sono caratterizzate da una specifica relazione che intercorre tra due termini successivi. Nel caso della serie aritmetica, infatti, la differenza tra i due termini è una costante mentre nella seconda ad essere costante è il rapporto tra i due termini.
Le serie possono essere classificate anche in relazione al valore raggiunto a seguito della sommatoria. Se, infatti, esso è un numero reale finito, allora vuol dire che la serie è convergente. Se, al contrario, il risultato della sommatoria è un numero reale infinito, la serie diverge. La divergenza può essere sia positiva (quando la serie converge a
) che negativa (se la serie converge a
). Infine, esistono anche le serie non regolari: in tal caso, la somma della serie è un valore non esistente.
Dimostrazione della soluzione matematica del paradosso di Achille e la tartaruga
Come abbiamo già anticipato, la soluzione matematica del paradosso di Achille e la tartaruga si basa sul concetto di tempo e in particolare sui tempi - sempre minori - che Achille deve percorrere per raggiungere la tartaruga.
Dimostrare che la sommatoria dei tempi percorsi da Achille sia una serie convergente significa dimostrare che esiste un tempo finito reale a seguito del quale Achille raggiungerà la tartaruga.
Tale dimostrazione si basa su alcune ipotesi fondamentali, ossia:
- Achille e la tartaruga si muovono di moto rettilineo uniforme, quindi non è presente accelerazione
- La traiettoria di Achille e la tartaruga è una linea retta
- Al tempo [math]0[/math]Achille occupa la posizione[math]0[/math]mentre la tartaruga ha un vantaggio pari a[math]L_0[/math]
Nella trattazione tutte le grandezze riferite ad Achille avranno pedice
mentre le grandezze riferite alla tartaruga avranno pedice
.
La tartaruga si muove di moto rettilineo uniforme, quindi percorre delle distanze del tipo
, calcolabili attraverso il prodotto tra la velocità e il tempo impiegato. Per coprire la distanza
, Achille necessiterà di un intervallo di tempo pari a
. Nello stesso intervallo di tempo, la tartaruga avrà percorso un'altra distanza, cioè
.
Questi passaggi possono essere descritti dalla successione:
, dove
è il rapporto tra la velocità della tartaruga e la velocità di Achille.
Si dimostra che
, cioè una serie geometrica cui valore è pari a
e quindi il tempo in cui Achille raggiungerà la tartaruga è pari a
e dipende dalla velocità dei due protagonisti e dalla distanza di vantaggio della tartaruga.
Per ulteriori approfondimenti sulle serie matematiche vedi anche qui
Domande da interrogazione
- Cos'è il paradosso di Achille e la tartaruga?
- Qual è la soluzione matematica al paradosso di Achille e la tartaruga?
- Cos'è una serie matematica?
- Come si dimostra matematicamente che Achille raggiunge la tartaruga?
- Quali ipotesi sono necessarie per la dimostrazione matematica del paradosso?
Il paradosso di Achille e la tartaruga, introdotto da Zenone, sostiene che Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga in una gara se questa parte con un vantaggio, poiché ogni volta che Achille copre la distanza, la tartaruga si sarà spostata ulteriormente.
La soluzione matematica si basa sul concetto di serie geometrica convergente, dimostrando che la somma dei tempi necessari ad Achille per raggiungere la tartaruga è finita, quindi Achille la raggiungerà in un tempo finito.
Una serie matematica è la somma dei valori di una successione che può avere infiniti termini. Le serie possono essere aritmetiche o geometriche e sono classificate come convergenti o divergenti in base al valore della loro sommatoria.
Si dimostra che la somma dei tempi che Achille impiega per coprire le distanze è una serie geometrica convergente, il che implica che esiste un tempo finito in cui Achille raggiungerà la tartaruga.
Le ipotesi includono che Achille e la tartaruga si muovano di moto rettilineo uniforme senza accelerazione, e che la traiettoria sia una linea retta, con Achille che parte da una posizione iniziale di zero.
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