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Serie Numeriche

Data una successione (An)n ci chiediamo se abbia senso sommare tutti i suoi termini;
Σ ( da 1 a +∞)di n di An= A1+A2+A2+..
Per procedere rigorosamente definiamo per ogni n ∈ N (numeri Naturali) la somma parziale (o ridotta) n-esima associata ad (An)n:
Sn= A1+A2+...+An =Σ ( da 1 a n)di k di Ak.
Distinguiamo ora i seguenti 3 casi, studiandone il limite di n -> +∞ di Sn:
1. se esiste il lim n -> +∞ di Sn=S ∈ R (numeri reali) diremo che la serie Σ ( da 1 a +∞)di n di An converge ed ha per somma S. Scriveremo Σ ( da 1 a +∞)di n di An=S.
2. se esiste il lim n -> +∞ di Sn=+-∞ diremo che la serie Σ ( da 1 a +∞)di n di An diverge(a +-∞ rispettivamente). Scriveremo Σ ( da 1 a +∞)di n di An=+-∞.
3. se non esiste il lim n -> +∞ di Sn diremo che la serie Σ ( da 1 a +∞)di n di An è indeterminata e scriveremo che non esiste Σ ( da 1 a +∞)di n di An.
Un esempio tipico di serie indeterminata è la serie con An=(-1)^n e quindi Σ ( da 1 a +∞)di n di (-1)^n= -1 +1 -1 ...
Saranno quindi per esempio S1= -1, S2=-1+1 , S3=-1+1-1.
Dunque risulterà che Sn= 0 se n è pari e Sn=-1 se n è dispari.
Alla fine di ciò possiamo concludere dicendo che non esiste il lim n->+∞ di Sn in quanto la successione (Sn)n ha due valori limite distinti per n-> +∞. Può assumere il valore 0 o il valore -1 a seconda di n.
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