Estratto del documento

Triangoli isosceli – classi prime

Nomenclatura e definizioni sul triangolo isoscele

Definizione: Si dice isoscele ogni triangolo che ha due lati congruenti.

Elemento Descrizione Definizione e caratteristiche

α Angolo alla base. È l’angolo formato dal lato obliquo con la base, è sempre acuto. I due angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti, in simboli

̂ ̂

≅

PS: Gli angoli si leggono dicendo i vertici che identificano il primo lato, il vertice e il secondo lato in verso antiorario.

γ Angolo al vertice. È l’angolo formato dai due lati obliqui, può essere anche retto o ottuso.

AB Base. Nel triangolo isoscele (nel caso NON sia anche equilatero) si identifica come base il lato non congruente agli altri due.

Se il triangolo isoscele è anche equilatero, non ha rilevanza quale segmento scegliere come base, sono tutti equivalenti.

BC Lato obliquo. Nel triangolo isoscele (se non è anche equilatero) è uno dei due lati fra loro congruenti.

≅ .

In simboli:

BK Altezza relativa al lato obliquo. È il segmento di perpendicolare compreso fra il vertice opposto al lato obliquo considerato e il lato obliquo stesso. Nel triangolo isoscele le altezze relative ai due lati obliqui sono congruenti.

CH Altezza relativa alla base. È il segmento di perpendicolare compreso fra il vertice opposto alla base e la base stessa.

(o semplicemente “altezza”) Nel triangolo isoscele, l’altezza relativa alla base è anche:

  • Mediana della base
  • Asse della base
  • Bisettrice dell’angolo al vertice

Se il triangolo isoscele è anche equilatero, tutte le altezze sono congruenti, assi dei segmenti, bisettrici dei vertici, mediane dei lati.

Triangoli isosceli – classi prime

Costruzioni sul triangolo isoscele

  1. Costruzione del triangolo isoscele dati base e altezza.
  2. Costruzione del triangolo isoscele dati l’angolo al vertice e il lato obliquo.
  3. Costruzione del triangolo isoscele dati il lato obliquo e l’altezza relativa al lato obliquo.
  4. Costruzione del triangolo isoscele dati l’angolo al vertice e l’altezza relativa alla base.
  5. Costruzione del triangolo isoscele dati il lato obliquo e l’altezza relativa alla base.
  6. Costruzione del triangolo isoscele dati la base e l’angolo alla base.
  7. Costruzione del triangolo isoscele dati l’altezza relativa alla base e l’angolo alla base.
  8. Costruzione del triangolo isoscele dati l’angolo al vertice e la base.
  9. Costruzione del triangolo isoscele inscritto in una circonferenza, dati il raggio della circonferenza e la base del triangolo isoscele.
  10. Costruzione del triangolo isoscele inscritto in una circonferenza, dati il raggio della circonferenza e l’altezza del triangolo isoscele.

Nelle esercitazioni seguenti, troverai le indicazioni per svolgere le costruzioni (per alcune costruzioni, non per tutte!!!!) e alcune domande. I passi del protocollo di costruzione, ove presenti, sono numerati, le domande invece sono indicate con lettere maiuscole. Sul quaderno dovrai riportare sia la domanda, sia la risposta, sia a quale costruzione si riferiscono domanda e risposta.

Costruzione 1 – triangolo isoscele dati base e altezza

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Sintesi

Triangolo isoscele

Questo appunto di Geometria tratta della nomenclatura utilizzata per la definizione del triangolo isoscele. In particolare, è presente una prima parte introduttiva sulla definizione e proprietà del triangolo isoscele, per poi passare alle relazioni che collegano angoli e lati, nonché le formule relative a perimetro e area del triangolo.

Triangolo isoscele: definizione e proprietà

In Geometria si definisce triangolo isoscele un triangolo avente due lati congruenti o, equivalentemente, due angoli uguali. Possiamo parlare di angoli o lati poiché per costruzione, questi sono strettamente correlati tra loro nelle figure geometriche; di fatto, all’angolo più grande corrisponde il lato opposto più grande, viceversa, ad angolo più piccolo corrisponde lato opposto più piccolo. Di conseguenza, se in un triangolo due lati sono congruenti tra loro, allora avrà anche due angoli congruenti tra loro. Ed è vero anche il viceversa, cioè se un triangolo ha due angoli uguali, allora avrà anche due lati congruenti. Graficamente, per rappresentare gli angoli, o i lati, congruenti si utilizzano gli stessi simboli, ad esempio lo stesso archetto per gli angoli.

Ad ogni modo, i due lati aventi ugual misura vengono detti lati obliqui, mentre il terzo lato solitamente definisce la cosiddetta base del triangolo; la distanza tra base e vertice opposto invece, definisce l’altezza del triangolo isoscele.

Una volta definito il triangolo isoscele, possiamo passare al prossimo paragrafo in cui vengono elencate le principali proprietà.

Proprietà principali del triangolo isoscele

Vediamo adesso quali sono le proprietà principali del triangolo isoscele:

  • Due lati sono congruenti tra loro e prendono il nome di lati obliqui;
  • Due angoli sono congruenti tra loro e prendono il nome di angoli alla base;
  • L’altezza è anche asse di simmetria del triangolo (cioè lo divide in due parti uguali, ovvero in due triangoli rettangoli), nonché mediana e bisettrice dell’angolo opposto alla base (quello diverso per intenderci);
  • Le altezze relative ai lati obliqui sono uguali tra loro e si incontrano in un punto interno al triangolo che definisce il baricentro della figura;
  • Un triangolo equilatero è un caso particolare di triangolo isoscele poiché presenta tre lati congruenti tra loro;

Quindi possiamo dire che ogni triangolo equilatero è un triangolo isoscele. Inoltre, in base all’ampiezza del terzo angolo (quello diverso), possiamo dire che il triangolo isoscele è anche:

  • Rettangolo, se è pari a 90°;
  • Ottuso, se è maggiore di 90°;
  • Acuto, se è minore di 90°.

Quindi, un triangolo rettangolo può anche essere un triangolo isoscele e un triangolo equilatero è anche un triangolo isoscele e acuto.

N.B. In un triangolo equilatero ogni angolo è pari a 60° in quanto sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre pari a 180° e, in particolare, in un triangolo equilatero questi sono tutti congruenti, quindi basta fare 180°:3=60°.

Nel prossimo paragrafo vedremo quali sono le relazioni che legano i lati e gli angoli di un triangolo equilatero.

Relazioni tra angoli e lati in un triangolo isoscele

Prima di iniziare a discutere quali sono le relazioni che legano gli angoli ai lati di un triangolo equilatero, è importante definirli univocamente, quindi, per evitare fraintendimenti, utilizzeremo la seguente notazione:

  • l indica i lati obliqui, ovvero quelli congruenti;
  • [math]\alpha[/math]
    indica gli angoli alla base, ovvero quelli congruenti;
  • h indica l’altezza relativa ai lati obliqui l;
  • B indica la base del triangolo, ovvero il lato diverso;
  • [math]\beta[/math]
    indica l’angolo opposto alla base, ovvero quello diverso;
  • H indica l’altezza relativa alla base B;
  • P è il perimetro del triangolo;
  • A è l’area del triangolo;

Specificate queste grandezze possiamo dire che in un triangolo isoscele valgono le seguenti relazioni:

[math] P=2l+B \Rightarrow l=\frac{P-B}{2} \Rightarrow B=P-2l [/math]

[math] A=\frac{B\times H}{2} \Rightarrow H=\frac{2\times A}{B} \Rightarrow B=\frac{2\times A}{H} [/math]

Oppure

[math] A=\frac{l \times h}{2} \Rightarrow h=\frac{2\times A}{l} \Rightarrow l=\frac{2\times A}{h} [/math]

Se vogliamo ricavare i valori dei lati invece:

[math]l=\sqrt{H^2+\frac{B^2}{4}} \Rightarrow H=\sqrt{l^2-\frac{B^2}{4}} \Rightarrow B=2\sqrt{l^2-H^2} [/math]

Per quanto riguarda gli angoli invece, sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre pari a 180°, possiamo scrivere che:

[math]2\alpha+\beta=180° \Rightarrow \beta=180° -2\alpha \Rightarrow \alpha =\frac{180° -\beta }{2}[/math]

Inoltre, sapendo che l’altezza

[math]h[/math]
rispetto alla base
[math]B[/math]
è anche asse di simmetria e mediana del triangolo (dividendo il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli) possiamo applicare ai due triangoli rettangoli i cosiddetti teoremi dei triangoli rettangoli, ottenendo le seguenti relazioni:

[math]B=2l\cos{\alpha}=2l\sin{\frac{\beta}{2}} [/math]

[math]H=l\cos{\frac{\beta}{2}}=l\sin{\alpha} [/math]

Inoltre, note queste relazioni, possiamo ricavare i valori di perimetro ed area del triangolo isoscele conoscendo il valore di un solo lato e dei due angoli:

[math]P=2l(1+\cos{\alpha}) [/math]

[math]A=l^2(\cos{\alpha}\sin{\alpha}) [/math]

Per vedere nel dettaglio il modo in cui queste relazioni sono state ricavate, si consiglia la lettura dei link presenti nel prossimo paragrafo.

Link di approfondimento sui tipi di triangolo

In questo paragrafo sono riportati dei link di approfondimento relativi ai diversi tipi di triangolo, che possono essere utili per avere un quadro completo ed esaustivo dell’argomento.

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