Tesi triennale: fluido non newtoniano in una condotta porosa

Questa legge, formulata nel 1856 e contenuta di una sua

intitolata: “Le fontane pubbliche della città di Digione”, getta le basi

pubblicazione

scientifiche quantitative della permeabilità dei fluidi per gli utilizzi nei campi più

dalla geofisica (filtrazione dell’acqua, idrocarburi e gas nel sottosuolo)

disparati:

all’ingegneria (isolamento l’agricoltura (sistemi di drenaggio e

termico) passando per

irrigazione, stoccaggio del grano) e tanti altri. [1]

Con il termine mezzo poroso si intende un materiale costituito da una matrice solida

con strutture interne vuote saturate da un fluido (liquido o gas). Queste piccole cavità

occupano una frazione misurabile del suo volume e possono essere di due tipi: quelle

grandi, chiamate pori e gole, che contribuiscono al flusso di massa del fluido; quelle

piccole, paragonabili alla dimensione delle molecole, che non hanno un impatto sul

flusso anche se possono partecipare ad altri fenomeni di trasporto come la diffusione.

Le complessità, relative alla struttura microscopica dei pori, vengono di solito

trascurate ricorrendo a proprietà fisiche macroscopiche per descrivere e

caratterizzare il mezzo poroso. Alcuni esempi di queste proprietà sono: la porosità e

la permeabilità. [2] 4

1.1 Porosità

La porosità è il rapporto tra il volume occupato dal fluido negli spazi vuoti (in altre

parole il volume degli spazi interstiziali) e il volume complessivo del materiale

(comprendente anche gli spazi vuoti). La indichiamo con

(1.1)

= < ,

Essendo un rapporto tra due volumi tali che la porosità è una grandezza

che assume valori inferiori all’unità.

adimensionale

significa che non c’è la presenza di pori (materiale impermeabile al fluido),

= 0

Se = 1

se allora non è presente il materiale solido (il fluido può muoversi liberamente

= 0.5

nello spazio), mentre se allora si è in presenza di una regione in cui metà

volume è occupato dal solido e l’altra metà è occupata dal fluido.

La porosità definita in questo modo è denominata in genere porosità totale. Tuttavia,

non tutti i pori sono idraulicamente interconnessi tra loro: per questo motivo, nelle

applicazioni pratiche, si è soliti distinguere tra porosità totale, cui contribuisce il

volume di tutti i pori, e porosità effettiva (o utile), cui contribuisce solo il volume dei

pori interconnessi.

Si riportano qui di seguito alcuni valori di riferimento della porosità per diversi

materiali: Fibra di vetro 0.88 ÷ 0.93

Mattone 0.12 ÷ 0.34

Sabbia 0.37 ÷ 0.50

Carbone 0.02 ÷ 0.12

Pelle 0.56 ÷ 0.59

Tabella 1: valori di porosità di alcuni materiali

5

1.2 Permeabilità

La permeabilità rappresenta l’attitudine di un mezzo a lasciarsi attraversare da un

fluido ed è una caratteristica del mezzo poroso indipendente dal fluido impiegato.

.

Essa è strettamente correlata alla legge di Darcy dove compare con il simbolo

La permeabilità ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato e dunque la sua radice

quadrata definisce una scala tipica della dimensione lineare effettiva dei pori nota

come lunghezza di Brinkman (1.2)

= √

Il valore della permeabilità varia enormemente a seconda del materiale considerato,

−3 2 −15 2

10 cm 10 cm

passando da circa per le buone ghiaie a per le rocce granitiche.

[3]

La maggior parte dei mezzi porosi, naturali e sintetici, hanno un elemento di

disomogeneità in quanto la struttura del mezzo poroso è tipicamente molto

complessa con un consistente grado di casualità.

Tuttavia, finché la scala e la grandezza di queste variazioni hanno un impatto

trascurabile sulle proprietà macroscopiche in discussione, il mezzo può ancora essere

trattato come omogeneo.

Il moto dei fluidi nei mezzi porosi riflette la forte irregolarità geometrica di questi

ultimi, per questo motivo è caratterizzato da velocità generalmente modeste che

presentano molteplici e brusche variazioni di sezione.

Queste ultime fanno sì che la dinamica dei fluidi nei mezzi porosi sia caratterizzata

dalla composizione di due meccanismi fondamentali: la pressione idrostatica, che

spinge il fluido attraverso il mezzo, ed i processi dissipativi innescati dalle

irregolarità del mezzo, che si oppongono alla penetrazione del fluido nel mezzo

stesso. [3]

Come si evince la descrizione matematica del flusso nei mezzi porosi è

estremamente complessa e comporta numerose approssimazioni.

Finora, non è stata sviluppata nessuna soluzione analitica di meccanica dei fluidi

al flusso attraverso mezzi porosi. 6

Pertanto, per studiare questo tema, sono state sviluppate altre metodologie: le

principali sono l'approccio continuo, l'approccio del fascio di canali e il modello su

scala-porosa.

1.3 Fluidi non newtoniani

I fluidi possono essere classificati, per esempio, in base o alla risposta ad una

variazione di pressione o ad una forza di taglio.

Se si considera la pressione come variabile di controllo si definiscono fluidi

comprimibili e fluidi incomprimibili.

Tuttavia, l’effetto della pressione non è rilevante tanto quanto lo sforzo di taglio. Per

questo motivo ci si riferisce prevalentemente allo sforzo di taglio per classificare i

fluidi; in questo modo si distingue tra fluidi newtoniani e fluidi non newtoniani.

Un fluido newtoniano è un fluido che segue la legge fondamentale di viscosità

proposta da Isaac Newton = ̇ (1.3)

τ (shear stress)

nella quale si evince una diretta proporzionalità tra lo sforzo di taglio

̇

e la velocità di deformazione (shear rate). La viscosità [Pa s] è indipendente dalla

velocità di trasformazione sebbene potrebbe essere influenzata da altri parametri

fisici come temperatura e pressione.

Se si volesse graficare il comportamento di un fluido newtoniano si noterebbe che la

per l’origine e ha un’inclinazione, cioè una viscosità,

sua curva caratteristica passa

costante per qualsiasi valore di velocità.

Alcuni esempi dei più comuni fluidi newtoniani sono l’acqua e l’olio di oliva.

Tutti quei fluidi che mostrano una deviazione dal comportamento sopra descritto

sono definiti fluidi non newtoniani.

In genere la viscosità di tali fluidi varia col variare della velocità. Se ne individuano

tre classi:

 fluidi tempo-indipendenti: sono quei fluidi per i quali la velocità di

deformazione in ogni punto dipende esclusivamente dalla sollecitazione

istantanea in quel punto; 7

 fluidi tempo-dipendenti: sono quei fluidi in cui la velocità di deformazione

dipende sia dalla durata che dall’intensità della sollecitazione;

 fluidi viscoelastici: sono tutte quelle sostanze che mostrano un parziale

recupero elastico in seguito alla rimozione di una sollecitazione deformante.

In realtà questa suddivisione non è così netta: ci sono infatti sostanze che esibiscono

una combinazione delle proprietà sopraelencate e vengono definiti come fluidi

complessi.

In letteratura è stato proposto un gran numero di modelli reologici per cercare di

classificare tutti i tipi di fluidi non newtoniani sotto diverse condizioni di flusso.

Tuttavia la maggior parte di questi modelli sono di natura fondamentalmente

empirica.

Qui di seguito verrà effettuata una breve descrizione di ciascuna delle tre categorie

sopra elencate. Alla descrizione dei fluidi tempo-indipendenti (oggetto di

numerica) verrà affiancato il modello

approfondimento dell’analisi che, nei vari casi,

meglio descrive il comportamento dei fluidi in questione.

1.3.1 Fluidi tempo-indipendenti

Questa classe di fluidi, a sua volta, si suddivide in tre sottocategorie:

 fluidi pseudoplastici (shear-thinning): fluidi caratterizzati da una viscosità

apparente che diminuisce con l’aumentare della velocità di taglio. Alcune

sostanze comuni che rientrano in questa categoria sono ad esempio gli

inchiostri da stampa, i polimeri in soluzione, il sangue;

 fluidi viscoplastici: si deve superare un valore di soglia minimo prima che

tutto il fluido venga messo in moto o possa essere deformato. Una volta in

movimento si può avere un comportamento lineare (fluidi plastici di

Bingham) o non lineare (fluidi Yeld-plastici). Alcuni esempi sono il

dentifricio, la maionese, le gelatine;

 fluidi dilatanti (shear-thickening): questa tipologia di fluidi è simile a quella

dei fluidi peseudoplastici con la differenza che la loro viscosità apparente

aumenta all’aumentare della velocità di taglio. Rientrano in questa categoria,

per esempio, la sabbia bagnata e le sospensioni di amido.

8

I più importanti modelli che descrivono il comportamento dei fluidi tempo-

indipendenti sono:

 Modello di Ostwald de Waele o Legge di potenza (Power Law)

Questo modello impone che: −1

= ̇ (1.31)

dove viene definito come fattore di consistenza ed come indice di

comportamento del flusso. Entrambi sono numeri empirici e per lo più si trovano

tabulati per le diverse sostanze e condizioni operative.

A seconda dei valori assunti da possiamo distinguere:

 < 1:

se comportamento pseudoplastico

 = 1:

se comportamento newtoniano

 > 1:

se comportamento dilatante

Quando ci si discosta dalla legge di potenza, cioè a bassi e alti valori di shear rate si

deve cambiare modello e tenere conto dei valori limite delle viscosità e .

∞

 Modello di Carreau

Questo modello descrive gli andamenti di nelle zone in cui il modello di fluidi con

legge di Potenza non riesce a fare. −

0 ∞

= +

∞ (1.32)

1−

2

(1 (̇ ) )

+ 2

(< 1)

dove e sono coefficienti che adattano la curva. Viene riprodotto il

= = 1 = 0

modello newtoniano quando e o o entrambi.

0

 Modello di Ellis

Quando il discostamento dal modello di Potenza è significativo a bassi valori di

shear rate si può usare questo modello.

0

= −1

(1.33)

1 + ( )

1/2

(> 1)

dove e sono due parametri.

1/2 9

1.3.2 Fluidi Tempo-dipendenti

I fluidi tempo-indipendenti non hanno memoria delle sollecitazioni alle quali sono

stati sottoposti dunque, una volta cessata l’azione del