Tesi triennale: fluido non newtoniano in una condotta porosa

Alma Mater Studiorum Università di Bologna

Dipartimento di ingegneria industriale

Corso di laurea triennale in ingegneria meccanica

Tesi di laurea in fisica tecnica

Del ingresso termico di un fluido non newtoniano in una studio condotta porosa

Candidato: Luca Bruno

Relatore: Prof. Michele Celli

Anno Accademico 2019/2020

V Appello di laurea

Indice

• Abstract .................................................................................................................... 3
• 1 Introduzione alla termofluidodinamica dei fluidi non newtoniani che saturano mezzi porosi ............................................................................................................. 4
• 1.1 Porosità ...................................................................................................... 5
• 1.2 Permeabilità ............................................................................................... 6
• 1.3 Fluidi non newtoniani ................................................................................. 7
• 1.3.1 Fluidi tempo-indipendenti ................................................................... 8
• 1.3.2 Fluidi tempo-dipendenti ................................................................... 10
• 1.3.3 Fluidi viscoelastici ............................................................................ 11
• 1.4 Convezione .............................................................................................. 12
• 1.4.1 Numero di Reynolds ......................................................................... 15
• 1.4.2 Numero di Prandtl ............................................................................. 16
• 1.4.3 Numero di Nusselt ............................................................................ 17
• 1.5 Equazioni fondamentali ............................................................................ 18
• 1.5.1 Legge di Darcy modificata per i fluidi Power-Law ............................ 18
• 2 Convezione forzata: regione di ingresso termico in un canale poroso a sezione circolare saturato da un fluido power law ............................................................... 21
• 2.1 Definizione del modello ........................................................................... 21
• 2.2 Profilo di velocità: flusso di Darcy ........................................................... 22
• 2.3 Campo di temperatura .............................................................................. 25
• 2.4 Adimensionalizzazione............................................................................. 26
• 2.4.1 Adimensionalizzazione del bilancio di energia .................................. 26
• 2.4.2 Adimensionalizzazione delle condizioni al contorno ......................... 28
• 2.4.3 Adimensionalizzazione della condizione iniziale ............................... 29
• 2.5 Studio del numero di Nusselt .................................................................... 30
• 2.5.1 Analisi dei risultati ............................................................................ 33
• 3 Conclusioni .................................................................................................... 35
• 4 Bibliografia .................................................................................................... 38

Abstract

Il presente lavoro di tesi ha lo scopo di fornire le informazioni necessarie per lo studio del flusso di un fluido power law in convezione forzata all’interno di un canale poroso. È stato studiato il flusso del fluido, in regime di Darcy, analizzando, in modo particolare, il profilo di velocità, l’equazione di bilancio dell’energia che governa il fenomeno ed i valori assunti dal numero di Nusselt sul contorno superiore.

La soluzione è stata ottenuta mediante l’ausilio del programma Matlab, un ambiente per il calcolo numerico e l’analisi statistica, inserendo un codice con le informazioni specifiche del problema.

La tesi risulta essere così organizzata: nel primo capitolo verrà fornita un’introduzione alla termofluidodinamica dei fluidi non newtoniani nei mezzi porosi. Si inizierà con la descrizione di alcune delle proprietà più importanti che caratterizzano i mezzi porosi, dopodiché si passerà alla classificazione dei fluidi non newtoniani e alla descrizione di alcuni modelli reologici. Per finire, verrà trattato brevemente il fenomeno della convezione con particolare attenzione al processo di convezione forzata e, nell’ultima sezione, le equazioni costitutive che governano il moto dei fluidi power law in un condotto poroso.

L’ultimo capitolo tratterà il modello numerico del problema sopracitato e il confronto dei risultati ottenuti con quelli presenti nella letteratura attuale.

1 Introduzione alla termofluidodinamica dei fluidi non newtoniani che saturano mezzi porosi

Il modello più antico, più semplice e più ampiamente utilizzato per lo studio del flusso dei fluidi all’interno dei mezzi porosi prende il nome da Henry Philibert Gaspard Darcy (1803-1858), uno scienziato francese con uno spiccato interesse nel campo dell’idraulica. Egli progettò e costruì un sistema di distribuzione di acqua pressurizzata a Digione, città in cui nacque e dove esercitò la sua professione di ingegnere civile.

Qualche anno prima della sua morte condusse una serie di esperimenti (inerenti al flusso dell’acqua attraverso letti sabbiosi) che risultarono cruciali per la formulazione di una legge che oggi conosciamo col nome di legge di Darcy, argomento che verrà ripreso in seguito. Questa legge, formulata nel 1856 e contenuta in una pubblicazione intitolata: “Le fontane pubbliche della città di Digione”, getta le basi scientifiche quantitative della permeabilità dei fluidi per gli utilizzi nei campi più disparati: dalla geofisica (filtrazione dell’acqua, idrocarburi e gas nel sottosuolo) all’ingegneria (isolamento termico) passando per l’agricoltura (sistemi di drenaggio e irrigazione, stoccaggio del grano) e tanti altri. [1]

Con il termine mezzo poroso si intende un materiale costituito da una matrice solida con strutture interne vuote saturate da un fluido (liquido o gas). Queste piccole cavità occupano una frazione misurabile del suo volume e possono essere di due tipi: quelle grandi, chiamate pori e gole, che contribuiscono al flusso di massa del fluido; quelle piccole, paragonabili alla dimensione delle molecole, che non hanno un impatto sul flusso anche se possono partecipare ad altri fenomeni di trasporto come la diffusione.

Le complessità, relative alla struttura microscopica dei pori, vengono di solito trascurate ricorrendo a proprietà fisiche macroscopiche per descrivere e caratterizzare il mezzo poroso. Alcuni esempi di queste proprietà sono: la porosità e la permeabilità. [2]

1.1 Porosità

La porosità è il rapporto tra il volume occupato dal fluido negli spazi vuoti (in altre parole il volume degli spazi interstiziali) e il volume complessivo del materiale (comprendente anche gli spazi vuoti). La indichiamo con:

(1.1) = Vf / Vt

Essendo un rapporto tra due volumi, la porosità è una grandezza adimensionale che assume valori inferiori all’unità. Se = 0 significa che non c’è la presenza di pori (materiale impermeabile al fluido), se = 1 allora non è presente il materiale solido (il fluido può muoversi liberamente nello spazio), mentre se = 0.5 allora si è in presenza di una regione in cui metà volume è occupato dal solido e l’altra metà è occupata dal fluido.

La porosità definita in questo modo è denominata in genere porosità totale. Tuttavia, non tutti i pori sono idraulicamente interconnessi tra loro: per questo motivo, nelle applicazioni pratiche, si è soliti distinguere tra porosità totale, cui contribuisce il volume di tutti i pori, e porosità effettiva (o utile), cui contribuisce solo il volume dei pori interconnessi.

Si riportano qui di seguito alcuni valori di riferimento della porosità per diversi materiali:

1.2 Permeabilità

La permeabilità rappresenta l’attitudine di un mezzo a lasciarsi attraversare da un fluido ed è una caratteristica del mezzo poroso indipendente dal fluido impiegato. Essa è strettamente correlata alla legge di Darcy dove compare con il simbolo k. La permeabilità ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato e dunque la sua radice quadrata definisce una scala tipica della dimensione lineare effettiva dei pori nota come lunghezza di Brinkman:

(1.2) = √k

Il valore della permeabilità varia enormemente a seconda del materiale considerato, passando da circa 10^-3 cm² per le buone ghiaie a 10^-15 cm² per le rocce granitiche. [3]

La maggior parte dei mezzi porosi, naturali e sintetici, hanno un elemento di disomogeneità in quanto la struttura del mezzo poroso è tipicamente molto complessa con un consistente grado di casualità. Tuttavia, finché la scala e la grandezza di queste variazioni hanno un impatto trascurabile sulle proprietà macroscopiche in discussione, il mezzo può ancora essere trattato come omogeneo.

Il moto dei fluidi nei mezzi porosi riflette la forte irregolarità geometrica di questi ultimi, per questo motivo è caratterizzato da velocità generalmente modeste che presentano molteplici e brusche variazioni di sezione. Queste ultime fanno sì che la dinamica dei fluidi nei mezzi porosi sia caratterizzata dalla composizione di due meccanismi fondamentali: la pressione idrostatica, che spinge il fluido attraverso il mezzo, ed i processi dissipativi innescati dalle irregolarità del mezzo, che si oppongono alla penetrazione del fluido nel mezzo stesso. [3]

Come si evince, la descrizione matematica del flusso nei mezzi porosi è estremamente complessa e comporta numerose approssimazioni. Finora, non è stata sviluppata nessuna soluzione analitica di meccanica dei fluidi al flusso attraverso mezzi porosi. Pertanto, per studiare questo tema, sono state sviluppate altre metodologie: le principali sono l'approccio continuo, l'approccio del fascio di canali e il modello su scala-porosa.

1.3 Fluidi non newtoniani

I fluidi possono essere classificati, per esempio, in base o alla risposta ad una variazione di pressione o ad una forza di taglio. Se si considera la pressione come variabile di controllo si definiscono fluidi comprimibili e fluidi incomprimibili. Tuttavia, l’effetto della pressione non è rilevante tanto quanto lo sforzo di taglio. Per questo motivo ci si riferisce prevalentemente allo sforzo di taglio per classificare i fluidi; in questo modo si distingue tra fluidi newtoniani e fluidi non newtoniani.

Un fluido newtoniano è un fluido che segue la legge fondamentale di viscosità proposta da Isaac Newton:

τ = μ·γ̇ (1.3)

nella quale si evince una diretta proporzionalità tra lo sforzo di taglio τ e la velocità di deformazione γ̇ (shear rate). La viscosità μ [Pa s] è indipendente dalla velocità di trasformazione sebbene potrebbe essere influenzata da altri parametri fisici come temperatura e pressione. Se si volesse graficare il comportamento di un fluido newtoniano si noterebbe che la sua curva caratteristica passa per l’origine e ha un’inclinazione, cioè una viscosità, costante per qualsiasi valore di velocità. Alcuni esempi dei più comuni fluidi newtoniani sono l’acqua e l’olio di oliva.

Tutti quei fluidi che mostrano una deviazione dal comportamento sopra descritto sono definiti fluidi non newtoniani. In genere, la viscosità di tali fluidi varia col variare della velocità. Se ne individuano tre classi:

• Fluidi tempo-indipendenti: sono quei fluidi per i quali la velocità di deformazione in ogni punto dipende esclusivamente dalla sollecitazione istantanea in quel punto;
• Fluidi tempo-dipendenti: sono quei fluidi in cui la velocità di deformazione dipende sia dalla durata che dall’intensità della sollecitazione;
• Fluidi viscoelastici: sono tutte quelle sostanze che mostrano un parziale recupero elastico in seguito alla rimozione di una sollecitazione deformante.

In realtà, questa suddivisione non è così netta: ci sono infatti sostanze che esibiscono una combinazione delle proprietà sopraelencate e vengono definiti come fluidi complessi. In letteratura è stato proposto un gran numero di modelli reologici per cercare di classificare tutti i tipi di fluidi non newtoniani sotto diverse condizioni di flusso. Tuttavia, la maggior parte di questi modelli sono di natura fondamentalmente empirica.

Qui di seguito verrà effettuata una breve descrizione di ciascuna delle tre categorie sopra elencate. Alla descrizione dei fluidi tempo-indipendenti (oggetto di approfondimento dell’analisi numerica) verrà affiancato il modello che, nei vari casi, meglio descrive il comportamento dei fluidi in questione.

1.3.1 Fluidi tempo-indipendenti

Questa classe di fluidi, a sua volta, si suddivide in tre sottocategorie:

• Fluidi pseudoplastici (shear-thinning): fluidi caratterizzati da una viscosità apparente che diminuisce con l’aumentare della velocità di taglio. Alcune sostanze comuni che rientrano in questa categoria sono ad esempio gli inchiostri da stampa, i polimeri in soluzione, il sangue;
• Fluidi viscoplastici: si deve superare un valore di soglia minimo prima che tutto il fluido venga messo in moto o possa essere deformato. Una volta in movimento si può avere un comportamento lineare (fluidi plastici di Bingham) o non lineare (fluidi Yeld-plastici). Alcuni esempi sono il dentifricio, la maionese, le gelatine;
• Fluidi dilatanti (shear-thickening): questa tipologia di fluidi è simile a quella dei fluidi pseudoplastici con la differenza che la loro viscosità apparente aumenta.