Tesi Statistica: metodologia delle superfici di risposta

DATI

Resistenza all’abrasione=f(composizione ξ , posizione ξ ).

1 2

Livelli: - X = composizione: 5/8; 7/8

1

- X = posizione: 1.5; 2.5

2

Repliche= 2 per ciascun livello, 8 osservazioni in totale.

Valori dello spessore di dischi di plastica per ciascuna delle 4 combinazioni fattoriali

Composizione Posizione Variabili codificate Spessore

Punto X X x x Y=millimetri

1 2 1 2

1 5/8 1.5 -1 -1 7.0 6.9

2 5/8 2.5 -1 +1 5.2 5.4

3 7/8 1.5 +1 -1 7.1 7.2

4 7/8 2.5 +1 +1 6.1 5.8

CALCOLI: !

= "

Variabili codificate: x =(X -6/8)/(1/8) = se X =5/8 x =-1

1 1 1 1

se X =7/8 x =+1

1 1

x =(X -2.0)/(0.5) = se X =1.5 x = -1

2 2 2 2

se X =2.5 x = +1

2 2

15 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag. 16 14

Metodologia delle superfici di risposta

Stime b , b , b :

0 1 2 .!

∑

+ = . =

/

0

/ = 1/8(7.0+6.9+5.2+5.4+7.1+7.2+6.1+5.8)= 6.3375

.! .!

+ = − = 7 − ?= 6.550 − 6.125 = 0.2125

8. 38. 3:. 3;.< 8. 3:.>3;. 3;.=

2 03 2 0 = =

.!

.!

= − 7 − ?=

+ = 5.625 − 7.050 = −0.7125

;. 3;.=3:. 3;.< 8. 3:.>38. 38.

2 03 2 0 = =

.4 = 6.3375 + 0.2125 − 0.7125

6.1 Tabella dell’analisi della varianza

Serve per verificare la significatività delle stime dei coefficienti nel modello adattato.

Per farlo devo scomporre la variabilità totale SQT in variabilità spiegata SQR e non spiegata SQE.

.!

∑

*EF = . −

Somma dei quadrati pertinente al totale = con N-1 gradi di libertà

∑H.4 .!I

= −

Somma dei quadrati dovuta alla regressione =*EG con p-1 gradi di libertà

.4

∑ −

= . con N-p gdl

Somma dei quadrati pertinente agli scostamenti residui =*EJ

.4 .!

con = media di un gruppo e = media totale.

Poi si calcolano i quadrati medi sia della regressione che degli scostamenti residui:

QMR= SQR/(p-1)

QME= SQE/(N-p)

La prova di significatività dell’equazione adattata alla regressione si fa, in genere, mediante test t

di Student o F dell’Anova, ovvero: F=QMR/QME

considerando come ipotesi nulla H =βi=0 eccetto β (non ho relazione tra le variabili) ,mentre

0 0

l’ipotesi alternativa è H =almeno un βi≠0 ecceWo β (ho relazione tra le variabili); e comparando il

1 0

valore osservato di F con il valore tabellare.

Come criterio di adeguatezza del metodo si fa uso della formula:

2

R =SQR/SQT

Che però non va bene nel caso di osservazioni non replicate, allora è preferibile utilizzare:

⁄

*EJ , − M

G = 1 − ⁄

*EF , − 1

$KL 15

Metodologia delle superfici di risposta

Tabella dell’analisi della varianza:

Valori osservati e previsti dello spessore del disco per ciascuno dei quattro punti dello schema e

differenze pertinenti per il calcolo delle somme dei quadrati

.!

.4 .4 .! .4

. . − − . −

x x

1 2 7.0 6.8375 0.6625 0.1625

-1 -1 0.5000

6.9 6.8375 0.5625 0.0625

5.2 5.4125 -1.1375 -0.2125

-1 +1 -0.9250

5.4 5.4125 -0.9375 -0.0125

7.1 7.2625 0.7625 -0.1625

+1 -1 0.9250

7.2 7.2625 0.8625 -0.0625

6.1 5.8375 -0.2375 0.2625

+1 +1 0.5000

5.8 5.8375 -0.5375 -0.0375

.! .4 .! .4

- . − - − - . −

.! =6.3375 SQT=4.5987 SQR=4.4225 SQE=0.17625

6.2 Verifiche 16

Verifica della bontà di adattamento di un polimonio di primo grado :

Per avere un buon adattamento bisogna avere che: .4

- N>k+1 con N=numero di osservazioni, k+1=numero di termini del modello adattato ;

- Si devono raccogliere almeno 2 osservazioni replicate per uno o più punti dello schema.

Allora si ha che la SQE è composta dalla variazione per inadeguatezza del modello e da errore vero

e proprio, ovvero SQE= SQmanc adattam + SQerrore puro, con:

.!

∑ ∑ −

.

O'0 N '

0 con N-n gradi di libertà

SQ errore puro= .4 .!

∑ P −

O'0 ' ' '

SQ mancanza adattamento= SQE-SQerrore puro = con n-p gradi di libertà

.4

con N=n° totale osservazioni, n=n° punti dello schema, p=n° termini dell’equazione .

Allora la verifica dell’adeguatezza del modello si ha con : ⁄

*ERSTUSTVS SWSXXSRYTXZ T − M

Q= ⁄

*EYPPZPY M[PZ , − T

16 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag. 22 16

Metodologia delle superfici di risposta

Verifica di significatività:

⁄ ⁄

E\G *EG M − 1 4.4225 3 − 1

Q= = = = 62.73 > Q = 13.27

⁄ ⁄

E\J *EJ , − M 0.17625 8 − 3 ;;; .

Quindi ho una certa relazione tra le variabili.

Criterio di adeguatezza:

*EG 4.4225

G = = = 0.9617

*EF 4.59875

⁄ ⁄

*EJ , − M 0.17625 8 − 3

G = 1 − =1− = 0.94617

⁄ ⁄

*EF , − 1 4.59875 8 − 1

$KL

Ovvero il 96.17% della variazione totale è spiegata dal modello adattato e che la stima della

varianza dell’errore è solo del 1-0.9462=0.0538=5.38%.

Verifica di bontà di adattamento:

Divido la SQE in SQmanc,adatt e in SQerrore,puro:

.!

∑ ∑ . −

O'0 N '

0 2 2 2 2

SQ errore puro= =[ (7.0-6.95) +(6.9-6.95) ]+[(5.2-5.3) +(5.4-5.3) ]+…+(5.8-

2 17

5.95) ]= 0.075 con N-n=8-4=4 gradi di libertà; n=numero dei punti.

SQmanc,adattam=SQE-SQerr,puro=0.17625-0.075=0.10125 con n-p=4-3=1 gradi di libertà.

⁄

Q= = 5.4 < Q = 7.71

. ; ;=; . ;

⁄

. 8; = l’ipotesi di adeguatezza del modello non può

essere respinta e si può dedurre che la superficie è un piano, altrimenti sarebbe stata una

superficie dalla forma attorcigliata.

Comparando il valore osservato con quello da tabella del test F, se il valore osservato è maggiore

di quello da tabella allora bisogna respingere l’ipotesi di adeguatezza.

17 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag. 24 17

Metodologia delle superfici di risposta

6.3 Mappa empirica

L’equazione del modello adattato può essere usata per tracciare una mappa empirica della

funzione di risposta sulla regione sperimentale.

Ad esempio: 18

Il modello ottenuto viene poi utilizzato per creare una mappa empirica della funzione di risposta

della regione sperimentale. Il piano cartesiano di assi x1,x2 ha come origine il punto che ha come

coordinate i valori medi di X1,X2 e prende valori per un’ampiezza pari a ±1, per questo è a forma di

cerchio. Le rette tratteggiate sono create collegando due punti di coordinate (x1,x2) che

.4 .4

producono lo stesso valore di , ovvero pongo un certo valore di e poi calcolo x ponendo nullo

1

x , poi calcolo x ponendo nullo x .

2 2 1

Le curve di livello invece si ottengono decodificando le coordinate da x a X .

i i

6.4 La traiettoria di massima variazione

Essa parte da l centro (0,0) dello schema sperimentale e si sposta di b unità lungo x e di b unità

1 1 2

lungo x ed è perpendicolare alle linee di livello.

2

Indica la direzione verso cui sono attesi valori di risposta più alti.

Ora si effettuano le prove lungo la traiettoria di massima variazione, ottenendo i seguenti risultati:

18 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag. 25 18

Metodologia delle superfici di risposta

19 Punto X X Y

1 2

5 13/16 1.16 7.4

6 27/32 0.74 8.3

7 14/16 0.32 7.1

Si noti come la risposta peggiori al punto 7, ciò implica che conviene eseguire un secondo gruppo

di esperimenti al punto 6. 2

Valori dello spessore dei dischi per il secondo schema fattoriale 2 con replicazione del punto

centrale

Composizione Posizione Variabili codificate Spessore

X X x x Y

1 2 1 2

12/16 0.50 -1 -1 7.3

12/16 1.00 -1 1 7.1

15/16 0.50 1 -1 7.0

15/16 1.00 1 1 8.0

27/32 0.75 0 0 8.2

27/32 0.75 0 0 8.3

In questo caso ho: ⁄

− 27 32

= ⁄

3 32

− 0.75

= 0.25

.4 = 7.65 + 0.15 + 0.20 20

19 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag. 26

20 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag. 27 19

Metodologia delle superfici di risposta

Motivo Gradi di libertà SQ QM F

Regressione 2 0.250 0.125 144

Residuo 3 1.445 0.482

Mancanza di adattamento 2 1.440 0.720

Errore puro 1 0.005 0.005

Totale 5 1.695

Ripetendo l’analisi della varianza ottengo F=144, ma nella verifica di buon adattamento avrei a

numeratore 2 gradi di libertà e 1 a denominatore, quindi non è una prova particolarmente

potente. 2

Per ovviare al problema si considera l’errore puro della precedente prova (s =0.01875) con quello

2 =0.005),

di questa prova (s

c = = 0.016 Q= = 45.00 > Q = 13.27

= . <8; 3 . ; .8 ;;; .

d&Oe'&#$($ =3 . :

Quindi non respingo l’ipotesi di buon adattamento.

Prova per la curvatura della superficie con un solo grado di libertà 20

Metodologia delle superfici di risposta

Si calcola: .! .!

−

Q= O O

c +

O O

f g

2 2 2

Al centro dello schema ho s =[(8.2-8.25) +(8.3-8.25) ]/(2-1)=0.005

7.3 + 7.1 + 7 + 8

.! = = 7.35

4

O = 216 > Q = 39.9

Q= 8.h; <. ; i ; ; .

f f

j . ;7 3 ?l

k i

Che mi conferma la presenza di una curvatura nella superficie.

6.5 Adattamento di un modello di secondo grado in prossimità del valore di risposta ottimale

Il polinomio di secondo grado adattato sarà: 6

6 6

.4 + - + + -+ + --+

= + L L

0 0 mL

Il numero di termini in questo modello è p=(k+1)(k+2)/2 con k=numero di livelli, in questo caso

21

k=2 p=6.

Schema composito centrale ruotabile 22

21 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag.30 21

Metodologia delle superfici di risposta

Allo schema per la prova di curvatura della superficie aggiungo altri 4 punti alle posizioni

,x )=(±√2, 0) e (x ,x )=(0, ±√2), poi osservo che valori di risposta Y ottengo in quei 9 punti e mi

(x

1 2 1 2

creo l’equazione del modello adattato.

Dall’osservazione dei 9 punti (il nono, ovvero quello centrale, viene osservato 2 volte) ottengo la

tabella: Valori osservati di spessore del disco ai punti di uno schema d