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Tesi Statistica: metodologia delle superfici di risposta Appunti scolastici Premium

Tesi di Laurea in Ingegneria Civile a Padova riguardante la metodologia delle superfici di risposta elaborata dall’autore nell’ambito del corso di Metodi statistici e probabilistici per l'ingegneria tenuto dalla professoressa Arboretti Giancristofaro dal titolo Metodologia delle superfici di risposta. Scarica il file in formato PDF!

Materia di Metodi statistici e probabilistici per l'ingegneria relatore Prof. R. Arboretti Giancristofaro

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Metodologia delle superfici di risposta

6. OTTIMIZZAZIONE DELLA RESISTENZA ALL’ABRASIONE

15

DI DISCHI IN PLASTICA

Si presuma che la resistenza all’abrasione superficiale di dischi in plastica sia correlata tanto alla

composizione dei dischi quanto alla loro posizione nello stampo.

La composizione viene misurata come rapporto tra le concentrazioni d’inerte e di resina

epossidica, mentre la posizione viene misurata come distanza da un punto di riferimento.

La variabile risposta è costituita dallo spessore del disco dopo essere stato sottoposto alla prova di

abrasione.

L’obiettivo dello studio è di determinare quale combinazione di composizione e posizione

permette la produzione di dischi con valori minimi di usura.

DATI

Resistenza all’abrasione=f(composizione ξ , posizione ξ ).

1 2

Livelli: - X = composizione: 5/8; 7/8

1

- X = posizione: 1.5; 2.5

2

Repliche= 2 per ciascun livello, 8 osservazioni in totale.

Valori dello spessore di dischi di plastica per ciascuna delle 4 combinazioni fattoriali

Composizione Posizione Variabili codificate Spessore

Punto X X x x Y=millimetri

1 2 1 2

1 5/8 1.5 -1 -1 7.0 6.9

2 5/8 2.5 -1 +1 5.2 5.4

3 7/8 1.5 +1 -1 7.1 7.2

4 7/8 2.5 +1 +1 6.1 5.8

CALCOLI: !

= "

Variabili codificate: x =(X -6/8)/(1/8) = se X =5/8 x =-1

1 1 1 1

se X =7/8 x =+1

1 1

x =(X -2.0)/(0.5) = se X =1.5 x = -1

2 2 2 2

se X =2.5 x = +1

2 2

15 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag. 16 14

Metodologia delle superfici di risposta

Stime b , b , b :

0 1 2 .!

+ = . =

/

0

/ = 1/8(7.0+6.9+5.2+5.4+7.1+7.2+6.1+5.8)= 6.3375

.! .!

+ = − = 7 − ?= 6.550 − 6.125 = 0.2125

8. 38. 3:. 3;.< 8. 3:.>3;. 3;.=

2 03 2 0 = =

.!

.!

= − 7 − ?=

+ = 5.625 − 7.050 = −0.7125

;. 3;.=3:. 3;.< 8. 3:.>38. 38.

2 03 2 0 = =

.4 = 6.3375 + 0.2125 − 0.7125

6.1 Tabella dell’analisi della varianza

Serve per verificare la significatività delle stime dei coefficienti nel modello adattato.

Per farlo devo scomporre la variabilità totale SQT in variabilità spiegata SQR e non spiegata SQE.

.!

*EF = . −

Somma dei quadrati pertinente al totale = con N-1 gradi di libertà

∑H.4 .!I

= −

Somma dei quadrati dovuta alla regressione =*EG con p-1 gradi di libertà

.4

∑ −

= . con N-p gdl

Somma dei quadrati pertinente agli scostamenti residui =*EJ

.4 .!

con = media di un gruppo e = media totale.

Poi si calcolano i quadrati medi sia della regressione che degli scostamenti residui:

QMR= SQR/(p-1)

QME= SQE/(N-p)

La prova di significatività dell’equazione adattata alla regressione si fa, in genere, mediante test t

di Student o F dell’Anova, ovvero: F=QMR/QME

considerando come ipotesi nulla H =βi=0 eccetto β (non ho relazione tra le variabili) ,mentre

0 0

l’ipotesi alternativa è H =almeno un βi≠0 ecceWo β (ho relazione tra le variabili); e comparando il

1 0

valore osservato di F con il valore tabellare.

Come criterio di adeguatezza del metodo si fa uso della formula:

2

R =SQR/SQT

Che però non va bene nel caso di osservazioni non replicate, allora è preferibile utilizzare:

*EJ , − M

G = 1 − ⁄

*EF , − 1

$KL 15

Metodologia delle superfici di risposta

Tabella dell’analisi della varianza:

Valori osservati e previsti dello spessore del disco per ciascuno dei quattro punti dello schema e

differenze pertinenti per il calcolo delle somme dei quadrati

.!

.4 .4 .! .4

. . − − . −

x x

1 2 7.0 6.8375 0.6625 0.1625

-1 -1 0.5000

6.9 6.8375 0.5625 0.0625

5.2 5.4125 -1.1375 -0.2125

-1 +1 -0.9250

5.4 5.4125 -0.9375 -0.0125

7.1 7.2625 0.7625 -0.1625

+1 -1 0.9250

7.2 7.2625 0.8625 -0.0625

6.1 5.8375 -0.2375 0.2625

+1 +1 0.5000

5.8 5.8375 -0.5375 -0.0375

.! .4 .! .4

- . − - − - . −

.! =6.3375 SQT=4.5987 SQR=4.4225 SQE=0.17625

6.2 Verifiche 16

Verifica della bontà di adattamento di un polimonio di primo grado :

Per avere un buon adattamento bisogna avere che: .4

- N>k+1 con N=numero di osservazioni, k+1=numero di termini del modello adattato ;

- Si devono raccogliere almeno 2 osservazioni replicate per uno o più punti dello schema.

Allora si ha che la SQE è composta dalla variazione per inadeguatezza del modello e da errore vero

e proprio, ovvero SQE= SQmanc adattam + SQerrore puro, con:

.!

∑ ∑ −

.

O'0 N '

0 con N-n gradi di libertà

SQ errore puro= .4 .!

∑ P −

O'0 ' ' '

SQ mancanza adattamento= SQE-SQerrore puro = con n-p gradi di libertà

.4

con N=n° totale osservazioni, n=n° punti dello schema, p=n° termini dell’equazione .

Allora la verifica dell’adeguatezza del modello si ha con : ⁄

*ERSTUSTVS SWSXXSRYTXZ T − M

Q= ⁄

*EYPPZPY M[PZ , − T

16 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag. 22 16

Metodologia delle superfici di risposta

Verifica di significatività:

⁄ ⁄

E\G *EG M − 1 4.4225 3 − 1

Q= = = = 62.73 > Q = 13.27

⁄ ⁄

E\J *EJ , − M 0.17625 8 − 3 ;;; .

Quindi ho una certa relazione tra le variabili.

Criterio di adeguatezza:

*EG 4.4225

G = = = 0.9617

*EF 4.59875

⁄ ⁄

*EJ , − M 0.17625 8 − 3

G = 1 − =1− = 0.94617

⁄ ⁄

*EF , − 1 4.59875 8 − 1

$KL

Ovvero il 96.17% della variazione totale è spiegata dal modello adattato e che la stima della

varianza dell’errore è solo del 1-0.9462=0.0538=5.38%.

Verifica di bontà di adattamento:

Divido la SQE in SQmanc,adatt e in SQerrore,puro:

.!

∑ ∑ . −

O'0 N '

0 2 2 2 2

SQ errore puro= =[ (7.0-6.95) +(6.9-6.95) ]+[(5.2-5.3) +(5.4-5.3) ]+…+(5.8-

2 17

5.95) ]= 0.075 con N-n=8-4=4 gradi di libertà; n=numero dei punti.

SQmanc,adattam=SQE-SQerr,puro=0.17625-0.075=0.10125 con n-p=4-3=1 gradi di libertà.

Q= = 5.4 < Q = 7.71

. ; ;=; . ;

. 8; = l’ipotesi di adeguatezza del modello non può

essere respinta e si può dedurre che la superficie è un piano, altrimenti sarebbe stata una

superficie dalla forma attorcigliata.

Comparando il valore osservato con quello da tabella del test F, se il valore osservato è maggiore

di quello da tabella allora bisogna respingere l’ipotesi di adeguatezza.

17 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag. 24 17

Metodologia delle superfici di risposta

6.3 Mappa empirica

L’equazione del modello adattato può essere usata per tracciare una mappa empirica della

funzione di risposta sulla regione sperimentale.

Ad esempio: 18

Il modello ottenuto viene poi utilizzato per creare una mappa empirica della funzione di risposta

della regione sperimentale. Il piano cartesiano di assi x1,x2 ha come origine il punto che ha come

coordinate i valori medi di X1,X2 e prende valori per un’ampiezza pari a ±1, per questo è a forma di

cerchio. Le rette tratteggiate sono create collegando due punti di coordinate (x1,x2) che

.4 .4

producono lo stesso valore di , ovvero pongo un certo valore di e poi calcolo x ponendo nullo

1

x , poi calcolo x ponendo nullo x .

2 2 1

Le curve di livello invece si ottengono decodificando le coordinate da x a X .

i i

6.4 La traiettoria di massima variazione

Essa parte da l centro (0,0) dello schema sperimentale e si sposta di b unità lungo x e di b unità

1 1 2

lungo x ed è perpendicolare alle linee di livello.

2

Indica la direzione verso cui sono attesi valori di risposta più alti.

Ora si effettuano le prove lungo la traiettoria di massima variazione, ottenendo i seguenti risultati:

18 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag. 25 18

Metodologia delle superfici di risposta

19 Punto X X Y

1 2

5 13/16 1.16 7.4

6 27/32 0.74 8.3

7 14/16 0.32 7.1

Si noti come la risposta peggiori al punto 7, ciò implica che conviene eseguire un secondo gruppo

di esperimenti al punto 6. 2

Valori dello spessore dei dischi per il secondo schema fattoriale 2 con replicazione del punto

centrale

Composizione Posizione Variabili codificate Spessore

X X x x Y

1 2 1 2

12/16 0.50 -1 -1 7.3

12/16 1.00 -1 1 7.1

15/16 0.50 1 -1 7.0

15/16 1.00 1 1 8.0

27/32 0.75 0 0 8.2

27/32 0.75 0 0 8.3

In questo caso ho: ⁄

− 27 32

= ⁄

3 32

− 0.75

= 0.25

.4 = 7.65 + 0.15 + 0.20 20

19 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag. 26

20 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag. 27 19

Metodologia delle superfici di risposta

Motivo Gradi di libertà SQ QM F

Regressione 2 0.250 0.125 144

Residuo 3 1.445 0.482

Mancanza di adattamento 2 1.440 0.720

Errore puro 1 0.005 0.005

Totale 5 1.695

Ripetendo l’analisi della varianza ottengo F=144, ma nella verifica di buon adattamento avrei a

numeratore 2 gradi di libertà e 1 a denominatore, quindi non è una prova particolarmente

potente. 2

Per ovviare al problema si considera l’errore puro della precedente prova (s =0.01875) con quello

2 =0.005),

di questa prova (s

c = = 0.016 Q= = 45.00 > Q = 13.27

= . <8; 3 . ; .8 ;;; .

d&Oe'&#$($ =3 . :

Quindi non respingo l’ipotesi di buon adattamento.

Prova per la curvatura della superficie con un solo grado di libertà 20

Metodologia delle superfici di risposta

Si calcola: .! .!

Q= O O

c +

O O

f g

2 2 2

Al centro dello schema ho s =[(8.2-8.25) +(8.3-8.25) ]/(2-1)=0.005

7.3 + 7.1 + 7 + 8

.! = = 7.35

4

O = 216 > Q = 39.9

Q= 8.h; <. ; i ; ; .

f f

j . ;7 3 ?l

k i

Che mi conferma la presenza di una curvatura nella superficie.

6.5 Adattamento di un modello di secondo grado in prossimità del valore di risposta ottimale

Il polinomio di secondo grado adattato sarà: 6

6 6

.4 + - + + -+ + --+

= + L L

0 0 mL

Il numero di termini in questo modello è p=(k+1)(k+2)/2 con k=numero di livelli, in questo caso

21

k=2 p=6.

Schema composito centrale ruotabile 22

21 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag.30 21

Metodologia delle superfici di risposta

Allo schema per la prova di curvatura della superficie aggiungo altri 4 punti alle posizioni

,x )=(±√2, 0) e (x ,x )=(0, ±√2), poi osservo che valori di risposta Y ottengo in quei 9 punti e mi

(x

1 2 1 2

creo l’equazione del modello adattato.

Dall’osservazione dei 9 punti (il nono, ovvero quello centrale, viene osservato 2 volte) ottengo la

tabella: Valori osservati di spessore del disco ai punti di uno schema di secondo ordine

Composizione Posizione Variabili codificate

Punto Spessore del disco

X X x x

1 2 1 2

1 24/32=0.75 0.50 -1 -1 7.3

2 24/32=0.75 1.00 -1 +1 7.1

3 30/32=0.9375 0.50 +1 -1 7.0

4 30/32=0.9375 1.00 +1 +1 8.0

5 0.711 0.75 0 7.6

-√2

√2 0 7.4

6 0.977 0.75

7 27/32=0.844 0.396 0 7.4

-√2

√2

8 0.844 1.104 0 7.9

9 0.844 0.75 0 0 8.2

10 0.844 0.75 0 0 8.3

Ora creo l’equazione del 2° ordine del modello adattato:

r3 6

r /

2 1 − o o − o+2

√\ √\

+ = -. + - . + - .

p p p

∗ ∗ ∗

0 0r3 0r3 63

r

1 √\

k

= - . + . − . 1≤u≤o

+ s s r3 r3

∗ ∗

0

22 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag.31 22

Metodologia delle superfici di risposta

r3 6

r /

, + \ − 2√\ \ + 2√\ − , 1 + 2 √\

+ = - . + - . − - .

\p p

2√\p

∗ ∗

0 0r3 0r3 63

1

+ . − .

r3 r3

2√\

r

1

+ = - . 1≤u≤v≤o

\

L L

0 + 2√\

k

Con k=n° di livelli, r=n° di osservazioni replicate, M=r 2 , D*=\

In questo caso k=2, r=2, M=8, D*=8+2√8

1

+ = . + . = 8.25

2 >

1

= H−1. − 1. + 1. + 1. − + + 0. + 0. I = 0.0396

+ √2. √2.

8 h = ; : 8 <

1

+ = H−1. + 1. − 1. + 1. − 0. + 0. − + I = 0.1884

√2. √2.

8 h = ; : 8 <

<

=

1 1 1 1

+ = -. − - . − . + . + . + . = −0.4313

4

16 16 4 > ; :

0 0;

<

=

1 1 1 1

+ = -. − - . − . + . + . + . = −0.3563

4

16 16 4 > 8 <

0 0;

1

+ = . − . − . + . = 0.300

4 h =

In conclusione il modello di secondo grado adattato è:

.4 = 8.25 + 0.0396 + 0.1884 − 0.4313 − 0.3563 + 0.3 23

Mi creo la tabella della varianza:

Motivo Gradi di libertà SQ QM F

Regressione 5 1.6712 0.3342 6.53

Residuo 4 0.2048 0.0512

Totale 9 1.8760

23 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag.32 23

Metodologia delle superfici di risposta

Verifica di bontà di adattamento: .!

∑ ∑ . −

O'0 N '

0

2 2 2

s =SQ errore puro= = (8.2-8.25) +(8.3-8.25) =0.005 con N-n=10-9=1 gdl

SQ mancanza adattamento= SQE-SQ = 0.2048-0.005=0.1998 con n-p=9-6=3 gdl

Q= = 13.32 < Q = 215

. >>< h h; ; . ;

. ; quindi l’adattamento non è significativo.

6.6 Calcolo del contributo dei coefficienti di secondo grado:

Adatto l’area di interesse con un modello di primo grado:

7.3 + 7.1 + 7.0 + 8.0 + 7.6 + 7.4 + 7.4 + 79 + 8.2 + 8.3

+ = = 7.62

10

b e b rimangono gli stessi del modello di 2° grado.

1 2 .4 = 7.62 + 0.036 + 0.1884 24

Valori osservati e previsti dello spessore del disco per ciascuno dei quattro punti dello schema e

differenze pertinenti per il calcolo delle somme dei quadrati

.!

.4 .4 .! .4

. . − − . −

x x

1 2

-1 -1 7,3 7,3920 -0,3200 -0,2280 -0,0920

-1 1 7,1 7,7688 -0,5200 0,1488 -0,6688

1 -1 7.0 7,4712 -0,6200 -0,1488 -0,4712

1 1 8.0 7,8480 0,3800 0,2280 0,1520

0 0 8,2 7,6200 0,5800 0 0,5800

0 0 8,3 7,6200 0,6800 0 0,6800

-1,41 0 7,6 7,5641 -0,0200 -0,0558 0,0358

1,41 0 7,4 7,6758 -0,2200 0,0558 -0,2758

0 -1,41 7,4 7,3543 -0,2200 -0,2656 0,0456

0 1,41 7,9 7,8856 0,2800 0,2656 0,0143

.! .4 .! .4

- . − - − - . −

.! =7.62 SQT=1.876 SQR=0.29562 SQE=1.57935

24 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag.33 24

Metodologia delle superfici di risposta

Dall’analisi della varianza otterrei che SQR=0.2965, SQE=0.0512

*E = *E − *E

NweNw%% &Ow x&Kw''& °eN$K& NweNw%% &Ow x&Kw''& °eN$K&

(wNx O K °eN$K& = 1.6712 − 0.2965

= 1.3747 ⁄

*E T[RYPZ WYu XYPRuTu

Q= (wNx O K °eN$K&

zSPuSTVS PYcuW[S UZT RZWY{{Z Wu 2° |PSWZ

1.3747/3

= = 8.59 > Q = 6.59

0.0512 h;=; . ;

Ovvero le stime dei coefficienti di 2° grado sono significative al livello 0.05, quindi il modello di 2°

grado rappresenta meglio la regione sperimentale del modello di 1° grado. .4

Di conseguenza utilizzerò il modello di 2° grado adattato per trovare il valore ottimale di .

}

6.7 Ricerca del valore ottimale

Tale ricerca può essere effettuata in due modi:

- Metodi grafici;

- Metodi analitici.

Metodo grafico: creo una mappa a curve di livello del sistema di 2° ordine.

Metodo analitico = localizzazione delle coordinate del punto stazionario: calcolo le derivate prime

(ponendole uguali a 0) della superficie di risposta rispetto a ciascun x e risolvo le k equazioni

i

simultaneamente.

Il metodo grafico: la mappatura della superficie di secondo ordine

Per questo metodo generalmente vengono utilizzati dei programmi per la creazione di grafici a

curve di livello. Già dal modello approssimato si può capire comunque quale sarà la forma della

superficie di risposta, in questo caso sarà un parabola rivolta verso il basso (perché ho coefficienti

negativi)a curve di livello poco ellittiche (perché i coefficienti di 2° grado sono abbastanza simili). 25

Metodologia delle superfici di risposta

Il metodo analitico: la localizzazione delle coordinate del punto stazionario della superficie di 2°

ordine

Il mio modello adattato del 2° ordine è:

.4 = 8.25 + 0.0396 + 0.1884 − 0.4313 − 0.3563 + 0.3

Ora pongo le derivate parziali rispetto a x e x pari a zero:

1 2

•€4 = + + 2+ ++ = 0.0396 − 0.8626 + 0.3000 =0 → = 0.1615

~ •2 f

•€4 = + + 2+ ++ = 0.1884 − 0.7126 + 0.3000 =0 → = 0.3324

•2 i

Ora posso trovare i livelli ottimali:

− 27 32 3 27 3 27 uTYPXY

= → = + = 0.1615 + = 0.86 PSMMZPXZ

⁄ 32 32 32 32 PYcuTS

3 32

− 0.75

= → = 0.25 + 0.75 = 0.25 ∙ 0.3324 + 0.75 = 0.83UR

0.25

Mentre la stima della risposta in corrispondenza del punto stazionario viene ottenuta sostituendo i

valori di e nella formula del modello adattato del 2° ordine:

.4 .4

= 8.25 + 0.0396 + 0.1884 − 0.4313 − 0.3563 + 0.3 → = 8.319

Oppure posso utilizzare un’equazione più semplice:

1 1

.4 = + + + ++ = 8.25 + 0.0396 + 0.1884

2 2 26

Metodologia delle superfici di risposta

Descrizione della superficie in prossimità del punto stazionario

Nel caso in cui si abbia k=2, ovvero nel nostro caso, generalmente il solo uso delle curve di livello

basta per avere un’idea della forma della superficie di risposta in prossimità del punto stazionario,

ma quando k>2 i grafici a curve di livello diventano di difficile comprensione, allora vengono

utilizzati metodi analitici per descrivere la superficie attorno al punto stazionario.

Nel nostro caso le curve di livello partivano come ellissi e man mano che si avvicinavano al punto

=-

stazionario diventavano cerchi concentrici perché le stime dei coefficienti quadratici puri (b 11

0.4313 e b =-0.3563) erano circa uguali. Nel caso in cui i coefficienti fossero stati molto diversi,

22

invece, avremmo avuto delle ellissi concentriche anche in prossimità del punto stazionario.

Il valore del coefficiente misto b , invece, varia con l’angolo tra gli assi delle ellissi e gli assi x e x .

12 1 2

Nel caso in cui b12=0 allora gli assi delle ellissi saranno parallele agli assi x e x .

1 2

Equazione canonica della superficie di risposta di secondo grado

Esiste una maniera per esprimere la superficie di risposta in termini di variabili codificate

utilizzando la stima di risposta nel punto stazionario e le variabili W e W .

1 2

L’equazione è:

.4 .4

= + ƒ „ + ƒ „ 25

Con:

.4 =stima della risposta nel punto stazionario;

W = variabili date da una funzione lineare di x , gli assi W e W hanno origine nel punto

i i 1 2

;

stazionario , ovvero (W ;W )=(0;0).

1 2

λ =coefficienti di velocità di cambiamento della superficie stimata lungo gli assi W e W , i loro

i 1 2

valori sono gli autovalori della matrice reale simmetrica

+

+

‡ Š

2

† ‰

† ‰

+ +

† ‰̂

2

dove gli elementi b , b , b /2 sono misure di curvilinearità e di iterazione tra x e x .

11 22 12 1 2

25 John A. Cornell - Come applicare la metodologia delle superfici di risposta; Vol. 8 - Editoriale Itaca- 1993 – pag.36 27

Metodologia delle superfici di risposta

7. RICERCA DEL VALORE OTTIMALE DEL SEGNALE WI-FI

IN BASE ALLA POSIZIONE DELLA SCHEDA DI RETE

In questo esercizio si vuole trovare la coordinate migliori dove posizionare una scheda di rete wi-fi

in modo da avere il maggior livello di segnale di rete pur rimanendo all’interno di una certa area

delimitata di interesse.

Un esempio tipo sarebbe il caso in cui un pc in ufficio riceva un segnale basso dal router aziendale,

allora si può procedere adoperando un ripetitore di segnale o utilizzando una scheda di rete con

antenna direzionabile.

In questo caso i dati sono stati raccolti a gruppi di 3 in diversi momenti della giornata, questo

perché a seconda dell’orario la ricezione può variare a causa di interferenze del segnale, numero di

dispositivi collegati alla linea e quantità di utilizzo della linea dagli altri utenti (un download di un

utente po’ compromettere la ricezione degli altri utenti).

DATI

Ricezione segnale wifi = f (distanza ξ , distanza ξ ).

1 2

La distanza è espressa in metri, mentre il segnale, che andrebbe espresso in dbm, verrà espresso in

–dbm così da avere tutti i valori positivi. L’aumentare del valore del segnale indica un suo

peggioramento, esso è sempre compreso in un intervallo da 0 a 100.

Livelli: -X : 1.2 ; 1.8

1

-X : 1.2 ; 1.8

2

Repliche= 3 per ciascun livello in 3 orari diversi,36 osservazioni in totale.

Valori del segnale Wifi per ciascuna delle quattro combinazioni fattoriali

Fattori originali Segnale [-dbm]

Punto X X Y ore 10:00 Y ore 15:00 Y ore 20:00

1 2

1 1,2 1,2 85 85 85 85 85 86 85 86 86

2 1,2 1,8 87 86 87 86 87 87 87 88 87

3 1,8 1,2 87 88 88 88 87 88 87 88 88

4 1,8 1,8 88 88 89 88 89 88 88 89 89

Come si può vedere il segnale peggiora negli orari serali, mentre tra mattina e pomeriggio rimane

pressoché invariato. 28

Metodologia delle superfici di risposta

2,2

X 2

2 1,8 2 4

1,6

1,4

1,2 1 3 Punti di rilevazione

1 segnale

0,8

0,6

0,4

0,2

0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 X 1

7.1 Boxplot

Calcolo la media e deviazione standard dei valori osservati per ciascun punto in modo poi da

creare una carta di controllo che mi dia un’idea della variabilità del fenomeno.

Boxplot of punto1; punto2; punto3; punto4

89

88

Data 87

86

85 punto1 punto2 punto3 punto4 29

Metodologia delle superfici di risposta

Carte di controllo: I Chart of punto1

86,5 UCL=86,331

86,0

Value 85,5 _

Individual X=85,333

85,0

84,5 LCL=84,336

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Observation

I Chart of punto2

89 UCL=88,884

88

Value _

87

Individual X=86,889

86

85 LCL=84,894

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Observation 30

Metodologia delle superfici di risposta

I Chart of punto3

89,5 UCL=89,329

89,0

88,5

Value 88,0 _

Individual X=87,667

87,5

87,0

86,5

86,0 LCL=86,004

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Observation

I Chart of punto4

90,5 UCL=90,107

90,0

89,5

Value 89,0

Individual _

88,5 X=88,444

88,0

87,5

87,0 LCL=86,782

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Observation 31

Metodologia delle superfici di risposta

Dalle carte di controllo si può capire che il processo è stabile in quanto tutti i valori osservati sono

compresi tra il limite superiore e inferiore della carta di controllo.

CALCOLI !

= "

Variabili codificate: x =(X -1.5)/0.3 = se X =1.2 x =-1

1 1 1 1

se X =1.8 x =+1

1 1

x =(X -1.5)/0.3 = se X =1.2 x = -1

2 2 2 2

se X =1.8 x = +1

2 2

Valori del segnale Wi-fi per ciascuna delle quattro combinazioni fattoriali

Fattori originali Variabili codificate Segnale [-dbm]

Punto X X x x Y ore 10:00 Y ore 15:00 Y ore 20:00

1 2 1 2

1 1,2 1,2 ‒1 ‒1 85 85 85 85 85 86 85 86 86

2 1,2 1,8 ‒1 1 87 86 87 86 87 87 87 88 87

3 1,8 1,2 1 ‒1 87 88 88 88 87 88 87 88 88

4 1,8 1,8 1 1 88 88 89 88 89 88 88 89 89

Stime di b ,b ,b :

0 1 2 .!

+ = =

.

/

0

/ = 87.0833

.! .!

+ = − = 7 − ? = 0.9722

h∗<83 ∗<<3=∗<> :∗<;3;∗<:3:∗<83<<

2 03 2 0 < <

.! .!

+ = − = 7 − ? = 0.5833

∗<:3:∗<83:∗<<3=∗<> :∗<;3h∗<:3h∗<83:∗<<

2 03 2 0 < <

.4 = 87.0833 + 0.9722 + 0.5833 32

Metodologia delle superfici di risposta

Contour Plot of Yu^ vs x2; x1

3 Yu^

< 80

2 80 - 82

82 - 84

84 - 86

1 86 - 88

88 - 90

0 > 90

x2 -1

-2

-3

-4

-5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

x1

Con Minitab infatti ottengo:

Regression Analysis: media1 versus x1; x2

The regression equation is

media1 = 87,1 + 0,972 x1 + 0,583 x2

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 87,0833 0,1944 447,86 0,001

x1 0,9722 0,1944 5,00 0,126

x2 0,5833 0,1944 3,00 0,205

S = 0,388889 R-Sq = 97,1% R-Sq(adj) = 91,4%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 2 5,1420 2,5710 17,00 0,169

Residual Error 1 0,1512 0,1512

Total 3 5,2932

Source DF Seq SS

x1 1 3,7809

x2 1 1,3611 33

Metodologia delle superfici di risposta

7.2 Tabella dell’analisi della varianza

Serve per verificare la significatività delle stime dei coefficienti nel modello adattato.

Per farlo devo scomporre la variabilità totale SQT in variabilità spiegata SQR e non spiegata SQE.

.!

*EF = . −

Somma dei quadrati pertinente al totale= con N-1 gradi di libertà

∑H.4 .!I

= −

Somma dei quadrati dovuta alla regressione=*EG con p-1 gradi di libertà

.4

= . −

Somma dei quadrati pertinente agli scostamenti residui=*EJ con N-p gdl

.4 .!

con = media di un gruppo e = media totale.

Poi si calcolano i quadrati medi sia della regressione che degli scostamenti residui:

QMR= SQR/(p-1)

QME= SQE/(N-p)

La prova di significatività dell’equazione adattata alla regressione si fa, in genere, mediante test t

di Student o F dell’Anova, ovvero: F=QMR/QME

considerando come ipotesi nulla H =βi=0 eccetto β (non ho relazione tra le variabili) ,mentre

0 0

l’ipotesi alternativa è H =almeno un βi≠0 ecceWo β (ho relazione tra le variabili); e comparando il

1 0

valore osservato di F con il valore tabellare.

Come criterio di adeguatezza del metodo si fa uso della formula:

2

R =SQR/SQT

Che però non va bene nel caso di osservazioni non replicate, allora è preferibile utilizzare:

*EJ , − M

G = 1 − ⁄

*EF , − 1

$KL 34

Metodologia delle superfici di risposta

Valori osservati previsti dell'intensità di segnale per ciascuno dei quattro punti dello schema e

.!

.4 .4 .! .4

differenze pertinenti per il calcolo delle somme dei quadrati

. . − − . −

Punto x x

1 2 85 -2,0833 -0,5278

85 -2,0833 -0,5278

85 -2,0833 -0,5278

85 -2,0833 -0,5278

1 -1 -1 85 85,5278 -2,0833 -1,5556 -0,5278

86 -1,0833 0,4722

85 -2,0833 -0,5278

86 -1,0833 0,4722

86 -1,0833 0,4722

87 -0,0833 0,3056

86 -1,0833 -0,6944

87 -0,0833 0,3056

86 -1,0833 -0,6944

2 -1 1 87 86,5833 -0,0833 -0,3889 0,3056

87 -0,0833 0,3056

87 -0,0833 0,3056

88 0,9167 1,3056

87 -0,0833 0,3056

87 -0,0833 -0,4722

88 0,9167 0,5278

88 0,9167 0,5278

88 0,9167 0,5278

3 1 -1 87 87,3611 -0,0833 0,3889 -0,4722

88 0,9167 0,5278

87 -0,0833 -0,4722

88 0,9167 0,5278

88 0,9167 0,5278

88 0,9167 -0,6389

88 0,9167 -0,6389

89 1,9167 0,3611

88 0,9167 -0,6389

4 1 1 89 88,7499 1,9167 1,5556 0,3611

88 0,9167 -0,6389

88 0,9167 -0,6389

89 1,9167 0,3611

89 1,9167 0,3611

.! .4 .! .4

∑ . =3135 - . − - − - . −

.! =87.0833 SQT=56.7500 SQR=46.2778 SQE=10.4722

35

Metodologia delle superfici di risposta

Source DF SS MS F P

Factor 3 46,278 15,426 47,17 0,000

Error 32 10,472 0,327

Total 35 56,750

Residual Plots for punto1; punto2; punto3; punto4

Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values

99 1,0

90 0,5

Residual

Percent 50 0,0

-0,5

10 -1,0

1 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 85 86 87 88

Residual Fitted Value

Histogram of the Residuals

6,0

4,5

Frequency 3,0

1,5

0,0 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Residual

7.3 Verifiche

Verifica di significatività:

⁄ ⁄

E\G *EG M − 1 46.278 4 − 1

Q= = = = 47.17 > Q = 4.51

⁄ ⁄

E\J *EJ , − M 10.472 36 − 4 h;h ; .

Con p=k+1=numero di punti dello schema; N= numero di osservazioni totali eseguite.

Quindi il modello è significativo, ovvero approssima bene l’andamento dei punti dello schema. 36

Metodologia delle superfici di risposta

Criterio di adeguatezza:

*EG 46.2778

G = = = 0.8155

*EF 56.7500

⁄ ⁄

*EJ , − M 10.4722 36 − 4

G = 1− =1− = 0.7982

⁄ ⁄

*EF , − 1 56.7500 36 − 1

$KL

Ovvero il 81.55% della variazione totale è spiegata dal modello adattato e che la stima della

varianza dell’errore è del 1-0.7982=0.2018=20.18%.

7.4 La traiettoria di massima variazione:

Essa parte dal centro (0,0) dello schema sperimentale e si sposta di b unità lungo x e di b unità

1 1 2

lungo x .

2

Indica la direzione verso cui sono attesi valori di risposta più alti.

Ora devo trovare la traiettoria di massima variazione passante per il punto medio delle rilevazioni,

ovvero nel punto di coordinate (0;0;87.0833), la retta è:

x =(87.0833+0.9722*x )/0.5833

2 1 37

Metodologia delle superfici di risposta

Ora effettuo delle prove nella direzione della traiettoria di massima variazione nei punti 5, 6, 7

come illustrato nella figura sopra.

In questi punti i valori osservati di ricezione del segnale sono: .!

.

Punto X X x x

1 2 1 2

5 0,9 1,1400 -2 -1,2000 85 85 85 85,0000

6 0,6 0,9600 -3 -1,7999 83 83 84 83,6667

7 0,3 0,7800 -4 -2,3999 79 79 80 79,3333

8 0 0,6000 -5 -2,9999 82 83 83 82,6667

Si può notare dalla tabella sopra come i valori aumentino fino al punto 6 per poi diminuire verso il

punto 7, quindi sarebbe inutile continuare la sperimentazione lungo la traiettoria oltre il punto 7.

Il punto in cui il segnale è migliore è il punto 6, ed è proprio lì che metteremo il centro del secondo

schema sperimentale. 38


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
Università: Padova - Unipd
A.A.: 2016-2017

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher ing.fista di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi statistici e probabilistici per l'ingegneria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Padova - Unipd o del prof Arboretti Giancristofaro Rosa.

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