Tesi Gabriele Pisacane: Quantum clocks

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO

DIPARTIMENTO DI FISICA E.R.CAIANELLO

Corso di Laurea in Fisica

Quantum clocks: orologi quantistici

relativistici e fenomeni di dilatazione

dei tempi Candidato:

Relatore:

Ch.mo Prof. Gabriele Pisacane

Antonio Capolupo Mat. 0512600603

ANNO ACCADEMICO 2019/2020

Dedicata a coloro che

ci provano ogni giorno

e non si arrendono mai.

Indice

1 Introduzione 3

2 POVM e formalismo di Page-Wootters 6

3 Implementazione del formalismo di Page-Wootters 9

3.1 Teoria classica delle particelle relativistiche libere . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Quantizzazione canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Stati condizionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Osservabile tempo proprio e dilatazione dei tempi 16

4.1 Osservabile tempo proprio e orologi (clocks) . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Probabilità condizionata di misura del tempo proprio . . . . . . . . . . . 18

4.3 Dilatazione dei tempi classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Dilatazione dei tempi quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Dilatazione dei tempi quantistica in esperimenti 28

6 Conclusioni e discussione 29

7 Appendici 31

7.1 Appendice I: relazione d’indeterminazione energia-tempo . . . . . . . . . 31

7.2 Appendice II: teorema di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Abstract

Il presente lavoro di tesi studia come, all’intersezione tra meccanica quantistica e teoria

della relatività, si trova la possibilità che un orologio quantistico sperimenti una sovrappo-

sizione di tempi propri. Considereremo come orologi quantistici i gradi di libertà interni

di particelle relativistiche che si muovono attraverso lo spaziotempo curvo. Si ricava la

probabilità che un orologio legga un dato tempo proprio condizionato da un altro orologio

che legge un diverso tempo proprio. Da questa distribuzione di probabilità condizionata

si mostra che, quando i gradi di libertà esterni di questi orologi si muovono in pacchetti

d’onda di quantità di moto localizzati, essi osservano la classica dilatazione dei tempi.

Mostreremo quindi una correzione quantistica alla dilatazione dei tempi osservata da un

orologio che si muove in una sovrapposizione di pacchetti d’onda di quantità di moto

localizzata che ha il potenziale per essere osservata attraverso esperimenti.

+1, +1, +1).

ℏ = =

1 g diag(−1,

In tutto il lavoro di tesi e

Capitolo 1

Introduzione

La conoscenza scientifica del mondo fisico ha registrato, nel XX secolo, una rapida cre-

scita, alla cui radice si situano due grandi rivoluzioni concettuali che hanno rifondato

la fisica teorica durante i primi anni del Novecento, modificando in profondità la nostra

comprensione del mondo: la meccanica quantistica e la teoria della relatività generale di

Albert Einstein. La prima ha sostituito la meccanica classica e ha modificano in manie-

ra radicale la nostra comprensione della materia e dell’energia. La seconda ha sostituito

la teoria della gravità di Isaac Newton e ha modificato in maniera altrettanto radicale la

nostra comprensione della natura dello spazio e del tempo. Queste due teorie sono oggi

ampiamente confermate dall’esperienza. La prima è alla base di un accrescimento della

conoscenza che comprende la fisica atomica, nucleare, delle particelle, dello stato solido

e della biologia molecolare; la seconda è il fondamento di tutti gli studi che involvono

fenomeni gravitazionali (dall’astrofisica relativistica, alla cosmologia, alla ricerca delle

onde gravitazionali) ed è quindi alla base dei grandi e recenti progressi nella nostra co-

noscenza del Cosmo. Questa rapida crescita del sapere, d’altra parte, ha fatto cadere il

quadro concettuale della vecchia fisica newtoniana, senza però sostituirlo con uno nuovo

coerente. Meccanica quantistica e relatività generale sono teorie incomplete e a prima

vista incompatibili: ciascuna delle due è usualmente formulata sulla base di assunzioni

contraddette esplicitamente dall’altra. Quindi, se è innegabile la crescita della conoscenza

3

verificatasi durante il XX secolo, ciò ha anche lasciato in eredità una grande confusione

concettuale sulla natura del mondo fisico, e un ancora più grande problema scientifico

da risolvere: la ricerca di una sintesi capace di offrire una visione coerente del mondo,

compatibile con il sapere raggiunto, all’interno della quale la meccanica quantistica e la

relatività generale possano essere comprese in modo non contraddittorio.

Tra le contraddizioni fra le due teorie spicca il diverso ruolo che gioca il tempo: nel-

la meccanica quantistica esso è un parametro esterno, mentre nella teoria della relatività

generale esso è una “dimensione”, che insieme alle dimensioni spaziali, definisce lo spa-

ziotempo. L’ipotetica teoria capace di combinare i passi avanti concettuali rappresentati

da meccanica quantistica e relatività generale e, in particolare, di descrivere gli aspet-

ti quantistici dei fenomeni gravitazionali (la cosiddetta teoria della gravità quantistica),

dovrà porre rimedio a questa asimmetria tra le due visioni del tempo.

Un possibile approccio per “simmetrizzare” le due teorie può essere quello di trattare il

tempo, in meccanica quantistica, come un osservabile, alla pari della posizione; così, nei

rispettivi campi, le due teorie trattano spazio e tempo nel medesimo modo.

Ciò che permise ad Einstein di trascendere il concetto Newtoniano di tempo fu il suo

insistere sul fatto che il tempo fosse ciò che viene mostrato da un orologio (processo pe-

riodico ideale). Estendendo tale visione “operativa” alla meccanica quantistica, si è portati

a definire il tempo attraverso misurazioni di sistemi quantistici che fungono da orologi.

Considerando l’orologio come un sistema quantistico, esso sarà soggetto al principio di

sovrapposizione, che nel contesto relativistico porta a supporre che un sistema quantisti-

co che fa da orologio può esibire una sovrapposizione di tempi propri, una situazione già

investigata nel contesto della relativistic clock interferometry, in cui due rami di un inter-

ferometro atomico sperimentano tempi propri diversi a causa della dilatazione temporale

predetta dalla relatività generale o ristretta. Introduciamo un osservabile tempo proprio

T definito come un POVM covariante che agisce sui gradi di libertà interni, che fanno

da orologio, di una particella relativistica che si muove attraverso lo spaziotempo curvo.

4

Il definirlo come un POVM ci permette di “scavalcare” il Teorema di Pauli, che impone

che il tempo sia trattato come un parametro esterno e non come un operatore hermitiano.

A B,

Questo ci consente di considerare due orologi quantistici relativistici, e e stimare la

A B

probabilità che legga un particolare tempo proprio condizionato dal fatto che legga

un diverso tempo proprio. Consideriamo quindi due orologi preparati in pacchetti d’onda

di quantità di moto localizzati e dimostriamo che osservano in media la dilatazione del

tempo classica secondo la relatività speciale. Illustriamo quindi un effetto di dilatazione

temporale quantistica che si verifica quando un orologio si muove in una sovrapposizione

di due pacchetti d’onda di quantità di moto localizzati: in media, il tempo proprio di un

orologio che si muove in una sovrapposizione coerente di momenti è distinto da quello

della corrispondente miscela classica. 5

Capitolo 2

POVM e formalismo di Page-Wootters

T,

Introdotto un ipotetico osservabile tempo che risultati può dare una misura? E in

laboratorio, su cosa effettuiamo le nostre misure?

La risposta alla prima domanda è che i risultati di una misura di un ipotetico osservabile

T

tempo devono corrispondere a “quando” è avvenuta la misura, e noi li conosciamo in

quanto, tramite ad esempio un orologio fermo nel nostro sistema di riferimento, sappiamo

in che momento abbiamo effettuato la misurazione. I risultati di una misura, indicandoli

⊆

t,

con saranno contenuti in un insieme Per valutare la probabilità associata ad ogni

R.

t, introduciamo il concetto di POVM (Positive Operator Valued Measure): consideriamo

AB, A B,

un sistema isolato, costituito da due sottosistemi, e a cui sono associati rispet-

H H

tivamente gli spasi di Hilbert e ; lo spazio di Hilbert associato al sistema sarà

A B

H H H

⊗

= A B,

. Supponiamo di conoscere gli stati del sistema e rispettivamente

AB A B A

⊗

=

AB

e ; lo stato del sistema composto sarà dunque dato da ( è l’operatore

B AB A B

AB

densità). Focalizziamo la nostra attenzione non su tutto il sistema ma su una porzione

A.

di esso, sia essa 6

E

Sia un’osservabile del sistema rappresentata dall’operatore hermitiano

H H

→

: (2.1)

AB AB

{a}

e sia l’insieme dei suoi autovalori.

a H

D POVM: A

un POVM su un sistema con spazio di Hilbert è un

EFINIZIONE DI A

H

{F }

insieme di operatori su tali che:

a A

a

a, F

• per ogni è hermitiano;

a

a, F

• per ogni è un operatore semidefinito positivo;

a Í =I

F

• risolvono l’identità, nel senso che a

a

L’importanza dei POVM sta nel fatto che la probabilità che una misura di un osser-

a, F

vabile definita tramite POVM dia come risultato a cui associamo l’operatore , è

a

=

Prob(a) trF .

a

Possiamo, tramite questa definizione, riformulare il terzo assioma della meccanica quan-

tistica che recita: H | i,

E

“Data un osservabile di un sistema con spazio di Hilbert nello stato

E

i valori ottenibili attraverso una misura di sono tutti e soli gli autovalori

{a} h i,

|E |

=

E, Prob(a)

dell’operatore ciascuno ottenibile con probabilità a

a |ai ha|, |ai

=

E a.”

dove e autostato corrispondente all’autovalore

a

in H

“La misura di una osservabile di un sistema con spazio di Hilbert dalla

{a}

cui misura si possono ottenere solamente i valori è rappresentata da un

a

H

{F } a,

POVM su ; la probabilità di ottenere l’esito detto l’operatore

a a =

Prob(a) trF

di densità che rappresenta lo stato del sistema, è .”

a

7 H

Figura 2.1: | ii

rappresentazione pittorica dello stato globale . Lo spazio di Hilbert del sistema, ,

S

x y,

è rappresentato dagli assi e mentre lo spazio di Hilbert associato al grado quantico di libertà interno,

H | ( )i t

, dall’asse orizzontale. Lo stato del sistema al tempo della formulazione convenzionale della

0

T 0

| ii t

meccanica quantistica si ottiene condizionando ad avere il tempo .

0

Esistono invece diverse risposte alla seconda domanda, ma noi ci soffermeremo su quel-

la data da Don N. Page e William K. Wootters. Nel 1983, Don N. Page e William K.

Wootters pubblicarono un articolo dal titolo “Evolution without evolution: Dynamics de-

in cui fecero l’ipotesi che il tempo potesse essere

scribed by stationary observables”,

considerato come un grado di libertà quantico interno al sistema, a cui dovesse essere

H

associato lo spazio di Hilbert . Lo “scorrere” del tempo consiste allora nella corre-

T

lazione (entanglement) tra questo grado quantico di libertà interno e il resto del sistema,

ii.

una correlazione presente in uno stato globale, indipendente dal tempo,| Un osser-

vatore interno al sistema vedrà tale stato come una descrizione della normale evoluzione

| ()i t

temporale: lo stato del sistema descritto dal familiare vettore di stato al tempo lo

| ii t

si riottiene condizionando (tramite proiezione) lo stato ad un tempo (Figura 2.1).

H H H H

| ii ⊗

=

Lo stato è contenuto nello spazio di Hilbert , definito come , dove

H H

S,

è lo spazio di Hilbert associato al sistema in esame mentre è lo spazio di Hilbert

S T

S.

associato al “clock”, ossia al grado di libertà interno del sistema Per cui, conoscendo lo

∈ G),

stato del clock, conoscendo i possibili esisti di una misura (t ci basta introdurre l’os-

T

servabile tempo come un POVM per calcolare la probabilità relativa ad ogni possibile

t.

risultato 8

Capitolo 3

Implementazione del formalismo di

Page-Wootters

3.1 Teoria classica delle particelle relativistiche libere

N

Implementiamo il formalismo di Page-Wootters ad un sistema di particelle relativisti-

che dotate ognuna di gradi di libertà interni, che si muovono in uno spaziotempo curvo

descritto dalla metrica (Figura 3.1). Per farlo cominciamo ricavando l’Hamiltoniana

del sistema, con la condizione che tutte le variabili siano trattate allo stesso modo. Siano

(n =

q P 1, N)

e rispettivamente le coordinate generalizzate e i momenti coniugati

...,

n q

n n-esima

associati ai gradi di libertà interni della particella.

9

0 0n i in

Figura 3.1: x P x P n-esima

i gradi di libertà temporali ed esterni della particella. Questa

, ,

n n

q P

particella ha un grado di libertà interno che è usato per costruire un orologio che misura

,

n q

n

n-esima

il tempo proprio della particella. ∫

Í )

(

=

S S d L dove

L’azione che descrive questo sistema è n

n n

n q

n

2

( ) − + −

P (3.1)

B

q

n

n-esima m

è la Lagrangiana associata alla particella, e denotano rispettivamente il

n n

clock clock

≡

H H q P

tempo proprio e la massa a riposo della particella, e è l’Hamilto-

,

n q

n n n

niana che governa l’evoluzione, rispetto a , dei gradi di libertà interni. Useremo questi

n

gradi di libertà interni come un orologio tramite la quale misurare il tempo proprio della

n-esima particella.

x n-esima

Denotiamo con la posizione nello s