Tesi Gabriele Pisacane: Quantum clocks

H H

tivamente gli spasi di Hilbert e ; lo spazio di Hilbert associato al sistema sarà

A B

H H H

⊗

= A B,

. Supponiamo di conoscere gli stati del sistema e rispettivamente

AB A B A

⊗

=

AB

e ; lo stato del sistema composto sarà dunque dato da ( è l’operatore

B AB A B

AB

densità). Focalizziamo la nostra attenzione non su tutto il sistema ma su una porzione

A.

di esso, sia essa 6

E

Sia un’osservabile del sistema rappresentata dall’operatore hermitiano

H H

→

: (2.1)

AB AB

{a}

e sia l’insieme dei suoi autovalori.

a H

D POVM: A

un POVM su un sistema con spazio di Hilbert è un

EFINIZIONE DI A

H

{F }

insieme di operatori su tali che:

a A

a

a, F

• per ogni è hermitiano;

a

a, F

• per ogni è un operatore semidefinito positivo;

a Í =I

F

• risolvono l’identità, nel senso che a

a

L’importanza dei POVM sta nel fatto che la probabilità che una misura di un osser-

a, F

vabile definita tramite POVM dia come risultato a cui associamo l’operatore , è

a

=

Prob(a) trF .

a

Possiamo, tramite questa definizione, riformulare il terzo assioma della meccanica quan-

tistica che recita: H | i,

E

“Data un osservabile di un sistema con spazio di Hilbert nello stato

E

i valori ottenibili attraverso una misura di sono tutti e soli gli autovalori

{a} h i,

|E |

=

E, Prob(a)

dell’operatore ciascuno ottenibile con probabilità a

a |ai ha|, |ai

=

E a.”

dove e autostato corrispondente all’autovalore

a

in H

“La misura di una osservabile di un sistema con spazio di Hilbert dalla

{a}

cui misura si possono ottenere solamente i valori è rappresentata da un

a

H

{F } a,

POVM su ; la probabilità di ottenere l’esito detto l’operatore

a a =

Prob(a) trF

di densità che rappresenta lo stato del sistema, è .”

a

7 H

Figura 2.1: | ii

rappresentazione pittorica dello stato globale . Lo spazio di Hilbert del sistema, ,

S

x y,

è rappresentato dagli assi e mentre lo spazio di Hilbert associato al grado quantico di libertà interno,

H | ( )i t

, dall’asse orizzontale. Lo stato del sistema al tempo della formulazione convenzionale della

0

T 0

| ii t

meccanica quantistica si ottiene condizionando ad avere il tempo .

0

Esistono invece diverse risposte alla seconda domanda, ma noi ci soffermeremo su quel-

la data da Don N. Page e William K. Wootters. Nel 1983, Don N. Page e William K.

Wootters pubblicarono un articolo dal titolo “Evolution without evolution: Dynamics de-

in cui fecero l’ipotesi che il tempo potesse essere

scribed by stationary observables”,

considerato come un grado di libertà quantico interno al sistema, a cui dovesse essere

H

associato lo spazio di Hilbert . Lo “scorrere” del tempo consiste allora nella corre-

T

lazione (entanglement) tra questo grado quantico di libertà interno e il resto del sistema,

ii.

una correlazione presente in uno stato globale, indipendente dal tempo,| Un osser-

vatore interno al sistema vedrà tale stato come una descrizione della normale evoluzione

| ()i t

temporale: lo stato del sistema descritto dal familiare vettore di stato al tempo lo

| ii t

si riottiene condizionando (tramite proiezione) lo stato ad un tempo (Figura 2.1).

H H H H

| ii ⊗

=

Lo stato è contenuto nello spazio di Hilbert , definito come , dove

H H

S,

è lo spazio di Hilbert associato al sistema in esame mentre è lo spazio di Hilbert

S T

S.

associato al “clock”, ossia al grado di libertà interno del sistema Per cui, conoscendo lo

∈ G),

stato del clock, conoscendo i possibili esisti di una misura (t ci basta introdurre l’os-

T

servabile tempo come un POVM per calcolare la probabilità relativa ad ogni possibile

t.

risultato 8

Capitolo 3

Implementazione del formalismo di

Page-Wootters

3.1 Teoria classica delle particelle relativistiche libere

N

Implementiamo il formalismo di Page-Wootters ad un sistema di particelle relativisti-

che dotate ognuna di gradi di libertà interni, che si muovono in uno spaziotempo curvo

descritto dalla metrica (Figura 3.1). Per farlo cominciamo ricavando l’Hamiltoniana

del sistema, con la condizione che tutte le variabili siano trattate allo stesso modo. Siano

(n =

q P 1, N)

e rispettivamente le coordinate generalizzate e i momenti coniugati

...,

n q

n n-esima

associati ai gradi di libertà interni della particella.

9

0 0n i in

Figura 3.1: x P x P n-esima

i gradi di libertà temporali ed esterni della particella. Questa

, ,

n n

q P

particella ha un grado di libertà interno che è usato per costruire un orologio che misura

,

n q

n

n-esima

il tempo proprio della particella. ∫

Í )

(

=

S S d L dove

L’azione che descrive questo sistema è n

n n

n q

n

2

( ) − + −

P (3.1)

B

q

n

n-esima m

è la Lagrangiana associata alla particella, e denotano rispettivamente il

n n

clock clock

≡

H H q P

tempo proprio e la massa a riposo della particella, e è l’Hamilto-

,

n q

n n n

niana che governa l’evoluzione, rispetto a , dei gradi di libertà interni. Useremo questi

n

gradi di libertà interni come un orologio tramite la quale misurare il tempo proprio della

n-esima particella.

x n-esima

Denotiamo con la posizione nello spaziotempo del centro di massa della

n

particella rispetto ad un osservatore inerziale, che chiameremo gradi di libertà esterni.

d n-esima

Il differenziale del tempo proprio, , lunga la linea di universo della particella

n

(t ),

x t

parametrizzata in termine di un arbitrario parametro , è

n n

n √︂ ¤ √︃

2

− ¤ − ¤

= = (3.2)

2

10

x 2

n =

t g x x

dove il punto denota la derivata totale rispetto al parametro e abbiamo posto .

n n n

2

c

t S

In termini del parametro l’azione prende la forma

n ∫ √︃

∑︁ 2 ( )

− ¤

= (3.3)

t

Questa azione, fintantoché esiste una corrispondenza uno ad uno tra e , è invariante

n n

t

per cambiamento del parametro della linea d’universo . Questa invarianza ci permette

n

S t,

di parametrizzare l’azione tramite un singolo parametro connesso al tempo proprio

(t )

n-esima f t.

della particella da una funzione monotona crescente B

n

n ∫

(3.4) (t),

=

t, S S dtL

In termini del singolo parametro l’azione nell’equazione diviene

dove !

P q

√︃ q n

∑︁ 2 n

2

() − ¤ − + − (3.4)

B

√︁ 2

− ¤

(3.4)

Questa Lagrangiana tratta il tempo, lo spazio e i gradi di libertà interni come

variabili dinamiche su un piano di parità. (t)

L

L’Hamiltoniana associata alla Lagrangiana si ottiene tramite trasformata di Legendre

(3.4)

della

√︃

∑︁ ∑︁ 2

2

() − ¤ +

¤ + ¤ − ¤ +

= (3.5)

B

P x n-

dove è il momento coniugato alla posizione nello spaziotempo associato alla

n n clock

H

x

L(t) √ n n

+

:

: = =

= M M m

P g è la fun-

, dove

esima particella, definito come n n n

n 2

c

x 2

n −x

n

zione massa.

(3.5) P

Andiamo a sostituire nell’equazione la definizione di ottenendo

n

11

¤ ¤ √︃

2

2

+ − ¤ +

=

√︁ 2

− ¤

2

¤ h i

2 2

+ − +

= (3.6)

√︁ 2

− ¤

≈ 0 ≈ 0)

questa relazione (indicata con prende il nome di “vincolo primario”, nel senso che

essa corrisponde ad una relazione di dipendenza tra i momenti coniugati.

P N

Ricordando la definizione di , possiamo porre questi vincoli nella forma

n 2

2

+ + 0 (3.7)

B ≈

Tali relazioni di vincolo possono essere interpretate euristicamente come una richiesta

all’energia totale, associata ai gradi di libertà interni ed esterni delle particelle, di conser-

varsi. Se consideriamo lo spaziotempo di Minkowski, in cui le componenti del tensore

+ −

(3.7) =

g C C C

metrico sono nulle, l’equazione può essere fattorizzata come dove

,

0i H n n

n

± 0 ±ℎ

B

√︃

1 2

2

+ + (3.8)

√

B

ℎ

− 0 12

3.2 Quantizzazione canonica

In quanto segue sfrutteremo lo schema di quantizzazione messo a punto da Dirac per

(3.7))

passare dall’Hamiltoniana rica