Tesi di Laurea Triennale - Dinamiche Caotiche e moti caotici in meteorologia: Il Modello di Lorenz

T

espresso dal numero di Rayleigh:

α 3

gΔTH

=

Ra

! (1.1)

νκ

! : coefficiente di espansione termica

α

ν

! : viscosità cinematica

κ

! : diffusività termica

Esso rappresenta il rapporto tra le forze di galleggiamento e quelle di attrito viscoso

Fig. 1.2

Valori misurati a pressione atmosferica a 15 °C

Fig 1.3 5

<

Non si osserva convezione per ! : il fluido trasporta calore esclusivamente per

Ra 1708

diffusione molecolare. Per ! leggermente maggiori di 1708 abbiamo convezione in

Ra

pattern alternati vero l’alto e verso il basso. In certe particolari condizioni si osserva che la

disposizione delle celle convettive diviene regolare e metastabile, cioè stabile per piccole

perturbazioni con configurazioni che dipendono dalle condizioni iniziali, dalla natura del

liquido e dalla temperatura delle piastre. Spesso sulla superficie del fluido si instaura una

tessitura ad esagoni chiamata appunto convezione di Rayleigh-Bénard.

! Fig. 1.4

Sotto le ipotesi di sottigliezza dello strato liquido, per piaste piane e lisce e sotto particolari

valori di temperatura si ottiene la formazione di un mosaico regolare sulla superficie

superiore del liquido, vedi Fig. 1.5 e Fig. 1.6 a), b), c). La configurazione d) della Fig. 1.6,

ottenuta in presenza di piastre non perfettamente lisce, non presenta nessun pattern regolare.

Si noti come tale configurazione caotica somigli alla disposizione delle nubi nell’atmosfera.

Fig. 1.5

Time-lapse in cui il fluido sale al centro si muove verso l’esterno scendendo ai limiti delle

celle. 6

Fig. 1.6

Quando ! è più volte il valore critico (1708) questi schemi diventano instabili, si instaura

Ra

uno schema oscillatorio e infine per ! ancora maggiori la convezione diventa caotica.

Ra

1.5 Convezione top-to-bottom turbolenta

La convezione studiata da Rayleigh e Bénard nella sezione precedente rappresenta un caso

particolare molto lontano dai fenomeni convettivi naturali. Infatti i valori tipici del numero

di Rayleigh nell’atmosfera o per bacini d’acqua naturali sono molto maggiori di 1000. Ad

esempio in uno strato limite atmosferico spesso 500 m soggetto ad una differenza di

= ×

temperatura di 3 °C, il numero di Rayleigh assume il valore di: ! . In queste

16

Ra 4 10

condizioni chiaramente la convezione è turbolenta ed è caratterizzata dalla formazione e dal

distacco di termiche (come in Fig 1.7) dallo strato in esame nel verso del flusso

destabilizzante. Fig. 1.7

Per termiche si intende il richiamo di fluido ascendente più caldo e quindi più leggero di

quello circostante. Esse vengono sfruttate in natura da molti rapaci e dall’uomo, imitando

questi ultimi, nel volo ad aliante. 7

1.6 Convezione penetrativa in fluidi stratificati

Nella sezione precedente si è considerato un sistema pienamente convettivo in stato

stazionario eccetto il graduale aumento/diminuzione della temperatura complessiva al

passare del tempo. Spesso però nell’atmosfera la convezione opera contro una

stratificazione preesistente che viene da essa gradualmente erosa, come descritto nella

sezione 1.3.

La parte bassa dell’atmosfera dunque si raffredda durante la notte a al mattino il terreno è

coperto da uno strato di aria fredda. Quando sorge il sole la superficie assorbe la radiazione

solare e scalda l’atmosfera dal basso erodendo gradualmente la stratificazione di

temperature raggiunta durante la notte.

La convezione penetrativa in fluidi stratificati è stata simulata in laboratorio ed è emerso che

la temperatura nella zona convettiva risulta uniforme, infatti i moti convettivi permettono un

efficace mescolamento del fluido spingendo alla diffusione delle temperature verso un

valore uniforme. Fig. 1.8

Profili verticali di temperatura

nell’esperimento di convezione penetrativa

in cui un fluido stratificato viene scaldato dal

basso. Gli indici sui profili rappresentano lo

scorrere dei minuti.

Nella zona di contatto tra lo strato convettivo e la stratificazione rimanente abbiamo una

zona in cui la temperatura è localmente più bassa di quella che c’era prima che la

convezione arrivasse a quel punto. In altre parole, il trascinamento nella zona convettiva è

preceduto da un crollo di temperatura prima dell’aumento sotto l’azione del riscaldamento

netto del sistema. 8

Capitolo 2

Dalle equazioni di Navier-Stokes alle equazioni

della convezione di Saltzman

2.1 Introduzione

Nelle sezioni precedenti si sono visti alcuni esempi specifici volti a sottolineare le principali

caratteristiche della convezione atmosferica. Per trattare l’atmosfera in maniera globale

tuttavia le variabili in gioco sono molte di più e occorre partire dalle leggi in forma più

estesa per poi ridurne la complessità in relazione al fenomeno studiato.

In questo capitolo si richiama la formulazione più generale delle equazioni di Navier-Stokes

per un qualsiasi campo fluidodinamico, per poi, usando l’approssimazione di Oberbeck-

Boussinesq ottenere un sistema semplificato.

Nella meccanica dei fluidi poche sono le approssimazioni che si sono dimostrate utili nel

predire fenomeni fluidodinamici quanto l’approssimazione di Oberbeck-Boussinesq. Essa è

usata per una grande varietà di flussi, sia nella fluidodinamica astrofisica, che in quella

geofisica. Il più celebre utilizzo è proprio quello di descrizione del fenomeno di convezione

naturale. Infatti, con alcune eccezioni, i moti atmosferici a tutte le scale sono di origine

convettiva. Le forme particolari che questi moti prendono variano molto sia in scala che in

caratteristiche, passando da turbolenze termiche caotiche a sistemi altamente organizzati

quali uragani. Per tutti i casi però c’è la proprietà comune che il moto che si sviluppa

trasporta calore e vortici (quantità di moto); sono questi processi che introducono contenuti

non lineari nel comportamento atmosferico. Come primo passo per comprendere la

complessità di tali non linearità è necessario studiare modelli di sistemi molto più semplici.

Dall’approssimazione di Oberbeck-Boussinesq derivano le equazioni della convezione di

Saltzman (1962), che descrivono il fenomeno di convezione ad ampiezza finita. Le

equazioni di Saltzman sono di interesse in questa trattazione poiché sono state utilizzate da

Edward N. Lorenz nell’ottenere il suo celebre modello, che non è altro che una

semplificazione di queste ultime. 9

2.2 Equazioni di Navier-Stokes

Il sistema di 3 equazioni che descrive un qualsiasi campo fluidodinamico è il seguente:

⎧ ρ

∂ ρ

+ ∇ ⋅( =

⎪ V ) 0

∂t

⎪

⎪ ∂V

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

( ) ( )

2

ρ µ µ ρ

+ ⋅∇V = −∇p + ∇ ∇V + ∇V − ∇ ⋅V +

T

⎨ V I f

! ⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠

∂t ⎣ ⎦

3

⎪

⎪ ∂E ⎧ ⎫

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

( ) ( )

2

ρ µ µ ρ

+ ⋅∇E = −∇ ⋅( + ∇ ⋅ ∇V + ∇V − ∇ ⋅V ⋅V + ⋅V + ∇ ⋅(k∇T +

⎪ T

⎨ ⎬

⎜ ⎟

V pV ) I f ) Q

⎢ ⎥

⎝ ⎠

∂t v

⎣ ⎦

⎪ ⎩ ⎭

3

⎩ (2.1)

Le tre equazioni rappresentano in ordine: la conservazione della massa, la conservazione

della quantità di moto e la conservazione dell’energia. Essendo le variabili incognite più

delle equazioni sono state introdotte delle ulteriori relazioni esplicite riportate qui sotto:

τ µ λ

= + ⋅V

! (2.2)

2 D (∇ )I

τ τ

Π = − +

! è la parte non-isotropa della matrice degli sforzi ! ; rappresenta gli sforzi

pI

viscosi ed è caratterizzata dalla proprietà di essere imputabile solo alla presenza del

τ

movimento del fluido. Infatti il tensore degli sforzi viscosi ! dipende soltanto dalla

distribuzione istantanea della velocità del fluido nell’intorno dell’elemento considerato.

Questa relazione rientra nella proprietà dei fluidi Newtoniani, cioè fluidi che soddisfano una

relazione lineare tra sforzi viscosi ed il gradiente di velocità.

2

µ λ

+ = λ µ

= −

! o ! (2.3)

(2 3 ) 0 3

Quest’altra relazione rappresenta l’ipotesi di Stokes che equivale ad assumere che la

pressione del fluido in movimento coincide con la pressione termodinamica. Questo nel

caso in cui si possa trascurare il contributo della viscosità di volume.

Considerando i flussi di calore si ha la legge di Fourier ultima delle relazioni esplicite da

allegare al sistema (2.1): = −k∇T

! (2.4)

q

k

dove ! è la conducibilità termica.

Quindi l’espressione (2.1) delle equazioni di Navier-Stokes permette di calcolare il campo

! ! ! ρ

= + + E

vettoriale ! e le due variabili scalari ! ed ! .

V ui v j wk

Le variabili rimanenti che definiscono lo stato termodinamico si ottengono dalle relazioni di

stato addizionali elencate sopra, specifiche per il fluido in esame. 10

2.3 Semplificazioni nel caso di convezione

Data l’elevata complessità del sistema di equazioni (2.1) si procede con la semplificazione

operando assunzioni sul comportamento del fluido, che però descrivano con buona

approssimazione il fenomeno della convezione atmosferica.

Si consideri quindi una porzione di fluido limitata sopra e sotto. Il limite superiore mantiene

la temperatura ! , mentre quello inferiore mantiene la temperatura ! con ! . La

>

T T T T

f c c f

ΔT = −

differenza di temperatura ! è dunque fissata, ma può essere modulata per ottenere

T T

c f

diversi comportamenti. Il sistema consiste nel fluido che viene scaldato dal bordo inferiore,

mentre viene raffreddato da quello superiore, esattamente come nel sistema studiato da

Rayleigh e Bénard. Useremo questa cella convettiva per simulare il comportamento

ΔT

qualitativo dell’atmosfera. Se ! rimane piccolo il fluido rimane fermo e l’energia termica

rilasciata dal bordo inferiore è trasmessa al bordo superiore solamente tramite conduzione

termica. La temperatura ! del fluido in regime conduttivo può essere descritta da:

T

cond z

( ) = − ΔT

! (2.5)

T x, z,t T

cond c h

dove ! è la quota misurata dal limite inferiore del sistema, ! è la coordinata orizzontale e !

z x h

è l’altezza complessiva del sistema. Assumendo ora che la maggioranza delle va