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Tesi di Laurea Triennale - Dinamiche Caotiche e moti caotici in meteorologia: Il Modello di Lorenz Appunti scolastici Premium

Tesi per Ingegneria I, Università Politecnico di Torino - Polito elaborata dall’autore nell’ambito del corso di Matematica applicata tenuto dal professore Delllitalia dal titolo Dinamiche Caotiche e moti caotici in meteorologia: Il Modello di Lorenz. Scarica il file in formato PDF!

Materia di Matematica Applicata relatore Prof. M. Dellitalia

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ESTRATTO DOCUMENTO

ρ

Sostituendo la (2.7) nell’espansione in serie di ! :

⎡ ⎤

z

( ) ( )

ρ ρ αρ ϕ

= − − ΔT

! (2.14)

T x, z,t

⎢ ⎥

conv 0 0 ⎣ ⎦

h

Nell’espansione sono mostrati solo i primi due termini perché si è ipotizzato che nella cella

si hanno solamente piccole variazioni di densità. Questa semplificazione è note come

Approssimazione di Boussinesq, ed è valida per sistemi nei quali la variazione di densità è

dovuta solamente a piccole variazioni di temperatura. Riportiamo in seguito tutte le ipotesi

introdotte dall’approssimazione di Oberbeck-Boussinesq:

La sola forza agente sul fluido è la forza di gravità.

• I moti convettivi sono di tipo isocoro.

• I gradienti di velocità sono abbastanza piccoli da ignorare l’effetto sulla temperatura

• della conversione del lavoro in calore.

Le variazioni di densità sono dovute a variazioni di temperatura, ma non di pressione.

• I coefficienti presenti sono delle costanti positive.

• Le accelerazioni nel fluido a causa delle variazioni di densità sono più piccole di quelle

• relative all’accelerazione di gravità.

Nelle equazioni di Navier-Stokes queste ipotesi permettono di ridurre ulteriormente la

( )

ρ ρ

=

variazione di densità, permettendoci di sostituire ! in tutti i termini eccetto che in

T

conv 0

quello contenente la forza di gravità, nel quale andrò ad inserire l’approssimazione lineare

( )

ρ

! .

T

conv β

Sostituisco poi la pressione ! del fluido con un gradiente di pressione effettivo ! che è

p

constante se il fluido è in regime conduttivo. In regime convettivo invece il gradiente di

pressione effettivo è dato da: ΔT

2

z

β ρ αρ

= + +

! (2.15)

p gz g

0 0 2 h β

Se usiamo due volte l’approssimazione di Oberbeck-Boussinesq in (2.8), sostituiamo ! e

ρ

dividiamo per ! otteniamo:

0 β

∂w ∂

⎧ 1 αϕ ν

+ ⋅∇w = − + + ∇ 2

V g w

⎪⎪ ρ

∂t ∂z

! (2.16)

0

⎨ β

∂u ∂

1

⎪ ν

+ ⋅∇u = − + ∇ 2

V u

ρ

⎪ ∂t ∂x

⎩ 0

µ

ν =

dove ! è la viscosità cinematica.

ρ 0 13

2.3.3 Adimensionalizzazione

Per facilitare la comprensione dei singoli effetti dei parametri sul sistema procedo ad

adimensionalizzare ciascuna variabile. Per prima cosa introduco un nuovo parametro

κ 2

h

=

temporale ! in cui ! rappresenta un valore tipico per la diffusione termica attraverso

t t κ

2

h x z

= =

′ ′

la distanza ! . Ottengo poi le coordinate adimensionali ! , ! . Definisco poi la

h x z

h h

ϕ κ κ

ϕ = = =

′ ′ ′

variabile adimensionale di temperatura ! ,le velocità adimensionali ! , !

u u w w

ΔT h h

∇ = ∇

e infine l’operatore laplaciano adimensionalizzato ! . Posso dunque riscrivere la

2 2 2

h

ν

(2.16) in forma adimensionale. dividendo per ! ottengo:

κ α

⎧ ∂w ∂ ΔTg

⎡ ⎤ 2

h p ϕ

+ ⋅∇w = − + + ∇

3 2

V h w

⎪ ⎢ ⎥

ν νκρ νκ

∂t ∂z

⎣ ⎦

⎪ 0

! (2.17)

κ ∂u ∂

⎡ ⎤ 2

h p

⎪ + ⋅∇u = − + ∇ 2

V u

⎢ ⎥

⎪ ν νκρ

∂t ∂x

⎣ ⎦

⎩ 0

In questa forma notiamo la presenza di due parametri significativi per la descrizione del

α 3

gh

= ΔT

fenomeno. Il primo è il numero di Rayleigh ! il cui valore è importante nel

Ra νκ

ΔT

determinare il ! al quale inizia la convezione. Il secondo parametro fondamentale è il

ν

σ =

numero di Prandtl ! , che correla la quantità di energia persa nello shearing (viscosità di

κ

taglio) durante il moto del fluido con l’energia persa per conduzione termica. Se ! il

σ > 1

fluido perde più energia meccanica nel moto che energia termica. Notiamo quindi che

σ

piccole variazioni di ! e ! possono portare un flusso stabile o periodico a diventare

Ra

turbolento o caotico.

Definisco ora la quantità adimensionale legata alla pressione del fluido:

β 2

h

Π =

! (2.18)

νρ κ

0

Riscrivendo la (2.17) introducendo questi parametri ottengo:

∂w ∂Π

⎧ ⎡ ⎤

1 ϕ

+ ⋅∇w = − + + ∇ 2

V Ra w

⎪⎪ ⎢ ⎥

σ ∂t ∂z

⎣ ⎦

! (2.19)

⎨ ∂u ∂Π

⎡ ⎤

1

⎪ + ⋅∇u = − + ∇ 2

V u

⎢ ⎥

⎪ σ ∂t ∂x

⎣ ⎦

Facendo le stesse sostituzioni nell’equazione di diffusione dell’energia termica (2.11):

ϕ

∂ ϕ ϕ

+ ⋅∇ − ω = ∇

! (2.20)

2

V

∂t 14

2.4 Le equazioni di Saltzman

Usiamo ora la (2.19) e la (2.20) per trovare una funzione di corrente che descriva il moto del

( )

=

fluido. Notiamo che il vettore che rappresenta la velocità del flusso ! può essere

V V x, z,t

( )

ψ

ricondotto ad una funzione di corrente ! che ha in se tutte le informazioni importanti

x, z,t ψ

relative al flusso. Il vettore ! è tangente alla linea di corrente e ! è definita in modo che il

V

suo gradiente è perpendicolare a ! :

V ( )

ψ

∂ x, z,t

= −

u ∂z

! (2.21)

( )

ψ

∂ x, z, y

=

w ∂x

Se espandiamo il secondo termine a sinistra della (2.20) otteniamo:

ψ ϕ ψ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂

ϕ

⋅∇ = − +

! (2.22)

V ∂z ∂x ∂x ∂z

Riscriviamo dunque la (2.20) inserendo la funzione di corrente:

ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ

− + − = ∇

! (2.23)

2

∂t ∂z ∂x ∂x ∂z ∂x

Inserendo la funzione di corrente nella (2.19) invece otteniamo:

⎧ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

⎡ ⎤

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Π ∂

2 2 2

1 − + − = − − ∇ 2

⎪ ⎢ ⎥

σ ∂t ∂z ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂x ∂x ∂z

⎪ ⎣ ⎦

! (2.24)

⎨ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

⎡ ⎤

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Π ∂

2 2 2

⎪ 1 ϕ

− + = − + − ∇ 2

Ra

⎢ ⎥

⎪ σ ∂t ∂x ∂z ∂x ∂x ∂z ∂x ∂x ∂x

2

⎣ ⎦

Per eliminare la derivata della pressione, prendiamo la derivata parziale rispetto a ! della

x

seconda equazione di (2.24) e la sottraiamo alla derivata parziale rispetto a ! della prima

z

equazione di (2.24):

⎡ ⎤

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2

( )

1 ψ ϕ ψ

∇ − − − − = + ∇

! (2.25)

2 4

⎢ ⎥ Ra

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

σ ∂t ∂z ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂x ∂x ∂x ∂z

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

⎣ ⎦

La (2.23) insieme alla (2.25) rappresentano le equazioni della convezione di Saltzman in

forma adimensionale e descrivono il moto e la temperatura di un fluido scaldato dal basso.

15

2.4.1 Le condizioni al bordo

ϕ

Le condizioni al bordo per ! sono gia state discusse precedentemente. Le condizioni al

ψ

bordo per ! si ottengono invece facendo in modo che le derivate parziali in (2.21)

soddisfino i requisiti del fenomeno di convezione. Ci aspettiamo che la componente

=

verticale della velocità ! sia zero sia al bordo superiore (! ) che al bordo inferiore

w z h

=

(! ). Analogamente la componente orizzontale ! dovrà annullarsi ai lati della cella

z 0 u

convettiva. 16

Capitolo 3

Caos deterministico

3.1 Introduzione

Caos deterministico è un termine apparentemente contraddittorio poiché normalmente a

deterministico si associa l’idea di fenomeni regolari, prevedibili e che si ripetono nel tempo.

La scoperta del caos deterministico spezza questa dicotomia mostrando come modelli

matematici deterministici, quindi privi di elementi aleatori nelle proprie equazioni, siano in

grado di generare andamenti estremamente complessi, imprevedibili e quasi indistinguibili

da sequenze di eventi generati attraverso processi aleatori.

3.2 Prevedibilità e incertezza: l’effetto farfalla

L’essenza della scienza è la prevedibilità. Le teorie scientifiche stanno in piedi in base alla

loro compatibilità con osservazioni dettagliate e quantitative. Questo è possibile poiché la

maggior parte delle leggi che governano la natura sono deterministiche, che significa che ci

permettono di determinare esattamente cosa accadrà sulla base della conoscenza dello stato

attuale. Tuttavia se la natura fosse completamente deterministica non ci sarebbe spazio per il

libero arbitrio. Il comportamento umano sarebbe predeterminato da riarrangiamenti delle

molecole che formano il nostro cervello. Ogni nuvola che si forma ogni fiore che cresce

sarebbe il risultato diretto ed inevitabile di processi messi in moto molto tempo fa e sui quali

non vi è possibilità di controllo. La perfetta prevedibilità è noiosa e poco interessante.

Questo è il dilemma filosofico che spesso separa le arti dalle scienze. Una possibile

soluzione è stata trovata nei primi decenni del 20 esimo secolo, quando sono state scoperte

le leggi della meccanica quantistica, che governano il comportamento degli atomi e dei loro

costituenti e che si sono rivelate di natura probabilistica. La meccanica quantistica è stata di

fondamentale importanza per descrivere la realtà microscopica, ma non è stata mai accettata

pienamente da alcuni scienziati, quali Albert Einstein. Alan Turing nella suo saggio più

famoso (Macchine calcolatrici ed intelligenza, 1950) scrisse: “Lo spostamento di un singolo

elettrone per un miliardesimo di centimetro, a un momento dato, potrebbe significare la

differenza tra due avvenimenti molto diversi, come l'uccisione di un uomo un anno dopo, a

causa di una valanga, o la sua salvezza.” anticipando di fatto un concetto che si sviluppò

solo venti anni dopo. Infatti negli anni 70 ci fu una rivoluzione intellettuale nel mondo della

17

scienza, paragonabile allo sviluppo della meccanica quantistica stessa. Si scoprì che

deterministico non equivale sempre a prevedibile. Un esempio ne è il meteo, governato dalle

leggi che muovono l’atmosfera. L’atmosfera segue delle leggi fisiche deterministiche,

tuttavia le previsioni a lungo termine non aumentano in accuratezza più dettagliatamente

osservo il fenomeno.Il motivo per questa imprevedibilità è dovuto al fatto che il meteo

presenta una forte dipendenza dalle condizioni iniziali. Una piccola modifica nelle

condizioni iniziali causa uno stravolgimento delle condizioni meteorologiche del giorno

dopo. La forte dipendenza dalle condizioni iniziali esibita dai sistemi dinamici non lineari è

anche nota come Effetto Farfalla. In altri termini, infinitesime variazioni nelle condizioni

iniziali producono variazioni grandi e crescenti nel comportamento successivo dei suddetti

sistemi. Il termine è stato introdotto dal matematico e meteorologo del MIT Edward N.

Lorenz nel titolo di un suo articolo del 1972: Predictability: does the flap of a butterfly’s

wings in Brazil set off a tornado in Texas? Il concetto dell’effetto farfalla non va

ovviamente inteso in senso letterale: l’energia cinetica di un tornado è enormemente

maggiore di quella generata dal battito delle ali della farfalla e deriva in ultima analisi

dall’energia solare. La fortuna del termine è anche legata alla rappresentazione

bidimensionale dell’attrattore di Lorenz, che presenta una forte somiglianza con le due ali di

una farfalla. Questa immagine rende molto efficace un concetto che ha sempre preso più

piede negli ultimi decenni: e cioè che, contrariamente a quanto gli scienziati davano quasi

per scontato, un impercettibile perturbazione dello stato di un sistema può avere

conseguenze catastrofiche, amplificandosi a dismisura e, soprattutto in modo assolutamente

imprevedibile. Il comportamento non prevedibile di sistemi deterministici è stato chiamato

Caos, termine introdotto per la prima volta da Tien-Yien Li e James A. Yorke in un articolo

del 1975 intitolato “Period Three Implies Chaos”.

3.3 Proprietà di un sistema dinamico

Prima di affrontare la dinamica non lineare analizziamo in generale le proprietà di un

sistema dinamico generico. Un qualsiasi sistema dinamico si compone di due parti: le

variabili caratteristiche del suo stato, cioè le informazioni essenziali sul sistema, e la

dinamica, una legge che descrive l’evoluzione dello stato nel tempo. Nei sistemi

deterministici si ha una legge d’evoluzione che, una volta dato lo stato iniziale del sistema,

specifica lo stato ad ogni istante di tempo successivo. Matematicamente lo stato di un

n

sistema è specificato da ! variabili: ! , chiamate gradi di libertà del sistema, che

x , x ,..., x

1 2 n

x , x ,..., x

evolvono nel tempo. Le variabili ! possono essere pensate come le componenti di

1 2 n ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

n

un vettore a ! dimensioni; quindi possiamo dire che il vettore: ! x t x t , x t ,..., x t

1 2 n

=

specifica lo stato del sistema al tempo ! . Se ! allora lo stato del sistema può essere

t n 1 =

messo in corrispondenza con un punto su una retta, per ! un punto su un piano e per

n 2 ( )

=

! un punto nello spazio tridimensionale. In generale lo stato ! sarà un punto in

n 3 x t

movimento in uno spazio n-dimensionale chiamato spazio delle fasi di cui si parlerà in

seguito. Le più comuni leggi di evoluzioni deterministiche sono le mappe e le equazioni

differenziali. 18

Solitamente l’evoluzione temporale è data da un sistema di equazioni differenziali ordinarie

del tipo: dx ( )

=

i

! (3.1)

f x , x ,..., x

i 1 2 n

dt

Il fatto che tutte le equazioni siano assunte del primo ordine non è una restrizione in quanto

qualsiasi sistema differenziale può essere messo in questa forma introducendo variabili

ausiliarie. Inoltre si considerano per semplicità i sistemi autonomi, cioè dove il tempo ! non

t

compare nel membro di destra. Anche i sistemi autonomi si possono trasformare in sistemi

non autonomi introducendo variabili ausiliarie. L’evoluzione temporale del sistema

descriverà una curva nello spazio n-dimensionale di coordinate ! chiamata

x , x ,..., x

1 2 n

traiettoria od orbita. ( )

Un integrale del nostro sistema di equazioni differenziali è una funzione ! il cui

I x , x ,..., x

1 2 n

valore è costante su una qualunque traiettoria data. In altre parole esso soddisfa

identicamente l’equazione: ∂I ∂I

+ =

! (3.2)

f ...+ f 0

∂x ∂x

1 n

1 n

In generale, dato un sistema di equazioni differenziali ordinarie del tipo (3.1) che descrive

un qualsiasi sistema dinamico, abbiamo due possibilità:

1. La soluzione generale può essere scritta esplicitamente. Essa è del tipo ! F(c ,...,c ,t)

1 n

con ! le costanti di integrazione.

c ,...,c

1 n

2. Nessuna soluzione esplicita è nota.

Nel secondo caso, o possiamo richiedere la soluzione per un intervallo finito di tempo, dello

stesso ordine della scala del tempo naturale del fenomeno, oppure si è interessati alla

soluzione per tempi lunghi sempre rapportati ai tempi del sistema . Essenzialmente si vuole

conoscere il comportamento asintotico delle soluzioni per ! che tende all’infinito.

t

Per quanto riguarda le traiettorie possiamo avere:

1. Traiettorie non ricorrenti: non tornano indietro a regioni dello spazio delle fasi che

sono già state occupate.

2. Traiettorie ricorrenti: più interessanti, ritornano continuamente ad occupare posizioni

dello spazio delle fasi precedentemente occupate. All’interno delle traiettorie ricorrenti

possiamo distinguere i moti regolari e quelli irregolari, cioè se sono periodici o meno.

Un moto è periodico se dopo un certo intervallo di tempo T chiamato periodo le

variabili caratteristiche del sistema tornano ad assumere gli stessi identici valori; lo

distinguiamo dal moto quasi periodico dal fatto che i valori delle variabili che

identificano il sistema dopo un intervallo di tempo T riprendo valori di poco differenti.

19

3.3.1 Lo spazio delle fasi n

La configurazione istantanea di un sistema viene descritta mediante i valori delle !

coordinate generalizzate ! e corrisponde ad uno punto ben preciso di uno spazio in

q ,q ,...,q

1 2 n n

q

qui le ! rappresentano gli ! assi coordinati. Questo spazio a ! dimensioni è di

n

conseguenza chiamato spazio delle configurazioni o spazio delle fasi. Al passare del tempo,

lo stato del sistema cambia e il punto che rappresenta la configurazione del sistema si

muove nello spazio delle fasi descrivendo una curva detta ‘traiettoria rappresentativa del

moto del sistema’ o, più brevemente, traiettoria del moto. Il tempo può essere considerato

come un parametro della curva: a ciascun punto della traiettoria sono associati uno o più

valori del tempo. Va sottolineato che, come lo spazio delle fasi non ha necessariamente

alcuna relazione con lo spazio fisico, così la traiettoria nello spazio delle fasi non

assomiglierà necessariamente alla traiettoria nello spazio reale.

3.3.2 Stabilità dei sistemi dinamici

Per sistemi autonomi, cioè senza dipendenza esplicita dal tempo, del tipo

du ( ) =

! , dove ! ,un punto ! si dice di equilibrio se è tale che

= u x , x ,..., x u

f u 1 2 n e

dt

( ) ( )

( ) = ∀t >

= =

! , infatti se ! allora ! .

u t u t

f u 0 u t u e 0

e 0 e

Lo studio degli equilibri di un sistema dinamico è di estremo interesse applicativo. I punti di

equilibrio si distinguono in:

STABILI: se applicando una perturbazione sufficientemente piccola il sistema torna nello

• stesso punto di equilibrio.

INSTABILI: se non esiste una perturbazione sufficientemente piccola tale da garantire

• che il sistema torni nello stesso punto di equilibrio.

Gli equilibri oltre a variare con gli ingressi possono anche trasformarsi, possono cambiare

numero ed eventualmente tipologia. Quando una piccola variazione dei valori dei parametri

causa un cambiamento del numero di punti di equilibrio o della loro natura si parla di

biforcazioni. Questi aspetti sono studiati dalla teoria delle biforcazioni. L’equilibrio non è

necessariamente un punto. In linea generale si parla di attrattori. Un attrattore rappresenta

l’insieme verso il quale evolve un sistema dinamico dopo un tempo sufficientemente lungo

e in cui le traiettorie (periodiche, caotiche o di qualunque tipo) rimangono vicine ad esso

anche se leggermente perturbate. Un attrattore può essere un punto, una curva o un insieme

più complicato dotato di proprietà frattali. Un attrattore con proprietà frattali è chiamato

strano attrattore. Un altro equilibrio comune è rappresentato dai cicli limite. Il ciclo limite è

una traiettoria periodica che presenta le proprietà di stabilità o instabilità classiche degli

equilibri; un esempio è la modellizzazione del battito cardiaco.

Il criterio di stabilità lineare, applicato nello studio della stabilità di sistemi dinamici,

du ( )

consiste nel prendere il sistema non lineare ! e linearizzarlo espandendolo in serie di

= f u

dt

Taylor intorno al punto di equilibrio. Grazie al teorema di stabilità lineare appena enunciato

potrò estendere l’informazione sulla natura del punto di equilibrio dal sistema lineare, di cui

conosco la soluzione, a quello non lineare. 20

Nei casi in cui non vale il teorema di stabilità (autovalori nulli o con parte reale nulla), non è

possibile estendere i risultati dal sistema lineare a quello non lineare. Si cerca dunque di

studiare la stabilità non lineare cercando funzionali di Lyapunov. In 2 dimensioni, ! è

V

funzione di Lyapunov se:

( )

! =

V x, y 0

• Eq. { }

( ) ( )

( ) ( )

> ∈I ¬

ha un minimo locale in ! , cioè ! è una funzione non

u V x, y 0∀ x, y u u

• e e e

( ) ∂V ∂V

dV x, y dx dy

crescente lungo le soluzioni, cioè ! = + ≤ 0

∂x ∂y

dt dt dt

In genere i funzionali sono funzioni: Energia, Distanza, Integrali primi del moto.

3.4 Dinamica non lineare

Si parla di dinamica non lineare ogni volta che si studia un sistema di equazioni

differenziali descriventi l’evoluzione di un qualche insieme di funzioni le cui incognite sono

accoppiate tra loro in modo non lineare (cioè compaiono come argomenti di funzioni non

lineari oppure sono moltiplicate tra loro). Nella quasi totalità dei casi, il comportamento di

sistemi dinamici di questo genere è completamente diverso da quello dei sistemi lineari. In

particolare tali dinamiche sono caratterizzate generalmente dal fenomeno citato prima, di

forte dipendenza dalle condizioni iniziali. In questi casi i sistemi dinamici hanno

comportamento caotico oppure presentano degli attrattori, cioè regioni dello spazio delle

fasi in cui le traiettorie si adagiano asintoticamente, ma il comportamento del sistema

rimane complicato. Fisicamente questi sistemi sono quasi sempre associati a sistemi

descrivibili complessivamente con pochi parametri, ma che presentano sottostrutture molto

complesse, caratterizzate da moltissimi gradi di libertà come ad esempio la dinamica

atmosferica.

3.4.1 Individuare un moto caotico

Esistono due metodi per caratterizzare un moto caotico

Poiché il moto regolare implica la periodicità o la quasi-periodicità la trasformata di

I. Fourier di una delle coordinate darà uno spettro discreto (uno o più picchi a seconda

che il moto sia periodico o quasi periodico con eventuale presenza di armoniche).

Evidentemente per il moto caotico vale il contrario, avremo quindi non uno spettro

discreto, ma continuo.

Questo secondo metodo utilizza la nuova proprietà emersa dagli studi di E. Lorenz: la

II. sensibilità alle condizioni iniziali. Nei sistemi con moto regolare le traiettorie con

condizioni iniziali vicini si separano linearmente nel tempo, mentre in sistemi con moto

irregolare si separano esponenzialmente. Quindi un modo per stabilire se stiamo

trattando un sistema con moto regolare o irregolare è quello di considerare due sistemi

con condizioni iniziali vicine a piacere nello spazio delle fasi e di riportare su di un

grafico la distanza fra le traiettorie in funzione del tempo. 21

( )

Se si conoscesse esattamente (con precisione infinita) la condizione iniziale ! ,

x 0

( ) >

allora teoricamente, si saprebbe determinare ! ad ogni istante di tempo ! .

x t t 0

Tuttavia il fatto che due traiettorie

vicine si allontanino esponenzialmente rende praticamente impossibile il tentativo di

>

predire lo stato del sistema dopo un tempo ! , poiché anche un piccolo errore nella

t 0

misurazione del dato iniziale, dopo il suddetto lasso temporale, sarà diventato enorme.

( ) ( ) ( )

( )

Indicando dunque con ! e ! le due traiettorie generate da ! e ! in un sistema

*

*

x t x 0 x 0

x t

caotico, si ha: ( ) ( ) ( ) λ

δ ε

= − ∼

* t

! (3.3)

x t x t x t e

ε ( ) ( ) λ

dove ! è data da ! , ! dipende dal sistema ed è determinata dalla pendenza del

− *

x 0 x 0

( )

δ

grafico di ! in funzione del tempo. L’espressione scritta sopra fa capire come anche

ln x t

un piccola incertezza sulla condizione iniziale si amplifica molto velocemente. Si noti infatti

2, 3

che in un tempo ! l’incertezza sullo stato del sistema cresce di un fattore 10, in un tempo

∼ λ

4,5

! di un fattore 100 e in un tempo ! di un fattore 10000. Se decidiamo di voler

9,2

∼ ∼

λ λ

δ

predire il sistema con una tolleranza ! sulla precisione della predizione, allora è possibile

*

calcolare il tempo ! oltre il quale la previsione è troppo imprecisa.

t

Sempre dall’equazione (4.3) si ottiene: λ

ε δ

t

! (3.4)

e

*

Risolvendo rispetto a ! otteniamo:

t δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1

*

! (3.5)

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

t ln

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

λ ε *

t

Quest’ultima espressione permette di capire come ! possa in linea teorica, essere fatto

ε *

crescere a piacere diminuendo ! . In pratica però, non si riesce ad arrivare ad un valori di ! t

δ

1 *

molto grande rispetto a ! . La dipendenza di ! dal rapporto ! è talmente debole che il

t

λ ε

λ λ

termine a più influenza rimane ! . Il parametro ! dunque in un certo senso caratterizza

quantitativamente l’idea di caoticità di un sistema dinamico e gli è stato dato il nome di

Esponente di Lyapunov , definito matematicamente da:

( )

δ x t

1

λ =

! (3.6)

lim ε

t

t→∞ 22

Esso è una misura della velocità con cui divergono due traiettorie inizialmente vicine nello

spazio delle fasi. Tale esponente può essere ricavato dalla pendenza del grafico del

logaritmo della distanza tra due traiettorie in funzione del tempo.

λ <

Se ! la soluzione tende verso un punto stabile oppure verso un orbita periodica

• 0

stabile. Esponenti di Lyapunov negativi sono tipici di sistemi dissipativi o non

conservativi, (esempio: Oscillatore smorzato) che risultano essere asintoticamente stabili.

Più sono negativi, maggiore è la stabilità.

λ =

Se ! il punto di equilibrio è di tipo centro. Il sistema è in stato stazionario e

• 0

conservativo.

λ >

Se ! l’orbita del sistema è instabile e caotica. Non importa quanto vicini siano due

• 0

punti essi divergeranno di una quantità arbitraria. 23

Capitolo 4

Il modello di Lorenz

4.1 Introduzione

“In a chaotic system, the trajectory moves around on the attractor as time goes on, but two

nearby points separate exponentially so that eventually they are very far apart. Although

their future is determined uniquely and precisely by the governing equations, very small

differences in the starting point can make large differences in the future conditions.

Although tomorrow’s weather depends on the conditions today, and the weather the day

after tomorrow depends on the conditions tomorrow, small errors in measuring the current

weather eventually grow until all hope of predictability is lost.”

All’inizio degli anni 60’, Edward N. Lorenz, un meteorologo del Massachusetts Institute of

Technology stava sviluppando modelli di convezione atmosferica risolvibili dai primi

computer comparsi in quel periodo, capaci di svolgere solamente un’iterazione per secondo.

Durante una delle sue simulazioni per una svista inserì nei dati iniziali dei valori numerici

approssimati solamente a 3 cifre significative al posto di 6. Per un primo periodo le

soluzioni seguirono lo stesso andamento, ma dopo un po’ iniziarono a prendere percorsi

completamente diversi, senza più avere apparentemente nessuna relazione tra loro. Fu in

quel momento che Lorenz scoprì la forte dipendenza dalle condizioni iniziali, una delle

caratteristiche più salienti della teoria del caos, sviluppatasi poco dopo. A quel punto Lorenz

iniziò a semplificare il suo sistema il più possibile in modo da determinare le condizioni

minime per cui si presentava questo bizzarro comportamento. Il risultato che ottenne è il

celebre sistema di Lorenz, che rappresenta il primo esempio di attrattore strano generato da

un sistema di equazioni differenziali. Lorenz pubblicò i suoi risultati nel 1963 sul Journal of

the Atmospheric Sciences con il titolo “Deterministic Nonperiodic Flow”, ma furono presi

in considerazione solo all inizio degli anni settanta. 24

4.2 Il modello

Una tecnica comune per trovare soluzioni di un equazione differenziale è quella di trovare

in prima analisi una soluzione che sia il prodotto di tre componenti, una per ogni variabile;

nel nostro caso ! . Consideriamo dunque una soluzione della forma:

x, z,t ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ω

ψ λ λ λ λ

⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦

= + +

! (4.1)

t

x, z,t e A cos z B sin z C cos x D sin x

m ,n m m m m n m n n

m,n

che rappresenta una somma infinita di seni e coseni. In modo da rendere la soluzione

generale più semplice, la sommatoria può essere troncata usando un processo chiamato

ψ ϕ

Procedura di Galerkin. Potremmo pensare che nell'approssimare le funzioni ! e ! si perda

gran parte della natura non lineare del sistema. Fortunatamente Saltzman dimostrò

numericamente che questo troncamento preserva la maggior parte del comportamento non

lineare. Procediamo ad espandere in serie di Fourier anche la funzione deviazione di

ϕ

temperatura ! . Troncheremo poi, al primo termine l'espansione della funzione di corrente,

al secondo l'espansione della funzione deviazione di temperatura. La somme risultanti delle

equazioni troncate, rispettivamente per la funzione di corrente e per la deviazione di

temperatura sono: ( )

ψ π

= Ψ(t)sin(

! (4.2)

x, z,t z)sin(ax)

( )

ϕ π π

= −

! (4.3)

x, z,t T (t)sin( z)cos(ax) T (t)sin(2 z)

1 2

[ ]

= ∈

In cui si considera ! , così che ! .

h 1 z 0,1

Il parametro ! è scelto in modo che il numero di Rayleigh sia minimo quando inizia la

a ( ) ( )

ψ ϕ Ψ(t),T

convezione. La dipendenza temporale di ! e ! è rappresentata da ! e

x, z,t x, z,t (t)

1

! . ! rappresenta la differenza di temperatura tra correnti salenti e correnti discendenti

T (t) T

2 1

nella cella convettiva. ! rappresenta la deviazione dalla variazione lineare di temperatura

T

2

nel centro della cella.

Per ottenere la forma finale delle equazioni di Lorenz sostituiamo le espressioni (4.2.) e

(4.3) nelle due equazioni differenziali di Saltzman ottenute nel Capitolo 2. Prima di

( ) ( ) 2

ψ π ψ ψ π ψ

∇ = − + ∇ = +

procedere con la sostituzione considero le relazioni ! e ! .

2 2 2 4 2 2

a a

Sostituendo (4.2) e (4.3) nella (2.25) otteniamo la seguente ODE:

( ) ( )

dΨ(t) 2

π π σ π π σ π π

− + = + + Ψ(t)sin(

! (4.4)

2 2 2 2

a sin( z)sin(ax) RaT (t)sin( z)sin( x) a z)sin(ax)

1

dt π

Uguagliando i coefficienti dei termini ! otteniamo:

sin( x)sin(ax)

σ ( )

dΨ(t) Ra σ π

= − + Ψ(t)

! (4.5)

2 2

T (t) a

π + 1

2 2

dt a 25

Inserendo (4.2) e (4.3) nella (2.23) invece:

( )

dT dT 2

π π π π

− + + −

2 2

1 2

sin( z)cos(ax) sin(2 z) a T sin( z)cos(ax)

1

dt dt [ ]

[ ]

π π π π π π π

− Ψasin( = − Ψ +

! (4.6)

4 T sin(2 z) z)cos(ax) cos( z)sin(ax) T cos( z)co(ax)

2 1

[ ]

[ ]

π π π

Ψ sin( z)cos(ax) 2 T cos( z)cos(ax)

2 π

Se eguaglio i coefficienti dei termini con ! ottengo:

sin( x)cos(ax)

( )

dT (t) π π

= − + −

! (4.7)

2 2

1 aΨ(t) a T (t) aΨ(t)T (t)

1 2

dt π

I termini restanti di (4.6) prima di essere eguagliati sono moltiplicati per ! ottenendo:

sin(2 z)

π

dT (t) a π

= Ψ(t)T −

! (4.8)

2

2 (t) 4 T (t)

1 2

dt 2

Le equazioni (4.5), (4.7) e (4.8) rappresentano un sistema di 3 equazioni differenziali

ϕ

ordinarie non lineari e mettono in relazione le parti dipendenti dal tempo di! con il

(t)

gradiente di temperatura di ! e ! .

T (t) T (t)

1 2 ( )

π

= +

Introduco ora una nuova variabile temporale ! ed il numero di Rayleigh ridotto

2 2

t a t

2

a

= ≤

! , definito in modo che se ! il fluido è in uno stato convettivo o stabile,

r Ra r 1

( ) 3

π +

2 2

a >

mentre se ! il fluido inizia il moto convettivo. Ciò equivale a dire che la condizione

r 1

necessaria per la convezione è: ( ) 3

π +

2 2

a

! (4.9)

Ra 2

a π

=

Il parametro ! è legato alla larghezza della cella convettiva. Scegliamo ! in modo che

a a 2

! sia il più piccolo possibile pur continuando a soddisfare la (4.9). Fisicamente ciò vuol

Ra

dire che per una cella alta 1, la convezione inizia ad apparire se la larghezza orizzontale

della cella è scelta ! . Ogni valore inferiore impedirebbe la formazione di celle

2

convettive, mentre ogni valore superiore complicherebbe inutilmente il modello. Questa

π 4

27 8

= =

scelta di ! implica un ! (valore per cui inizia la convezione) e il parametro ! .

a Ra b

4 3

Ψ,T

Rinominando ! con la nuova variabile temporale ottengo:

,T

1 2 π

a ϕ

=

X(t) (t)

( )

π +

2 2

a 2

π

r

=

! (4.10)

Y (t) T (t)

1

2

π

=

Z(t) r T (t)

2 26

Sostituendo ! in (4.5), (4.7), (4.8) otteniamo il Sistema di Lorenz:

X,Y , Z ! σ σ

= − +

! (4.11)

X X Y

! = − + −

! (4.12)

Y XZ rX Y

! = −

! (4.13)

Z XY bZ

dove i termini a sinistra rappresentano le derivate rispetto al tempo adimensionale

( ) 4

Ra

σ κ ν

τ π κ −1

−2 =

= =

2 2 =

! mentre ! è il numero di Prandtl, ! e ! .

h 1+ a t b ( )

r 2

Ra 1+ a

cr

Eccetto che per costanti moltiplicative le nostre variabili sono le stesse di quelle usate da

Saltzman. X è proporzionale all’intensità del moto convettivo, Y alla differenza di

temperatura tra corrente ascendente e discendente e Z alla deviazione della temperatura

verticale dal profilo lineare.

4.3 Analisi del modello

Ponendo i secondi termini del modello di Lorenz uguali a zero e risolvendo il sistema

otteniamo 3 punti di equilibrio. Il primo, X=Y=Z=0 (5.9), rappresenta la soluzione

stazionaria che indica lo stato di assenza di convezione. Studiamo ora la stabilità lineare di

questo punto. Lo Jacobiano nell’origine è : ⎛ ⎞

σ σ

− 0

⎜ ⎟

( ) = −1

! (4.10)

J 0,0,0 r 0

⎜ ⎟

⎜ ⎟

−b

0 0

⎝ ⎠

l’equazione caratteristica dunque sarà:

( ) ( ) ( )

! (4.11)

λ λ σ λ σ

⎡⎣ ⎤⎦

+ + + + =

2

b 1 1− r 0

E gli autovalori saranno: ( ) ( )

σ σ σ

2

− + − − +

( ) ( ) 1 1 4r

σ σ σ

2

− + + − + λ = −b

1 1 4r λ =

! , ! e !

λ = 3

2

1 2

2

< <

Se ! :

• 0 r 1 ( )

λ λ λ σ σ σ

2

− + ≤ +

! reali < 0 poiché ! . Le orbite convergono in un unico punto

, , 1 4r 1

1 2 3

di equilibrio: l’origine (0,0,0) che rappresenta lo stato di assenza di convezione ed è

quindi un punto di equilibrio asintoticamente stabile (Nodo stabile).

( ) =

λ λ σ λ

= = = − + = −b

Se ! : ! . Notiamo che per ! abbiamo l’instaurarsi di

r 1

r 1 0, 1 ,

• 1 2 3

=

convezione poiché ! , quindi abbiamo una biforcazione pitchfork supercritica.

Ra Ra

cr 27

>

r

Se ! :

1

• ( )

σ σ σ

2

− + > +

λ

λ λ

! radici reali < 0 e ! radice reale > 0 poiché ! . In questo caso

1 4r 1

2, 3 1

quindi l’origine è un punto di equilibrio instabile (Sella o Colle instabile).

>

r

Quando ! ottengo gli altri due punti di equilibrio che rappresentano la convezione

1

stazionaria: ( )

= = ± −

! (4.12)

X Y b r 1

= −

! (4.13)

Z r 1

Lo Jacobiano sarà: ⎛ ⎞

σ σ

− 0

⎜ ⎟

( )

( ) ( )

! (4.14)

± − ± − − = −1

⎜ ⎟

J b r 1 , b r 1 ,r 1 r 0

⎜ ⎟

( ) ( )

± − ± − −b

b r 1 b r 1

⎝ ⎠

Per ognuna di queste soluzioni l’equazione caratteristiche è:

( ) ( ) ( )

λ σ λ σ λ σ

+ + + + + + −

! (4.15)

3 2

b 1 r b 2 b r 1

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) − − − −

Poiché gli autovalori di ! e ! coincidono.

− − − J b r 1 ,− b r 1 ,r 1

J b r 1 , b r 1 ,r 1

< <

Se ! :

1 r 24, 74

• λ λ

λ

! è una radice reale < 0 , ! sono radici complesse coniugate con parte reale < 0.

,

2 3

1

Equilibrio stabile (Fuoco Stabile).

=

Se ! :

• r 24, 74

le parti reali di ! diventano > 0. I due punti di equilibrio perdono la stabilità (Fuoco

λ λ

2, 3 r

instabile) e non si osserva nessuno ciclo limite stabile per valori maggiori di ! . I due

punti di equilibrio subiscono una biforcazione di Hopf subcritica.

< <

Se ! :

• 24, 74 r 30,1

Regime caotico.

>

Se ! :

• r 30,1

Regime caotico alternato con finestre di periodicità. 28

In seguito è riportata una tabella degli autovalori al crescere di ! :

r

λ λ λ

r 1 2 3

i i

5 -11.809 -0.92872+ 4.1476 -0.92872- 4.1476

i i

20 -13.357 -0.15479+ 8.7087 -0.15479- 8.7087

−6 −6

⋅10 ⋅10

i i

24.7368 -13.667 -1.2725 + 9.6245 -1.2725 - 9.6245

i i

−5 −5

⋅10 ⋅10

24.74 -13.667 9.5435 + 9.6251 9.5435 - 9.6251

i i

28 -13.855 0.093956+ 10.195 0.093956- 10.195

Fig. 4.1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −1

σ σ σ σ σ σ

+ + + = − = + + − −

Se ! oppure ! , allora le due radici

b 1 r b 2 b r 1 r b 3 b 1

complesse coniugate sono puramente immaginarie. Notiamo che

( ) ( ) −1

σ σ σ

= + + − −

! (4.16)

r b 3 b 1

rappresenta il valore critico di ! per l’instabilità della convezione stazionaria.

r 470

Poiché il ! per avere convezione stazionaria instabile si ottiene per ! ,

= =

Ra r 24, 74

cr 19

8

= = σ =

Lorenz per il suo modello scelse il valore supercritico ! , mentre ! e ! .

r 28 b 10

3

Riassumendo lo studio delle stabilità lineare possiamo riportare il diagramma di

biforcazione: Fig. 4.2 29

4.4 Simulazione numerica

In questa sezione verrà considerato un semplice programma in MATLAB descrivente il

σ

modello di Lorenz e verrà studiato l’andamento del sistema al variare di ! con ! e ! fissati,

r b

poiché ! è il parametro di controllo principale, al variare del quale cambia il regime di

r

moto del fluido. Il programma è il seguente:

%Definiamo la funzione lorenz_function.

function dy = lorenz_function(t,y)

dy = zeros(3,1);

P = 10;

r = 28; %valore che si andrà a cambiare per ogni simulazione

b = 8/3;

dy(1) = P*(y(2) - y(1));

dy(2) = -y(1)*y(3) + r*y(1) - y(2);

dy(3) = y(1)*y(2) - b*y(3);

end

%Risolviamo ora il sistema di equazioni differenziali usando ‘ode45’, che

usa il metodo di integrazione numerica di Runge-Kutta del quarto e quinto

ordine.

[t,y] = ode45('lorenz_function',[0 100], [1 1 1]);

%Tracciamo su tre grafici differenti le varie proiezioni dell’attrattore

subplot(221)

plot(y(:,1),y(:,2),'-');

xlabel('x(t');

ylabel('y(t)');

title('Attrattore di Lorenz nel piano X-Y');

subplot(222)

plot(y(:,1),y(:,3),'-');

xlabel('x(t)');

ylabel('z(t)');

title('Attrattore di Lorenz nel piano X-Z');

subplot(223)

plot(y(:,2),y(:,3),'-');

xlabel('y(t)');

ylabel('z(t)');

title('Attrattore di Lorenz nel piano Y-Z');

subplot(224)

plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3),'-')%'plot3' è il comando per disegnare il

grafico 3D.

xlabel('x(t)');

ylabel('y(t)');

zlabel('z(t)');

title('Attrattore di Lorenz in 3D’);

%Tracciamo ora su grafici separati le traiettorie di X,Y e Z

figure

plot(t,y(:,1),'-');

xlabel('t');

ylabel(‘x(t)');

title('Traiettoria dell intensità del moto convettivo'); 30

figure

plot(t,y(:,2),'-');

xlabel('t');

ylabel('y(t)');

title('Traiettoria della differenza di temperatura tra corrente ascendente

e discendente');

figure

plot(t,y(:,3),'-');

xlabel('t');

ylabel('z(t)');

title('Traiettoria della deviazione della temperatura dal profilo

lineare');

≤ <

Caso 1: ! 0 r 1

L’origine (0,0,0) è un punto di equilibrio stabile ed è anche un attrattore globale

Per brevità riportiamo solo la traiettoria della variabile ! , che è anche la più

X

rappresentativa. Fig. 4.3

=

Per ! si verifica la prima biforcazione del sistema. Le traiettorie, per tempi

r 1

sufficientemente lunghi, generate a partire da condizioni iniziali opposte in segno, si

allontanano definitivamente dalla precedente soluzione di equilibrio stabile (0,0,0) e si

r

distanziano fra loro al variare di ! . Dunque l’aumento del parametro ! comporta la perdita

r

di stabilità della soluzione di equilibrio (0,0,0) e la generazione di due nuove soluzioni di

equilibrio stabili e simmetriche nel diagramma di biforcazione. Risulta chiaro che la

biforcazione è di tipo pitchfork. 30


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Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2016-2017

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher fabio.baiocco di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Applicata e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Torino - Polito o del prof Dellitalia Marcello.

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