Permeabilità dei terreni porosi (pdf)

LEGGE DI DARCY

FORMULAZIONE

LEGGE DI DARCY

FORMULAZIONE 3

23/05/2017

LEGGE DI DARCY

FORMULAZIONE

POROSITÀ EFFICACE

FOCUS

Si dice porosità efficace (m ) il rapporto tra volume di vuoti che

e

vengono occupati dall’acqua di gravità ed il volume totale della

roccia.

DA NON CONFONDERE con la porosità vera e propria (m), che è il

rapporto tra volume totale dei vuoti e il volume totale della roccia. 4

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LEGGE DI DARCY

CONDIZIONI DI VALIDITÀ

La legge di Darcy è valida per un mezzo omogeneo e isotropo, tale cioè da

presentare le stesse caratteristiche di porosità e di permeabilità in ogni punto e in ogni

direzione. Questa condizione può essere realizzata solo artificialmente, per esempio

utilizzando una sabbia granulometricamente uniforme.

I terreni sedimentari naturali, dotati di porosità interstiziale, non sono dunque

omogenei e isotropi: i pori sono di varie dimensioni e varie forme. Ma da un punto di

vista «globale» (volumi sufficientemente grandi e senza variazioni di facies), l’insieme

viene ad avere una certe omogeneità.

Per quanto riguarda l’isotropia, i sedimenti naturali presentano di solito una

stratificazione e quindi una continuità orizzontale (quella originaria di sedimentazione)

tale da avere una certa continuità delle caratteristiche granulometriche che

determinano la permeabilità. La stratificazione comporta invece notevoli variazioni

granulometriche in senso verticale: le variazioni si registrano spesso in pochi metri, se

non pochi centimetri. LEGGE DI DARCY

CONDIZIONI DI VALIDITÀ

Ma dato che il movimento dell’acqua di sottosuolo avviene di solito con una

componente orizzontale nettamente prevalente su quella verticale, spesso il

flusso dell’acqua avviene in condizioni che approssimano più o meno quelle

teoriche. Di fatto, le esperienze realizzate hanno dimostrato che la legge di

Darcy si applica con buona approssimazione ai mezzi a porosità interstiziale di

determinata granulometria «media», purché si considerino volumi di roccia

sufficientemente grandi.

Per mezzi a porosità non interstiziale (fratture o discontinuità secondarie), non

sci si trova in condizioni di omogeneità e isotropia, dunque la legge di Darcy

trova scarsa applicazione. 5

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CONDIZIONI DI VALIDITÀ

Ovviamente, un’altra condizione di validità è che il mezzo

sia saturo: in un mezzo non saturo l’acqua non può

attraversare tutti i pori, in quanto ostacolato dall’aria. Le

prove sperimentali però dimostrano che si può ancora

applicare la legge di Darcy, ma con un coefficiente di

permeabilità «non satura» minore (è importante

soprattutto nella filtrazione dell’acqua di pioggia nelle

falde idriche).

Il diagramma mette in relazione il rapporto kn/k

(coefficiente di permeabilità in condizione non sature

fratto quello in condizioni sature) e il grado di saturazione.

Si nota che una permeabilità pari alla metà di quella

satura richiede un grado di saturazione di circa 85%.

LEGGE DI DARCY

CONDIZIONI DI VALIDITÀ

Un ultima condizione di validità della legge di

Darcy è che l’acquq si muova con un regime

laminare. Questo tipo di flusso è caratterizzato

da «filetti» liquidi che scorrono paralleli senza

mescolarsi. Esso differisce dal regime

turbolento, nel quale i filetti disegnano dei

«vortici» e si mescolano l’uno con l’altro. La

distinzione fra i due tipi di flusso si deve a

Reynolds. Una vasca con acqua limpida è

riempita fino ad un livello costante: un tubo di

piccolo diametro consente di immettere in

quest’acqua un liquido colorato, che viene

quindi a scorrere insieme a quello limpido con

una velocità regolabile tramite un rubinetto. 6

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LEGGE DI DARCY

CONDIZIONI DI VALIDITÀ

Finchè la velocità dell’acqua è

bassa, il filetto colorato resta

rettilineo e continuo, distinto dai

filetti limpidi che lo circondano. In

questa condizione è valida la legge

di Poiseuille (velocità di flusso

proporzionale al gradiente

idraulico).

Aumentando la velocità di flusso, si

nota che, a partire da un certo

valore (detta velocità critica

superiore) il filetto colorato si

attorciglia e si disperde, mentre si

creano dei vortici: è il flusso

turbolento.

LEGGE DI DARCY

CONDIZIONI DI VALIDITÀ 7

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LEGGE DI DARCY

CONDIZIONI DI VALIDITÀ

Passando ora al flusso attraverso un mezzo poroso e considerando che la legge di

Darcy ci dice che la velocità è proporzionale al gradiente idraulico, è logico pensare

che Darcy sia valida per un flusso laminare e che (per analogia) si possa trovare un N

R

in corrispondenza del valore oltre il quale la relazione lineare fra v e i non è più valida.

Basta considerare v come la velocità apparente (definita da Darcy), D come

diametro medio dei pori (che determina il diametro medio dei «tubi porosi»), μ = 1

centipoise e ρ = 1 g/cmc (validi per l’acqua naturale).

Gli esperimenti fatti con granuli delle stesse dimensioni e con flusso dell’acqua con

velocità variabili, hanno permesso di verificare che, effettivamente, nelle condizioni

normali di flusso nei mezzi porosi si ha un moto laminare, mentre per velocità elevate si

passa da un flusso turbolento. Tuttavia, il passaggio da un tipo di moto all’altro

avviene con una certa gradualità: la velocità di flusso in un mezzo poroso non sarà

uguale in tutti i punti: sarà maggiore in corrispondenza dei canalicoli maggiori e più

dritti (rispetto alla direzione di flusso) e minore in quelli di diametro minore e più

tortuosi. LEGGE DI DARCY

CONDIZIONI DI VALIDITÀ

N 1 10 100 1000

R

Moto Laminare Turbolento

Velocità

Si osserva che la legge di Darcy è valida per tutti i moti laminari, ma che perde

validità per valori del N decisamente minori di quelli che determinano il passaggio al

R

moto turbolento. In pratica, all’aumentare di N , si ha prima la perdita di validità della

R

legge di Darcy, ma ancora con flusso laminare, e successivamente il passaggio

(graduale) al moto turbolento. La spiegazione di questa non corrispondenza è dovuta

al fatto che Darcy governa solo quando dominano forze di attrito; quando le forze

d’inerzia, in un flusso con direzione e velocità continuamente variabili, si avvicinano

allo stesso ordine di grandezza di quelle d’attrito, la legge di Darcy non è più valida. 8

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LEGGE DI DARCY

CONCLUSIONE

In sintesi, la legge di Darcy è sufficientemente verificata, e quindi applicabile

in pratica, nelle condizioni naturali di flusso dell’acqua nei mezzi permeabili

per porosità matriciale (cioè dei sedimenti granulari), soprattutto se si

considerano moti lungo strato.

La legge di Darcy vale con minore approssimazione nelle rocce fratturate (in

cui il moto avviene in una «rete di discontinuità»: si considera, cioè, i volumi di

roccia in rapporto alle dimensioni della maglia di questa rete di fratture).

La legge di Darcy non è più valida con velocità di flusso alte, quali si hanno in

prossimità dei pozzi di emungimento e nei canali carsici.

COEFFICIENTE DI PERMEABILITÀ

INTRODUZIONE 9

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COEFFICIENTE DI PERMEABILITÀ

CLASSIFICAZIONE

1 m/s

k molto alta k alta k bassa k quasi nulla m/s

Ghiaia pulita Sabbia pulita Sabbia fine Argilla

Sabbia + Ghiaia Limi

pulita Sabbia + Limo +

Argilla

PIÙ k È GRANDE, PIÙ IL TERRENO È PERMEABILE (E VICEVERSA).

Nei mezzi a porosità interstiziale e privi di cemento, k è funzione essenzialmente del

diametro dei granuli e della porosità. Possiamo osservare che le argille, considerate

impermeabili, hanno in realtà un valore di k non nullo. Solo gli acquifughi, privi di

porosità comunicante, hanno k nulla. Le argille si considerano praticamente

impermeabili in quanto l’acqua le attraversa con estrema lentezza, tale da non

produrre un flusso apprezzabile.

COEFFICIENTE DI PERMEABILITÀ

FORMULAZIONE 10

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COEFFICIENTE DI PERMEABILITÀ

CLASSIFICAZIONE

MISURA DELLA PERMEABILITÀ

La permeabilità può essere misurata in laboratorio oppure direttamente in

campagna.

Le misure in laboratorio riguardano campioni di piccole dimensioni; possono

pertanto non essere rappresentativi del sedimento o della roccia di cui

s’intende misurare la permeabilità. Questo problema può essere risolto

studiando un elevato numero di campioni, il cui valore medio abbia un buon

significato statistico. Tuttavia, per quanto condotte in condizioni ben definite e

controllate, le misure di laboratorio riguardano sempre un campione in

qualche modo rimaneggiato. Nel caso di sedimenti coerenti (argille e limi) il

prelievo del campione provoca cambiamenti di pressione che posso avere

conseguenze importanti sulla permeabilità; nel caso di sedimenti incoerenti

più grossolani (sabbia e ghiaia) è praticamente impossibile prelevare un

campione non rimaneggiato. 11

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MISURA DELLA PERMEABILITÀ

MISURE IN CAMPAGNA

Le misure in campagna (o dirette) sono certamente le più valide, sia perché

riguardano volumi di roccia assai più grandi, sia perché non interviene il

rimaneggiamento. In tal senso i valori più validi si ottengono mediante prove di

pompaggio dei pozzi, che forniscono i valori medi di grandi volumi dell’acquifero.

Un altro metodo è quello di misurare la velocità di flusso introducendo un tracciante in

falda: misurando il tempo che esso impiega a percorrere il tragitto fra pozzo di

immissione e quello di osservazione, posto a valle rispetto alla direzione di flusso, si

ottiene v , velocita reale dell’acqua.

r

La permeabilità del terreno al di sopra della falda (terreno non saturo) può essere

misurata con gli infiltrometri, che consistono di un cilindro che viene infisso nel terreno

e poi riempito d’acqua; si misura l’acqua infiltrata nel fondo aperto del cilindro in

funzione del tempo.

Un metodo (più artigianale) è quello della prova Lefranc, che consiste nel misurare la

portata di infiltrazione in buche di dimensione standard.

MISU