Mappe concettuali per Meccanica dei mezzi porosi

Legami costitutivo

• decomposizioni tenore delle deformazioni

ε = e + 1/3 tr(ε)

ε_ij = e_ij + δ_ij (ε_kk / 3)

• sferico: variazioni di volume

• decomposizioni tenore degli sforzi

σ = s + 1/3 tr(σ)

s_ij = σ_ij - p δ_ij

p = 1/3 tr(σ_ij)

pressione media

Elasticità

• relazioni tra sforzi e deformazioni univoca
• funzione dello sforzo in un tenore delle deformazioni
• solo effetti meccanici: incremento energia ai deformazioni:

dW= σ_ij dε_ij

• funzione potenziale elastico: dW = dV = ∂V/∂ε_ij dε_ij
• σ_ij => ∂V/∂ε_ij

Comportamento Lineare:

∇i(ε_ij) = ∑ D_ijkl ∑ ε_ij

con D_ijkl = δiκ δjλ + μ(δiκ δjλ + δiλ δjκ)

λ, μ contanti: (durezza) di Lamé

mezz ISOTROPO, comportamento medesimo in qualsiasi direzione:

∂_ij = λE_kk δ_ij + 2μ E_ij

3p = (3λ + 2μ) E_kk (Einstein)

E_kk: deformationi a volume

⍴ = (3λ + 2μ)/3 E_kk K: λ + 2/3μ

K, modulo volumetrico:

σ_ij = λE_kk δ_ij + 2μ E_ij

in meccanica delle roccie:

p: KvE_v

s_ij = 2μ E_ij = 2G E_ij

G: modulo di scorrevolezza

E_ij = 1/E (σ_ij - ν δ_ij) E_kk + 1/μδ_ij (cedovolezza)

E modulo di young

ν coefficiente di Poisson

Terzaghi

Cosa: consolidazione monodim.

Condizioni iniziali:

• comprimibilità
• istante iniziale = impostiamo carico = deform. nulla

• Ez = m₀(σz⁰ - σz^u) = 0
• σzu = σz⁰ = q (in distribuz. delle press. dell'H₂O in continua di un quantitativo a parte di cuico imposto q)

gradi di consolidazione:

• _{Uz = 1 - Δuz (istante iniziale)}
• ^{Uz = Δσ(c)} (estimo a punto finale)

Separaz. variabili u(z,t) = f(z)g(t) →

→ f(0) = 0

u(z,t) = e^-cztcb (Asin(cbz) + Bcos(cbz))

T = c_tt

- comportamento RAMMOLLENTE (softening): relazione inversa non è definita in un

diretta: inversa:

dε ≥ 0 → dσ ≈ 1

dε < 0 → dσ

Elastico perfettamente plastico

Ipotesi di comportamento (3Eσ)

Dominio elastico (nel EEσ)

- σr

Comportamento elasto-plastico (irreversibile)

variazione di εP può avvenire solo per

Risolvente per Δ:

Modello Cam-Clay

• modello elasto-plastico ad incrudimento volumetrico (comportamento delle argille)

Regole:

• entro una sup. di plasticizzazione f(p', q) = 0
• all'interno della sup. di pl. il comportamento è elastico: q<0 e p'<0 → ε_ij = c^-1 δσ_ij
• fuori da sup. di pl. il comportamento elasto-plastico: q > 0, p' > 0 con R_k ∉ Λ(ε_pij)
• per q > 0, p' > 0 ε_ij = ε_ij^p (δf / δε_pij )

Leggi di flusso associate:

• Δε_pij = Δg / Δσ_ij = Δλ / Δσ_ij con λ mediante le condizioni di consistenza

Incomprensibilità del volume in componente elastica e plastica: Δv = Δv_e + Δv_p

• Deformazioni elastiche: Δv^e = K log (p'_A / p'_B) → al limite: δε_ev = (K / p') δp'^e
• Deformazioni plastiche: Δv^p = -(λ-K) log (p'_A / p'_B) → al limite: δε_ps = (λ-K) (1 / p') δp'^p

Legge di incrudimento:

Legge di incrudimento alla "cam-clay":

dε^p_s / dε^p_v = v / λ-K

p'₀