Appunti Meccanica dei mezzi porosi

Principio di determinismo per materiali con vincoli interni

• la reazione prodotta da vincoli interni non compie lavoro in ogni moto compatibile con tali vincoli.

Principio degli sforzi efficaci (Terzaghi)

Lo stato di tensione in un punto può essere definito tramite la conoscenza delle tensioni totali σ_x, σ_y, τ_xy e le pressioni interstiziali u, che è l'unica componente effettiva.

• Le tensioni totali possono scomporsi in due parti: una di esse è chiamata pressione neutrale e agisce nei granuli nell'acqua in ogni direzione con uguale intensità, se differenziata.

Teoria della poroelasticità di Biot

Non può fluire in fase solida intrusa, convintezza comprimibili

Coefficiente di Biot-Willis

• μ = α K / H = β p + β_p compr. matrice
  • V = volume costante

Condizioni non derivate e vincolo!

• u = 0
• Relazione di vincolezza: α_ij = λε_xxδ_ij + 2με_ij λ ≈ α conteta di domè
• Relazione di cedulezza: e_ij = 1/E δ_nxα_ij + 1/ν α_ij E = modulo di Young (di elasticità nominale)

Legge di Darcy

Relazione tra la velocità di filtrazione v e il gradiente di altezza piezometrica

v = -K ∇h

• K = conducibilità idraulica (natura del C ordine)
• k = transportività

Consolidazione monodimensionale alla Terzaghi (1923) = modello matematico lineareizzato

• conduttività idraulica converte K cost
• ipotenusità (ruolo) = piccole deformazioni

Bil massa miscela:

_∂γw/_∂z = ∂/∂z [ln(γw_z-γf_z)]-〇

Darcy piccole def

^∂Ezz/_∂t = K/γw ∂²u/∂z²

Rp:

comportamento meccanico lineare: ∂γez = mγ∂σzz-Mγ(σ'zz-σαu)

ε composibilità dello scheletro solido

con condizioni dinamiche (def. Carslaw, Jaeger)

∂u/∂t = -C₃ ∂γ/∂z

C_v: coeff. di consolidazione verticale

C_v/^{K δ} = 'd_V idraulici

γf massa

eqn paraboliche descrittive processi di diffusione in

condizioni transtorìchie e monodimensionali (analoghe con thick)

Modello TRIDIMENSIONALE di _Biot:

Vx

1 legge di Darcy: γ - K γRy (con H₂O incomprimibile e K= cost)

2 studio evolutivo ad drain dei MP (problemi quasi statici di effetti meccanici transienti)

3 interazione eletto nella nìcosìo

4 supporto costruttivo alle affermazioni (divicvar misura statico)

5 approfondimento deformazioni

Leggi ass. e cambio verticale: s(=)

pore m Isocoplite

Conclusione di Biot in un plot impretti

Rived. sviluppativi criteri di Coulomb (1773)

si pangia con det. p. scritte e H₂ corrimento normale per T

N/A ^t N/A f N/A τ = T/A fsl MP

fsl = ϕ⁰ t εb 0

Dal principio del determinismo segue che lo sforzo viene ripartito tra acqua e scheletro solido.

Poiché P è isotropo, tutti gli sforzi di taglio vengono assorbiti dallo scheletro solido:

σ_ij(F) = σ_ij − α_ij

Inoltre lo sforzo dell'acqua deve soddisfare il bilancio di qdm per la medesima fase quindi P = u (u = pressione dell'acqua)

Principio degli sforzi efficaci (Terzaghi)

Lo stato di tensione in un punto può essere definito tramite la conoscenza delle tensioni totali che lo legano. Se il mezzo intergranulare è riempito con acqua avente pressione u, le tensioni totali possono scindersi in due parti: una di esse, chiamata pressione neutra u, agisce nei grani e nell'acqua in ogni direzione con uguale intensità. Le differenze:

σ₁ − u ; σ₂ − u ; σ₃ − u

rappresentano le tensioni in eccesso alla pressione neutra che hanno sede nella fase solida. Queste frazioni delle tensioni totali sono definite tensioni efficaci.

Tutti gli effetti misurabili prodotti da un cambio dello stato di sforzo, quali compressione, distorsione e variazione del volume al taglio, sono dovuti esclusivamente ad un cambio delle tensioni efficaci. Di conseguenza ogni analisi di stabilità di un mezzo saturo richiede la conoscenza sia delle tensioni totali che delle pressioni neutre.

Poroelasticità

Rimuovendo la ammissione di costituenti incomprimibili, la def. di sforzi efficaci non può più essere applicata. La teoria della poroelasticità (Biot) assume che sia la fase fluida che quella solida possono essere considerate comprimibili.

Variabili cinematiche:

deformaz. di vol.

ε₀ = ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃ = - ¹⁄_V0

incremento della quantità di fluido

Γ = - ∇ ⋅ (u_s − u_w)

Ammendo sforzo isotropo: σ₁ = σ₂ = σ₃ = p

Supponendo relazione tra variabili tensionali e cinematiche:

(ε₀ (a₁₁ a₁₂) (p)

Γ = (a₂₁ a₂₂) u relazione di costitutività

Sforzi efficaci in poroelasticità ammettendo:

ε_p = a₁₁p − a₁₂u

p = incremento di sforzo totale

(misura delle deformazioni di vol.) (ε_p)

u = pressione neutra (corr)

a₁₁ = ¹⁄_V

K₁ = modulo volumetrico dello scheletro solido