(4/7) Fondamenti di geotecnica: Permeabilità moti di filtrazione e consolidazione

PERMEABILITA', MOTI DI FILTRAZ

& CONSOLIDAZIONE

FILTRAZIONE

Studio dei movim. di H₂O nell'interno

• Legge di distribuz. delle pression. interstiz. cambia se H₂O si ferma o no
• Tens. eff. dello s.s (E' come si distr. Idrostatico H₂O)

CARICO IDRAULICO

QUOTA PIEZOMETRICA

Energia tot h₂O

Energiapot. posseduta da una particella d'H₂O

Altezza geometrica

Altezza di pressione

Altezza cinetica

(trascurabile perché l'H₂O è molto lenta)

Il movimento è causato da una diff. di energia del fluido

PORTATA

quantit. di H₂O che passa negli unità di tempo tramite la sez. assegnata

VELOCITA' DI FILTRAZIONE

rapporto tra la portata di H₂O e l'area della sez. che attraversa

LEGGE di DARCY

Legge sperimentale

Passaggi d'H₂O da una vaschetta all'altra, poste ad altezze > dipende da

• Permeabilità terreno (k)
• Area attraversata (A)
• Diff. di altezza (ΔH)
• Lungh. dei tubi (L)

PERMEABILITÀ, MOTI DI FILTRAZIONE & CONSOLIDAZIONE

• STUDIO DEI MOVIMENTI DI H2O NEL TERRENO
• Si studia perché:
  • Legge di distribuzione delle pressioni interstiziali cambia se H2O si ferma o no
  • Tens. eff. dello s.s. (e come si distribuiscono H2O)

CARICO IDRAULICO

Energia potenziale posseduta da una particella di H2O

QUOTA PIEZOMETRICA

h = z + u/W + v²/2g

• Altezza geometrica
• Altezza di pressione
• Altezza cinetica

Trascurabile perché H2O è molto lenta

Il movimento è causato da una diff. d'energia del fluido

PORTATA

Quantità di H2O che passa nell'unità di tempo tramite la sezione assegnata

VELOCITÀ DI FILTRAZIONE

Rapporto tra la portata di H2O e l'area della sezione che attraversa

J = Q/A

LEGGE DI DARCY

Legge sperimentale

Passaggio di H2O da una vaschetta all'altra poste ad altezze _a e _b

|Q| = kA (∆H/L)

• Permeabilità terreno (k)
• Area attraversata (A)
• Diff. di altezza (∆H)
• Lungh. dei tubi (L)

PRINCIPIO DI CONS. DELLA MASSA

quanta massa entra, tanta ne esce

M = Me - Mu

MASSA ACCUMULATA (nell'unità di tempo)

MASSA ENTRANTE

MASSA USCENTE

M = (rho)*(V) - VOLUME

densità o peso specifico

con (rho)(V) = COST

V = Ve - Vu

VOLUME ACCUMULATO (nell'unità di tempo)

VOLUME ENTRANTE

VOLUME USCENTE

EQ. DI CONTINUITÀ

t.q. accumulata è = alla diff. della portata entrante meno la uscente

Q = Qe - Qu

Q = V*(A)

... (equations and diagrams) ...

EQUAZ. GENERALE DELLA FILTRAZIONE

in regime stazionario q é 0

perché le e giacenze non dipendono dal tempo

... (more equations) ...

FILTRAZIONE MONODIMENSIONALE

∇²h = 0 → ½²h/½x² (poiché ½²h/½y = 0 e ½²h/½z = 0)

INTEGRO (2 volte):

∫ ½²h/½x² dx = ½h/½x = c₁

∫ ½h/½x dx = c₁ x + c₂ → h = c₁ x + c₂

ANDAMENTO LINEARE

filtrazione ALTO-BASSO ↓

ξMAX su = uMAX su FONDO

La distrib. delle u porta a valori minori di quelli idrostatici riferiti allo stesso pelo lib.

filtrazione BASSO-ALTO ↑

ξMAX su = uMAX su FONDO

La distrib. delle u porta a valori maggiori di quelli idrostatici riferiti allo stesso pelo lib.

u CRESCE VERSO IL BASSO

Filtrazione Bidimensionale

_{eq. di gordone}

^∂2h/_∂x² + ^∂2h/_∂y² = 0

Non ha soluzione analitica notevoleUso il metodo grafico

Rete di flusso

• Linee equipotenziali (h = cost)
• Linee di flusso (in ogni p.to hanno ∇^⃗tg alla linea)

Tips!

• Linee equipotenziali ≠ non si incontrano mai
• Linee di flusso ≠ non si incontrano mai
• Linee di flusso e linee equipotenziali si intersecano a 90°
• Disegnare le maglie con rapporti medi tra le dim. cost.

a_i/b_i = cost (=1)

Lung. media maglia ≈ dim. magl. adjac.

Considero h su tutte le linee, posso calcolare a portata complessivaΔh_i = ^ΔH/_ns

_{numero salti equipotenziali}

(conto le linee equip. fino al punto di inizio)

Esempio:

h = 5 + u ∂w

in A' u=0 → ha' = 5a' = 15

ΔH = 5A' - 5B = 3 → Δh_i = ^ΔH/_ns = ³/₅ = 0.6

in E₁ u = 0wZm → h_E1 = hA' - Δh_i = 14.4

line₂ h_E1 = hA' - 2Δh_i, h_E3 = hA' - 3Δh_i, ...

SIFONAMENTO

Fenomeno che può verificarsi in un moto di filt. dal basso verso l'alto. Consiste nell'annullamento delle tens. efficaci con la probabilità (σ'_z = 0) a causa di H₂O che trasporta le particelle solide. Non ho + comp. attitivo e il terreno si comporta come un fluido.

• Grad. idraul. esercizio
• Δh / L

Condiz. di sifonamento:

i < sub>critico

12 critico

• Δh/Δz
• γ - γ_w / γ_w

Terreni GG. (meno permeabili) → sifonamento

Terreni GF. dinamiche → sollevamento scavo [γ_u > γ_v]

Dim 'i_critico':

• Tens crescono con la prof.
• Durante la filtr., H₂O perde di carico peso propria sifonano con la forza di filtraz. (eq. indiff. eq. di eul.)
• Considero campo elastico o assenza terremo → elimino apropz di massa propri z (con z = z_p peso proprio)
• Introduco princ. tens. efficaci

Se H₂O ferma → ∂u/∂y = 0; ∂v/∂y = 0

Se H₂O movim. → u = (h-y) γ_w

u / Γ ∂z = 2 ∂z + 3

Piani principali → elimino carico prop annullo H₂O sifon.

Introduco tens. efficaci

∂h/∂z - γ - σ_w / γ_w

CONSOLIDAZIONE

È un processo di filtrag. transitorio, ci racconta come si smaltiscono le sovrappressioni iniziali, quindi come il carico si trasferisce da H2O a s.s. (perché all'inizio in B.T. siamo in c.n.o. e H2O va in sovrapp.).

• È evidenziata da un incremento dei cedimenti con tempo anche in assenza di variaiz, delle condizioni di carico.

TEORIA DELLIA CONS. MONOD DI TERZAGHI

Parto dall EQ di Governo OBLIBA Filtrazione

1. -∂VX/∂x + ∂VY/∂y + ∂Vz/∂z
2. (1/Vs) (∂Vw/∂t)_obz

• FLUSSO MONOD. Vx=Vy=0
  • ↑ (∂VZ/∂z)²
• VALIDITÀ DARCY: Q = K ΔH/L
  • ↑ V = Ω/A = K ΔH/L
  • ↑ VZ = -K_z ∂hz/∂z
• MEZZO OMOGENEO: Kz = COST
• -∂VZ/∂z = -K_z ∂²hz/∂z²
• hin R.S.: h = ℎₑ + u/ρ_w
  • ↑ h_ₑ = ℎₛ + u/ρ_w
  • ↑ ∂²h/∂z² = ∂²ℎₛ/∂z²+-1/ρ_w ∂²u*/∂z²

• MEZZO SATURA: Sr=1
• GRANULI SOLIDI INCOMP.: δs=COST
• H2O INCOMP.: δw=COST
• DEF.VOL. - PICCOLE DEF.
• ∂εv/∂t = -1/Vs ∂V/∂t
• DEF. MONODIM.: Ex = Ey = 0 εv = εz
• LEG.COST.LIN.; Eed. Δz₁/Δε_z
  • ∂ε_z = ∂_z/Eed
• VALIDITÀ IP.t: ∂EV₋/∂t +-1/Eed (∂Ω/∂t (∂z¹/∂t*
• CARICO APPLICATO ISTANT. PS MANTENUTO COST.
  • ∂Ω/∂t=0

Kz/ρw ∂²u*/∂z² = 1/Eed ∂u*/∂t

Riepilogando:

• Parto dall'eq. di governo della filtrazione

  _{- ∂vx/∂x + ∂vy/∂y + ∂vz/∂z} = 1/v_o ∂vw/∂t

• Terzaghi + hp semplificative

  kz ∂²u*/∂z² = 1/Eod ∂u*/∂t

• Introduco il coefficiente di consolidazione Cv
  • Cv grande → alta perm.
  • Cv piccolo → bassa perm.

  Cv = kz Eod/∂w

• Sostituisco

  Cv ∂²u*/∂z² = ∂u*/∂t

GRANDEZZE ADIMENSIONALI

• GRANZEA GEOMETRICA

^z-Z₀/_H ALT. DI DRNAG. max esist.: una una porzione di H₂O oltre telorif x (agg. Sup. drenante)

• FATTORE TEMPO

t_cv/H² C_V = ^{K_Z E_ed}/_ωV L²/t = L³/F * F/L³ = L²/t

• IMPERME.- DRENANTE
• 0 <Z<1
• DRENANTE - DRENANTE
• 0 <Z<2

• GRADO DI CONSOLIDAZIONE

U = ^{U_0* - U_*(2z/t)}/_U0* U = f(z,t)

ES. U = 0.3 significa che 30% di solapres. é andata nello ss. (si è dissipata) 70% é ancora da dissipare

• GRADO DI CONSOLIDAZ. MEDIO

U^- = f(t) ^{∫ ₀^H U_0* - U_*(2z,t) dz}/_{∫ 0^H U0* dz}

a = L(a.i. energia dissipata mediamente su tutto il stato, rapporto alla parte compressiva

AREA di•sd * divisa (*•orgoglio)

ABACHI

GRAFICO Ū(t) con 0<ū<1 T = 0 Ū = 0 T = ∞ Ū = 1

GRAFICO Z₀, U con 0 <Z<2

+passa il tempo (isoque anoviano alla isolante finale con Ū = )

Tensioni indotte da carichi sup.

• Carico esteso
• p=0
• Δsz=9

• Carico non esteso
• p ≠ 0

La def. ci fa capire che c'è una trasmissione x taglio del carico agli elementi laterali

Teoria di Boussinesq

• Comp. elastico-lineare su semispazio.
• Ha studiato la forza unitaria su sup. di un semispazio
• Soluz. formite

(Equil.)

(Ε (congr.))

Soluz. indipendente da E buona parte della soluz. è ind. da E (solo σh dipende da E)

• Applico carico su una striscia di lunghezza B
• Il carico si diffonde e trova un meccanismo a campana
• Man mano che scendo il carico si estende, area = B·9

Bulbo delle tensioni di Boussinesq

Oggi isolinea B:1:9

Conosco B, 9 posso capire quanto valgono le tensioni indotte

Cedimenti

"Deformaz. del terreno sotto il carico Q che vado a mettere. Il comportamento nei confronti dei cedimenti varia a seconda del tipo di terreno".

Terreno a G.G.

W_∞ = W₀

Cedimento istantaneo

Terreno a G.F.

W_∞ = W_B + W_C

• Cedimento istantaneo: dovuto a deformaz. di torsioni - non ho variazioni vol. ϵ_v = 0
• Cedimento consolid.: dovuto a H₂O che abbandona il sistema - ho variaz. di volume ϵ_v ≠ 0

Striscia di terreno occupata dai cedimenti

W_i = ∫₀^H ϵ_z d_z

Come calcolo H?

• Stratigrafia
• Confronto con le tensioni imposte

• tens. litostatiche: ∇σ_z
• tens. imposte: Δσ_z (Boussinesq)
• 0.1σ_z + Δσ_z

Calcolo dei Cedimenti - 3 Metodi

_{W∞ = W0 + WC}

Ced. Fin. Ced. Iniz. Ced. x Cons.

W = ∫₀^H ε_z dz

ε_z = Δσ/E

1) Metodo Elastico

Calcola W₀ (Ced. Iniz.) e W_∞ (Ced. Finale) tramite la teoria del comportamento elastico

Non molto usato

2) Metodo Edometrico

Calcola solo W_C (Ced. x Cons.) e no W₀ (Ced. Iniz.)

Condiz. Edometrica

• ε_z ≠ 0
• ε_t = 0

B.T.

ε_v = ε_z = 0

W_∞ = 0

L.T.

ε_v = ε_z ≠ 0

W_C ≠ 0

W₀ = 0

W_C = ∫₀^H ε_z dz = ∫₀ Δσ_z / E_ed dz

Aggiusto questi risultati con prove empiriche

Terreni NC - W₀ ≈ 10% W_ed

W_C = W_ed

Terreni OC - W_∞ ≈ 30-40%, W_ed

W_C ≈ 70-60%, W_ed

W_ed - ε • Z

ε =

(*) Teoricamente E_ed cost. in prova edometrica, ma diviso in tanti intervalli nei p.

W = Σ ε_z (ΔZ)

Δ=Ste

E =

e₀ - e_f

1 + e₀

e₀(A), e₀(P) - Cc log

e_f(A) - e₀(A) - Cc log

Metodo Skempton-Bjerrum

Calcola _W0 (ced. imm.) con il met. elast. e _WC (ced. x cons.) con il met. edom. + formula Skempton

_W0 = _W0 + _WC

_G.F.

_W0 = √∫_ΔƔzd_z / _{E0i σ'0} = qz_σ'

_G.F.

_W0 = _qB / _{Eu IW}

Metodo elastico

IW = _IN + _I2

_IN = f(D/B)

_I2 = f(H/B)

Metodo edom. +

Formula Skempton

_WC = Wed_i B

β = [Q(1 - A) + A]

2 = ∫_t Δσ_Z d_z / ∫₀ Δσ₀ d_z

(*) Wed_i = E_z

Calcolato con il metodo edomerico

Wed_i = E_z

ε = _{e0 • ef} / _{1 + e0}

ε₀(A) = ε₀(P) - C (log √

ε_f(A) = ε₀(A) - C (log √

Cedimento x terreno NC

γ

P (prova)

{ε₀(p) εᵢ(p)}

log σ'v

Punti medi strati inclusi divido terr. g.f.

senz'acqua

σ'v0 = σ'z

u: [(σ'z)]

Jv/σ'v0 = Jv/σ'z

Jv = Jv₀

Jv/σ'v0(Pσa)

Jv/σ'v0 = Jv₀+Jv = Jv₀

ε = e₀-e_f

1. Calcolo ε₀(P) avendo a disposizione.

   σ, γₛm w.

   So che γ_d = γ

   1+w ε₀(P) = γ_s /

   γ_d

2. e₀(i) = ε₀(p) - c^cc (log Jvσ'vfJv/σ'v0(i)

3. εf(i) = ε₀(i)-c^cclogσ'vf(i)

   σ'v0(i)

Calcolo dei Cedimenti

Warg. = Σ εz

ΔZ altezza stato orig.

n° fone

Wsob. = q/Edi

Wsob. = γ/E

Wtot. = Warg.+Wsob.

CEDIMENTO x terreno OCR

q

• SABBIA _{%, Eed}
• ARGILLA OCR _{%, γ, w, Cc, Is, OCR}

CHIAIA CON SABBIA

PUNTI MEDI SPESSI

J_t = J_z?

1) Calcolo J_vmax (P) sapendo che OCR = J_vmax/J_v0

2) Calcolo J_vmax degli altri punti = J_vmax (i) + ΔJ_v

3) Calcolo e₀P, avendo a disposizione: γ, γ_d, w. So che γ_d = y/(1+w)

4) e_max(P) = e₀(P) - C_s log J_vmax(P)/J_v0(P)

5) e_max(i) = e_max(P) - C_c log J_vmax(i)/J_vmax(P)

6) e₀(i) = e_max(i) - C_s log J_v0(i)/J_vmax(i)

7) e_f(i) = e₀(i) - C_s log J_vf(i)/J_v0(i)

Calcolo dei CEDIMENTI METODO-EDOM x terreno OCR

W = W₀ + W_c con W₀ = 0.3 Wed, W_c = 0.7 Wed

Wed = 0.3 Wed + 0.7 Wed

Wed _∈ ğΔ_z

ALTRO Siciliano in fase

OCR > 1

ΔV_f > ΔV_max

J′_max > J′_c

e_o(f)_p

• J′_Vmax(p) = OCR⋅J′_o(p) (J′_max(f))
• J′_Vmax(i) = J′_o(i) + ΔJ′_V(i)
• Emax(p) = eo(p) - Cs log J′_Vmax(p)/J′_io(p)
• Emax(i) = emax(p) - Cc log J′_Vmax(i)/J′_max(p)
• Eo(i) = Emax(i) - Cs log J′_io/J′_o(i)
• Ef(i) = Eo(i) - Cs log ΔV_f(i)/_Vio(i)