Dimostrazioni Teoremi Utili sulla Teoria delle connessioni di spazi fibrati principali

R

ε 0 ∀t ∈

γ(0) = p , X(γ(t)) = γ (t) I.

0

Dato un campo di vettori su una varietà, risolvere il problema di trovare le

sue curve integrali, significa risolvere un sistema di equazioni differenziali.

Il teorema di esistenza e unicità delle soluzioni di un sistema di equazioni

∀p ∈ ⊂

differenziali ci assicura che: A V esiste un’unica curva integrale di

0

X, γ(t), passante per p che sia massimale.

0

Definizione 3. Un gruppo a un parametro (globale) di trasformazioni sulla

× →

varietà differenziabile V è un’ applicazione differenziabile ϕ : V V

R

tale che: → ∈

1. ϕ : V V è un diffeomorfismo per ogni t R;

t ∈ →

2. per p V fissato, l’applicazione ϕ : V è una curva differenziabile

R

p

in V, con ϕ (0) = p, dove ϕ (t) = ϕ(t, p);

p p

◦ ◦ ∀s, ∈ ∈

3. (ϕ ϕ )(p) = (ϕ ϕ )(p) = ϕ (p), t p V .

R,

s t t s (s+t)

C’è uno stretto legame tra campi vettoriali e gruppi a un parametro. Dato

un gruppo a un parametro si può sempre trovare un campo di vettori lungo

la curva associata al gruppo. Infatti sia ϕ un gruppo a un parametro su una

∈ →

varietà differenziabile V . Fissato p V sia t ϕ (p) la curva uscente da p

t 0

e consideriamo il vettore tangente in p alla curva, cioè X = ϕ (t) . In tal

|t=0

p

modo ad ogni punto p si associa un vettore tangente. Resta cosı̀ definito su

V un campo di vettori che dipende differenziabilmente da p in quanto ϕ è

differenziabile.

Questo campo di vettori X lo posso definire mediante la formula:

→

X : V TV ∞

7→ →

p x : C (p) R

p −

f (ϕ (p)) f (p)

t

7−→ ,

f X (f ) = lim

p t

t→0

∈ {V →

dove f ) = differenziabili}; ) è l’algebra delle funzioni

F(V F(V

R

differenziabili a valori reali sulla varietà differenziabile V . Con questa deri-

vata vado a vedere come è cambiata la f in direzione della curva integrale

del campo passante per p. X (f ) ’è chiamato generatore infinitesimale di ϕ .

p t

2

Vale anche il viceversa, cioè ogni campo di vettori genera un gruppo di tra-

∈

sformazioni ad un parametro. Infatti, indicato con p V il generico pun-

to iniziale, posso interpretare la famiglia di curve integrale di un campo

∈

vettoriale X ) come un’applicazione:

X(V × →

ϕ : I V V

ε 7→

(t, p) ϕ (p) = ϕ(t, p)

t

che soddisfa le proprietà 1), 2) e 3) della definizione di gruppo a un parametro,

infatti vale la seguente proposizione:

∈ ∈ ◦

Proposizione 3. Siano t, s p V tali che siano definiti (ϕ ϕ )(p),

R, t s

◦

(ϕ ϕ )(p) e ϕ (p). Allora:

s t s+t

◦ ◦

i) (ϕ ϕ )(p) = (ϕ ϕ )(p) = ϕ (p)

s t t s s+t

ii) ϕ è un diffeomorfismo.

t ∈ ∈

Dimostrazione. Se p V , si ha ϕ (p) V e si può costruire la curva integrale

t

di X con condizione iniziale ϕ (p). Tale curva è ϕ(s, ϕ (p)) = ϕ (ϕ (p)) =

t t s t

◦ϕ

(ϕ )(p) per s che varia in un intervallo sufficientemente piccolo. Le condi-

s t d ϕ(s, ϕ (p)) = X ,

zioni che definiscono questa curva integrale sono: t ϕ(s,ϕ (p))

t

ds

ϕ (ϕ (p)) = ϕ (p).

s=0 t t

D’altra parte ϕ (p) = ϕ(s + t, p) verifica le stesse condizioni

s+t d

d ϕ(s + t, p) = ϕ(s + t, p) = X , ϕ(0 + t, p) = ϕ (p).

t

ϕ(s+t,p)

ds d(s + t)

Per l’unicità si ottiene la tesi di i). Per quanto riguarda la II), ϕ ammette

t

−t ◦

inversa ϕ , infatti per s = si ha che (ϕ ϕ )(p) = p.

−t −t t

Adesso analizziamo il caso in cui la nostra varietà V sia un gruppo di Lie G

e consideriamo le curve integrali dei campi invarianti a sinistra di G.

∈

Proposizione 4. Dato un gruppo di Lie G e X un campo invariante

G

a sinistra di G. Denotiamo con ϕ (t) la curva integrale massimale di X

X

∈

passante per l’origine e G. Allora:

I) ϕ (t) è definita globalmente su G

X ∀s, ∈

II) ϕ (t + s) = ϕ (t)ϕ (s) t R

X X X

∀s, ∈

III) ϕ (ts) = ϕ (s) t R

X tX ∈

IV) La curva integrale massimale passante per a G è data da γ(t) = aϕ (t)

X

V) X genera il gruppo globale ad un parametro di trasformazioni di G definito

da: × →

ϕ : G G , ϕ(t, a) = aϕ (t)

R X

3

Adesso possiamo definire l’applicazione esponenziale di G:

→

exp : G

G 7→

X ϕ (1)

X

Ponendo s = 1 nella III) della proposizione precedente si ottiene che la

curva integrale massimale di X, passante per l’elemento neutro di G, si può

scrivere: ϕ (t) = exp(tX). Di conseguenza il gruppo a un parametro di

X

trasformazioni di G generato da X è ϕ(t, a) = aexp(tX).

3 Campo di vettori fondamentale

Consideriamo ora l’azione destra di un gruppo di Lie G su una varietà

differenziabile V . Abbiamo: →

Proposizione 5. I) L’applicazione σ : ) tra l’algebra di Lie di G

G X(V

e l’algebra dei campi vettoriali di V è un omomorfismo

II) Se l’azione di G su V è effettiva, σ è un isomorfismo ∗

∀A ∈ ∈

III) Se l’azione di G su V è libera, allora non nullo, A = σ(A)

G

) è un campo vettoriale che non si annulla mai, denominato campo di

X(V ∈

vettori fondamentale corrispondente ad A G.

∈ →

Dimostrazione. I) Per ogni A t exp(tA) in G è la curva massimale

G,

∈

di A passante per e G. Definiamo l’omomorfismo σ nel seguente modo:

0

∈ ∈

per ogni ν V , σ(A)(ν) = c (0), dove la curva c (t) V la definiamo

ν

ν

·

cosı̀: c (t) = R = ν exp(tA). È chiaro che, per le definizioni che

ν exp(tA)

sono state date precedentemente, σ(A) genera il gruppo a un parametro:

·

ϕ (ν) = ϕ(t, ν) = ν exp(tA). Tale omomorfismo può essere definito anche

t ∈ →

nel seguente modo: consideriamo, fissato ν V , l’applicazione σ : G V ,

ν

·a, ∈ ∈

σ (a) = ν per a G. Definiamo σ(A) ) come quel campo vettoriale

X(V

ν

che nel punto ν assume il valore che il differenziale di σ , σ , nel punto

∗

ν ν

∈ ∈

a = e G assume per A Vale a dire: σ (A ) = σ(A)(ν). Da

G. ∗

e ν e

quest’ultima definizione segue che σ(A) è lineare. Rimane da mostrare che

∗ ∗

∈

σ([A, B]) = [σ(A), σ(B)] con A, B e σ(A) = A , σ(B) = A .

G

1 ∗ ∗

∗ ∗ −

[B R B ] , dove a = exp(tA). Poichè

Si dimostra che [A , B ] = lim a t

t→0 t

t

−1

◦ ∈

R σ (c) = xa ca , dove c G, si ottiene:

−1

a t

xa

t ∗ −1

◦

(R B )(x) = R σ B = σ (ad(a )B ).

−1

a a e x e

xa t

t t

Allora:

1

1 −1 −1

∗ ∗

− −

)B ) = σ lim )B =

σ B σ (ad(a B (ad(a

[A , B ] = lim x e x e x e e

t t

t t

t→0

t→0

σ ([A, B](e)) = σ[A, B](x)

x 4

II) Per provare che σ è un isomorfismo, se l’azione di G è effettiva, facciamo

6 ⇒

vedere che: se A = 0 σ(A) non è il campo vettoriale nullo su V . Sup-

poniamo per assurdo che σ(A) = 0 ovunque e mostriamo che A = 0. Se

∀ν ∈ ·

σ(A) = 0 V , il gruppo a un parametro ϕ (ν) = ν exp(tA) deve essere

t

ϕ (ν) = ν (perchè la curva integrale c di σ(A) passante per v è c(ν) = ν. Se

t ∈

l’azione è effettiva significa che exp(tA) = e per ogni t e quindi A=0.

R

∈ ·

III) Supponiamo σ(A)(ν) = 0 per qualche ν V . Allora ν exp(tA) = ν,

∀t ∈ Se l’azione di G è libera, allora tutti gli exp(tA) = e, e quindi

R.

A = 0.

Definizione 4. Sia V una varietà differenziabile e G un gruppo di Lie.

Un fibrato principale su V (spazio base) con gruppo G (gruppo strutturale)

consiste di una varietà X (spazio totale) e di un’azione di G su X tale che:

× → 7→ · ∈

I) G agisce su X a destra ϑ : X G X, (x, g) x g = R x, x X,

g

∈

g G e l’azione è libera. X , dove la relazione di

II) Lo spazio base V è isomorfo allo spazio quoziente G →

equivalenza è quella definita dall’azione di G su X. La proiezione p : X V

∞

è di classe C . ∈ ⊂

III) X è localmente banale, cioè per ogni ν V esiste un intorno U V tale

−1 → × 7→

che ϕ : p (U ) U G, x ϕ(x) = (p(x), µ(x)) è un diffeomorfismo, dove

−1 → · ·

l’applicazione µ : p (U ) G soddisfa alla condizione µ(x g) = µ(x) g,

−1

∀x ∈ ∈

p (U ) e g G.

Applichiamo la costruzione, fatta precedentemente, a un fibrato principale

X(V ; G) dove con X adesso denotiamo lo spazio totale del fibrato. L’azione

→

destra di G su X induce un omomorfismo σ : dell’algebra di

G X(X)

∗

Lie nell’algebra dove σ(A) = A è il campo di vettori fondamentale

G X(X), ∈

corrispondente al campo invariante a sinistra A G.

4 Definizione di automorfismo interno e rap-

presentazione aggiunta di un gruppo di Lie

→

Dato un automorfismo di un gruppo di Lie G, ϕ : G G, esso induce un

→

automorfismo della sua algebra di Lie ϕ :

G, G G.

Definizione 5. La rappresentazione aggiunta di un gruppo di Lie G sulla

sua algebra di Lie è un’applicazione

G →

Ad : G Aut(G)

7−→

a I

a∗

5

dove I è l’automorfismo interno definito da:

a →

I : G G

a −1

7→ ∈

g aga , a G.

Consideriamo come automorfismo del gruppo G proprio l’automorfismo

→

interno I (che si può anche indicare ad(a)): ad(a) : G G. Esso induce un

a → ∀a ∈

automorfismo: ad(a) : G.

G G,

∗

∈ ∈

Per ogni a G ed A si ha:

G

ad(a) A = (L R ) A = (L ) (R ) A = (R ) A.

−1 −1 −1

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

a a

a a a

∈ ∈ ∈

Per ogni A exp(tA) G (curva massimale di A passante per e G),

G,

quindi posso considerare la traslazione a destra