Dimostrazioni Fisica 2

Circuiti RC in fase di "carica" e "scarica"

Carica

Consideriamo il circuito con generatore E, resistore R e un condensatore C.

Tramite un interruttore T aperto.

E = V_R(t) + V_C(t) = Ri(t) + q(t)/C

i(t) = dq(t)/dt

R dq(t)/dt = E - q/C

dq/q - CE = - dt/RC

∫₀^q dq/q - CE = -1/RC ∫₀^t dt

log(q - CE/-CE) = -t/RC

q(t) = CE(1 - e^-t/RC)

V_C(t) = q(t)/C = E(1 - e^-t/RC)

i(t) = dq(t)/dt = E/R e^-t/RC

Nel processo di carica il generatore compie complessivamente il lavoro:

W_gen = ∫E dq = Eq₀ = CE²

Scarica

V_C = q/C = V_R = Ri

- dq/dt = dq/RC

∫₀^q dq/q = -1/RC ∫₀^t dt

log(q/q₀) = -t/RC

q(t) = q₀ e^-t/RC

V_C(t) = V₀ e^-t/RC

i(t) = q₀/RC e^-t/RC = V₀/R e^-t/RC = V_C/R

W_R = ∫₀^∞ R_R(t) dt = V₀²/R ∫₀^∞ e^-kt dt = 1/2 CV₀² = q₀²/2C

Campo magnetico B prodotto da un solenoide toroidale

Un solenoide toroidale é costituito da N spire avvolte attorno a un toroide. Nel sistema circola la corrente i.

Le linee del campo magnetico all'interno del solenoide sono circonferenze con centro sull'asse del toroide e il modulo di B pertanto dipende solo dalla distanza r dall'asse. Applicando la legge di Ampere \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = \mu_0 i a tale circonferenza di raggio r, si ha:

\oint \mathbf{B} \cdot ds = 2 \pi rB = \mu_0 Ni

in quanto la linea di integrazione concatena tutte le N spire.

Quindi:

B = \frac{\mu_0 Ni}{2 \pi r}

Il campo magnetico é variabile come \frac{1}{r} all'interno della sezione del toroide. Solo se la differenza tra i vari raggi massimo e minimo di r é piccola rispetto al raggio medio r_m, si può assumere che B sia uniforme in modulo nel toroide. All'esterno, se le spire sono compatte, il campo magnetico é nullo.

Circuito RL in fase di "carica" e "scarica"

*CHIUSURA*

e + \mathcal{E}_L = Ri \implies e - L \frac{di}{dt} = Ri \implies \mathcal{E} \cdot Ri = \epsilon e^{-\frac{tL}{L}}

i(t) = \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \implies = \frac{\epsilon}{R} \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)

\tau = \frac{L}{R}

Consegue di agio:

i_\infty = \frac{\epsilon}{R}

\mathcal{E}_L = -L \frac{di}{dt} = e^{-\frac{t}{\tau}},\ i_\infty = e^{-\frac{t}{\tau}}

i_0(t) = \frac{\mathcal{E}_L}{R} e^{-\frac{t}{L_0}}

*APERTURA*

All'istante di apertura t = 0 la corrente nel circuito ha il suo valore di regime i_0 = \frac{\epsilon}{R}

un seguito l'intensità di corrente varia ora con la legge i(t) = \frac{\epsilon}{R} e^{-\frac{t}{\tau'}}

La forza elettromotrice di autoduzione \mathcal{E}_L = -L \frac{di}{dt} \mathcal{E}_1 e^{-\frac{t}{r_1}} e^{-t/\tau'}

Essa risulta particolarmente elevata all'apertura i'_L = \frac{\mathcal{E}_L}{R'_1}\mathcal{E}_L - \ldots, questa corrente, diversa da zero per un tempo molto breve, si chiama extracorrente di apertura

Leggi della riflessione e rifrazione

Per il principio di Fermat (minimo tempo) cercheremo di provare le leggi di Snell, ovvero quello che il tempo di percorrenza per partire dal punto A al punto B. La luce avrà velocità v₁ nel mezzo 1, v₂ nel mezzo 2.

Il tempo totale:

t = _ΔO/_v1 + _OB/_v2 = _ay/_v1cos⟨θ1 + _by/_v2cos⟨θ2

Condizione necessaria per avere un minimo è che dt=0 ossia:

dt= _ay/_v1 d_(1/cosθ1) + _by/_v2 d_(1/cosθ2) = 0

_ay/_v1 seuθ₁/cos²θ₁ dθ₁ + _by/_v2 d_{(seuθ2/cos²θ2)} dθ₂ = 0 (1)

Cambiando la Traiettoria variano a_x e b_x, ma resta costante la loro somma:

a_x + b_x = cost    a_y tgθ₂ + b_y tgθ₂ = cost    (a_y d_(tgθ1) . b_y d_(tgθ2) = 0

→ a_y dθ₂/cos²θ₁ + b_y dθ₂/cos²θ₂ = 0

    → a_y dθ₂/cos²θ₁ = - b_y dθ₂/cos²θ₂ (2)

Inserendo la (2) in (1):

_ay/