Controllo lungo una traiettoria di un robot mobile su ruote

Controllo lungo una traiettoria di un robot mobile su ruote

Facoltà e dipartimento

Facoltà di Ingegneria dell’Informazione, Informatica e Statistica
Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale “Antonio Ruberti”
Corso di laurea in Ingegneria Informatica e Automatica

Informazioni autore

Leonardo Manni
Matricola 1666183

Relatore

Paolo Di Giamberardino

A.A. 2018-2019

Indice

• Sommario 2
• Sommario 3
• Indice delle figure 5
• Introduzione 6
• CAPITOLO 1 7
  • Descrizione del sistema 7
  • Uniciclo 7
  • Car-Like 9
• CAPITOLO 2 14
  • Pianificazione 14
  • Inseguimento di traccia 15
  • Approssimazione linearizzata 17
• CAPITOLO 3 19
  • Controllo 19
  • Azione proporzionale 20
  • Azione integrativa 20
  • Azione derivativa 20
• CAPITOLO 4 22
  • Controllore P 22
  • Controllore PI 25
• CAPITOLO 5 30
  • Tecniche di controllo alla Lyapunov 30
• Conclusioni 32
• Bibliografia 33
• Programmi software 33
• Ringraziamenti 34

Indice delle figure

• Figura 1: veicolo di tipo uniciclo 8
• Figura 2: veicolo di tipo car-like 10
• Figura 3: veicolo di tipo biciclo 10
• Figura 4: traiettoria generica 15
• Figura 5: schema a blocchi di un controllore PID 19
• Figura 6: realizzazione del sistema non lineare “biciclo” 22
• Figura 7: editor Matlab per controllore P 23
• Figura 8: schema complessivo del sistema linearizzato con controllore P 23
• Figura 9: schema controllore P 23
• Figura 10: andamento y, θ, φ per t=10s con Kp1=3, Kp2=4, Kp3=5 24
• Figura 11: andamento di y, θ e φ per t=10s con Kp1=40, Kp2=40, Kp3=45 25
• Figura 12: editor Matlab per controllore PI 26
• Figura 13: schema complessivo del sistema linearizzato con controllore P 26
• Figura 14: interno controllore PI 27
• Figura 15: interno controllore P 27
• Figura 16: interno controllore I 28
• Figura 17: andamento di y, θ e φ per t=10s con Kp1=40, Kp2=40, Kp3=45, Ki1=3, Ki2=3, Ki3=3 28
• Figura 18: andamento di θ per t=10s con Kp1=40, Kp2=40, Kp3=45, Ki1=1000, Ki2=1000, Ki3=1000 29

Introduzione

L’obiettivo di questa tesi è quello di sfruttare le conoscenze acquisite nel corso di studi per effettuare lo studio ed il controllo di un sistema cinematico semplificato. In particolare si andrà a studiare il comportamento cinematico di un robot a 4 ruote, e successivamente, dopo una linearizzazione, verrà effettuata una stabilizzazione tramite feedback su una traiettoria assegnata a priori.

Nel primo capitolo verrà trattato l’argomento dal punto di vista cinematico, partendo dal caso semplice dell’uniciclo fino ad estenderlo al caso quattro ruote.

Nel secondo capitolo verrà affrontato il tema della pianificazione di una traiettoria ammissibile per un robot mobile su ruote.

Nel terzo capitolo verrà discusso il problema del controllo e verrà presentato il controllore PID, applicato poi nel capitolo successivo per effettuare le varie simulazioni in Simulink.

Infine, nell’ultimo capitolo verrà introdotto un metodo di controllo alternativo a quello usato nelle simulazioni.

CAPITOLO 1

1.1 Descrizione del sistema

In questo capitolo forniremo una descrizione del robot ed andremo a ricavare un sistema cinematico che descrive il robot stesso. Un robot mobile è una macchina automatica in grado di muoversi nell’ambiente che la circonda. Dal punto di vista cinematico i robot mobili su ruote sono sistemi non olonomi. I sistemi non olonomi sono caratterizzati da equazioni di vincolo sulle velocità delle variabili che descrivono il sistema. Queste equazioni non sono integrabili e tipicamente compaiono quando il sistema ha un numero di controlli inferiore al numero dei gradi di libertà.

Ad esempio un robot di tipo automobile ha due controlli, la velocità lineare ed angolare, mentre le variabili che descrivono l’evoluzione del sistema sono tre, ad esempio la posizione cartesiana di un suo punto e l’assetto.

1.2 Uniciclo

Introdurremo il problema trattando il caso più semplice, quello dell’uniciclo. Si consideri quindi un veicolo che si muove nel piano, cui sia fissata una sola ruota, di asse parallelo al piano, e libera di ruotare attorno al proprio asse ed attorno ad un asse perpendicolare al piano e passante per il punto di contatto sul piano stesso. Si supponga inoltre che la ruota si opponga a qualsiasi traslazione nella direzione parallela al proprio asse.

Figura 1: veicolo di tipo uniciclo

Scegliendo come coordinate del veicolo, dove la coppia (x, y) indica la posizione proiettata sul piano del centro della ruota, e l’orientazione della ruota rispetto all’asse delle ascisse. Il vincolo imposto dalla ruota alla traslazione del veicolo è espresso nella forma: \(\dot{y} = \tan{\theta}\dot{x}\). Quindi si ha la seguente forma Pfaffiana: \(\dot{\mathbf{q}}\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\tan{\theta} & 0 \end{array}\right]\dot{\mathbf{q}} = \left[\begin{array}{c} v \\ \omega \end{array}\right] = 0\).

La matrice dei vincoli cinematici A(q) ha rango uno, quindi il suo spazio nullo avrà dimensione pari a due. Una base delle velocità compatibili con il vincolo è ad esempio: \(\mathbf{v} = S(q) = \left[\begin{array}{cc} v & \nu \\ 0 & 0 \end{array}\right]\)

La prima componente v, corrispondente alla prima colonna di S(q) che è diretta perpendicolarmente all’interasse delle ruote, rappresenta infatti la velocità di avanzamento del veicolo, v, mentre ν corrisponde alla velocità angolare, ω, attorno all’asse verticale passante per (x, y).

Quindi la precedente equazione può essere riscritta nel seguente modo:

\(\dot{\mathbf{q}} = \left[\begin{array}{c} \cos{\theta} \\ \sin{\theta} \\ 0 \end{array}\right] v + \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \nu\)

1.3 Car-Like

Ora estendiamo il concetto del paragrafo precedente ed andiamo a considerare un quadriciclo. Un quadriciclo è composto da due ruote fisse sull’asse posteriore e due ruote orientabili sull’asse anteriore. Il sistema è controllato da due motori, uno determina la trazione (anteriore o posteriore) e l’altro lo sterzo. Sotto il punto di vista cinematico l’automobile ha lo stesso modello del biciclo.

Un biciclo è un veicolo con due ruote, di cui una, che considereremo come quella anteriore, è orientabile, cioè può ruotare attorno ad un asse perpendicolare al piano e passante per il punto di contatto della ruota stessa sul piano, mentre l’asse della seconda ruota, quella posteriore, è fissato perpendicolarmente al segmento che unisce i punti di contatto delle ruote.

Figura 2: veicolo di tipo car-like

Figura 3: veicolo di tipo biciclo

Per costruire il modello si usano le coordinate generalizzate (x, y, θ), dove (x, y) sono le coordinate cartesiane del punto medio del veicolo.