Teoria per l'esame di Analisi matematica II

FUNZIONI da CONOSCERE:

• f(x,y) = d₂(x²+y²) CONO
• x² + y² + z² = R² SFERA
• f(x,y,z) = √R² - x² - y² CALOTTA SFERICA SUPERIORE
• f(x,y,z) = - √R² - x² - y² CALOTTA SFERICA INFERIORE
• f(x,y) = d(x²+y²) PARABOLOIDE di ROTAZIONE

DERIVATA DIREZIONALE

f: D → R, D ⊆ Rⁿ con f definita almeno in un intorno di un certo P₀ ∈ D e v ∈ Rⁿ con ||v|| = 1

Si definisce derivata direzionale di f(P₀) nella direzione v la quantità

d(f(P₀))^v = lim_t→0 [f(P₀ + tV) - f(P₀)] / [||v|| t]

DIFFERENZIABILITÀ

• Se f = f(x₁,..., x_n) definita almeno in un intorno di P₀ ∈ Rⁿ e φ (x₁,..., x_n) è una funzione affine ovvero φ(x₁,..., x_n) = a_x+a_z+...+a_nx (cioè il suo grafico è un piano), diciamo di il grafico di φ, cioè il piano X_n+2 + φ(x₁,...,x_n) è tangente al grafico di f nel punto (P₀, f(P₀)) se l'errore di approssimazione E(P) = |f(P) - φ(P)| verifica la condizione

E(p) = o(|P - P₀|) per P → P₀ cioè lim_P0→P (E(P))/|P - P₀| = 0 |f(P) - φ(P)|/|P - P₀| → MP:P₀

- Se \( \exists f (P_0), \ldots \frac{df (P_0)}{dx_n} \) il vettore \( \nabla f (P_0) = \left( \frac{df (P_0)}{dx_1}, \ldots, \frac{df (P_0)}{dx_n} \right) \)

Si chiama gradiente di \( f \) nel punto \( P_0 \).

Il piano tangente (se esiste) ha equazione:

\( x_{n+1} = f (P_0) + \nabla f (P_0) \cdot (P - P_0) \)

CRITERIO di DIFFERENZIABILITÀ

Se le derivate parziali di \( f \) esistono in un intorno di \( P_0 \) e sono continue in \( P_0 \),

allora esiste il piano tangente al grafico di \( f \) in \( (P_0, f (P_0)) \) e ha equazione

\( x_{n+1} = f (P_0) \nabla f (P_0) \cdot (P - P_0) \)

Inoltre vale lo sviluppo di Taylor all'ordine I:

\( f (P) = f (P_0) + \nabla f (P_0) \cdot (P - P_0) + o (\| P - P_0 \|) \) per \( P \to P_0 \)

TAYLOR II ORDINE

Se \( f \) è di classe \( C^2 \) in un intorno \( (x_0, y_0) \), allora vale lo sviluppo:

\( f(x, y) = f(x_0, y_0) + \nabla f (x_0, y_0) (x-x_0, y-y_0) + \frac{1}{2} (x-x_0, y-y_0) H_{xy} \begin{pmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{pmatrix} \) +

\( + \, o (\| x-x_0, y-y_0 \|^2) \) per \( (x, y) \to (x_0, y_0) \)

Dove \( H \) è la matrice Hessiana: \( H (P_0) = \begin{bmatrix} f_{xx}(P_0) & \cdots & f_{xx_n}(P_0) \\ \vdots & & \vdots \\ f_{x_nx}(P_0) & \cdots & f_{x_nx_n}(P_0) \end{bmatrix} \)

Dove _zmin = -2, _zmax = 1 e S_z è un cerchio di raggio variabile

R(z) =

• ¹/₂ (z + 2)    -2 ≤ z ≤ 0
• ^√1 - z²    0 ≤ z ≤ 1

CAMBIAMENTI di VARIABILI

• Coordinate cilindriche:   x = r cosθ,   y = r sinθ,   z = z   => |_Jac(x,θ,z)| = r
• Coordinate sferiche:   x = r cosθ sinφ,   y = r sinθ sinφ,   z = r cosφ

=> |_Jac(r,θ,φ)| = r² sinφ

SUPERFICI in R³

DEF. Sia Ω un dominio in R²; si chiama "superficie in R³" un'applicazione/funzione S: Ω → R³ (di classe almeno C¹) con S(u,v) = (X(u,v), Y(u,v), Z(u,v))

IL PRODOTTO FONDAMENTALE

Se i due vettori tangenti alla curva P_u = (dX(u,v)/du, dY(u,v)/du, dZ(u,v)/du) e P_v = (dX(u,v)/dv, dY(u,v)/dv, dZ(u,v)/dv) sono LINEARMENTE INDIPENDENTI, allora le loro combinazioni lineari generano il piano tangente alla superficie nel punto P.

DEF. La superficie S(u,v) = (X(u,v), Y(u,v), Z(u,v)) si dice REGOLARE se il prodotto vettore P_u × P_v = P_u × P_v = (P_u(u,v) × P_v(u,v)) è diverso dal vettore identicamente nullo.

Nota: se S è regolare, allora P_u × P_v è normale alla superficie e al piano tangente in P. La superficie si dice orientata se abbiamo specificato la scelta del versore normale:

n̂(u,v) = P_u × P_v / |P_u × P_v| oppure -n̂(u,v) = P_v × P_u / |P_v × P_u|

DEF. Sia S: Ω → R³ una superficie regolare e sia f: R³ → R una funzione continua (f(x,y,z) deve essere definita e continua almeno nei punti P della superficie) Allora si definisce l'integrale di f sulla superficie S:

∬_S f(X,Y,Z) dσ := ∬_Ω f(X(u,v), Y(u,v), Z(u,v)) ⋅ |P_u × P_v| dudv

CRITERI del CONFRONTO

Siano Σa_n e Σb_n due serie a termini positivi:

1. Se a_n ≤ b_n ∀n ≥ n', allora:
   • se Σa_n = +∞, allora Σb_n = +∞
   • se Σb_n converge, allora Σa_n converge
2. Se a_n ~ b_n per n → ∞ (cioè se lim (n → ∞) a_n/b_n = 1), allora Σa_n e Σb_n hanno lo stesso comportamento: entrambe divergenti o entrambe convergenti
3. Se a_n = o (b_n) per n → ∞ (cioè lim (n → ∞) a_n/b_n = 0), allora:
   • Σb_n converge, allora Σa_n converge
   • Σa_n diverge, allora Σb_n diverge

CRITERIO del RAPPORTO

a_n > 0, posso considerare il limite lim (n → ∞) a_n+1 / a_n = L

1. Se L esiste e L ∈ [0,1), allora Σa_n converge
2. Se L esiste e L ∈ (1,+∞), allora Σa_n diverge
3. Se L = 1 oppure se L ∉ ℝ, allora il criterio è inapplicabile

SERIE di POTENZE

Serie con un parametro x, del tipo:

∑_n=0^∞ a_n (x-x₀)ⁿ

• a_n = coefficiente della serie di potenze
• x = variabile
• x₀ = "centro della serie"

CASO IMPORTANTE

- ∑_n=0^∞ (x-x₀)ⁿ dove a_n ≡ 1 → ∑_n=0^∞ (x-x₀)ⁿ = 1 ∕ 1-(x-x₀) = 1 ∕ 1-x₀∀x∈(x₀-1, x₀+1)

DEF

Data una serie di potenze, l'insieme D = {x∈ℝ : la serie ∑_n=0^∞ a_n(x-x₀)ⁿ

converge} si chiama INSIEME di CONVERGENZA della serie di potenze

Nota

D ≠ ∅ ∀ serie di potenze perché x₀∈D

LEMMA

Se una serie di potenze ∑_n=0^∞ a_n(x-x₀)ⁿ converge per x ≠ x₀ (cioè

se x∈D e x ≠ x₀), allora automaticamente la serie converge

assolutamente (quindi converge) anche per tutti gli x tali che

|x-x₀| ≤ |x' - x₀| cioè in tutto l'intervallo aperto centrato in x₀ e di

raggio |x' - x₀|

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x₀converge

CONVERGE

converge

x'

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COROLLARIO

L'insieme di convergenza D è sempre un intervallo centrato in x₀, avente un raggio R dato da

R = Sup{ |x' - x₀|, al variare di x∈D}