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Ellisse:
- Centro in (0,0):
x / a + y / b = 1
Vertici: (±a,0) e (0,±b)
- Non con centro in (0,0):
(x-x₀) / a + (y-y₀) / b = 1
a e b lunghezze dei semiassi
Iperbole:
- Interseca asse X:
x / a - y / b = 1
Asintoti: y = ± b / a x
- Interseca asse Y:
x / a - y / b = -1
Asintoti: y = ± b / a x
- Equilatera:
xy = c
Vertici: A₁(-√c, -√c) ; A₂(√c, √c) c>0
Se Δ = b2 - 4f = 0
Teorema: sia xe∈ℝ t.c.
g(x) = (x - x₁)al → ∃ A, B ∈ ℝ t.c.
dx + e = A/x2 + bx + f + B/(x - x₁)2
Dim: dx + e = A(x - x₁) + B
x = x₁ ; dx + e
coefficente (x): d = A
∫ dx + e/x2 + bx + f dx = A ∫ 1/x - x₁ dx + B ∫ 1/(x - x₁)2 dx =
A ln|x - x₁| - B/x - x₁ + c
Se Δ = b2 - 4f < 0 (Metodo "lm-aactg")
Teorema: ∃ A, B, C ∈ ℝ t.c.
x2 + bx + f = A [1 + (Bx + C)2]
Dim: x2 + bx + c = A [1 + B2x2 + 2BCx + C2] =
AB2x2 + 2ABCx + A(1 + C2) =
- AB2 = 1
- 2ABC = b
- A(1 + C2) = f
(A + 1/4 b2) = F
A + 1/4 b2AB2 = F
A = f - 1/4 b2 = -1/4 (b2 - 4f) = -Δ/4
C = 1/2 bB
ΔB2 ± b B2 = -Δ/4 ⇒ B = ± 2/A - Δ
Esistono | Trovato B troviamo C ed A è fisso.
∫ dx + e/x2 + bx + f dx = d ∫ 2/x2 + bx + f = d ∫ 2x + 2e/d - b/x2 + bx + f dx
= d/2 ln|x2 + bx + f| + d/2A arctg (Bx + C) + K
Matrici:
- Se A è una matrice con termine incognito X per separare questi termini per cui non è un autovettore si usa: Ax + λx = xx con v != 0.
- Il sistema produrrà termine e autovalore.
- Matrice liquualizzabile: P^−1xP è autoval. distinit A' o H.G.
- Matrice ortogonale: UU^T I
- Matrice simile: A = det(A)
Grahm Schmidt (trovare base ortogonale):
- u1 = v1
- u2 = v2-(v2.u1/u1.u1)u1
- u3 = v3-(v3.u1/u1.u1)u1-(v3.u2/u2.u2)u2
Dim Im A = dim Ker(A) , A, B hanno base sono vett. stesso numdim.
Key=Nucleo (sottoinsieme BI {V: {(B+W)})}, portento di tutti i vettori di un pavlo)
- Dimkey = maxA (sistema generale e sostituisco gli sotto numero base).
- Surrettivi: Lnum(B) = N, C(I) = pq
- Iniettivi: dim(Ker(A)) = 0
- Cambiamento base: AJ: v=Cv' , Auv=Cuv
Curve:
- Retta: [y0 + t (x-x1), y + t (y1-y)]
- Circonferenza: x2+y2-r2=0 con m>0
- Iperbole: x2/a2 - y2/b2 = 1 (asi, coniugati x y = 0)
- Ellisse: x2/a2 + y2/b2 = 0 se stesso cir.
- Chiusura: se kyik1(x'j)=(j+u)(j+k)*
- Area calcolata: F(x1−y1)'
- Volume: se P(x,y)dx e Q dy usiamo Green x (v)
- Lunghezza: I = ∫ab, (1+p(x)2)0.5dx
- Ascissa curva: Trovare F' 2-1 delle F
Funzioni:
Continuità:
- lim f(x)= f(x0)
Derivabile in un punto: lim (x0+x-x-x f(x)
Esistenza der (parziale) {lim sum dya h'(h(x)(x0)
Esiste e finita — x thermique
Differenziabile:
- Derivate: Parziale continue
Piano tangente:
G: tentrale 2-Differentiabile, j Derivare il punto div(xo(yoj)
Derivata direzionale: D
In un punto (x0,y0) lungo vedo i dip + β
Gradiente: è la una veloc per il punto 4.
Retto tangente: trovo gradiente e dipetto r
Campi Vettoriali
Def: Un campo vettoriale è una funzione che a ogni punto dello spazio fisico e in ogni istante assegna un vettore (può essere velocità, forza...ecc.)
Noi faremo campi di forze che non dipendono dal tempo.
Campo di Forze: Funzione g : I x R^m → R^m
t ∈ I x (R^m) → F(x) = F1(t, x) ... Fm(t, x)
Non faremo solo m=2, m=2 o m=3, m=3
Un campo vettoriale appare così:
F(x, y, z) = X(x, y, z)i + Y(x, y, z)j + Z(x, y, z)k
- Sono dette rispettivamente divergenza di F e rotore di F le seguenti:
- div F(x, y, z) = Xx + Yy + Zz
- rot F(x, y, z) = (Zy - Yz)i + (Xz - Zx)j + (Yx - Xy)k
Un campo vettoriale F si dice irrotazionale se rotF è identicamente nullo, e si dice solenoidale se divF è nullo. In più se regolare div(rotF) = 0.
Dominio Connesso o Semplicemente Connesso:
Vediamo cosa significa in R^2 e in R^3:
R^2R^3Connesso
Immaginando una corda non spezzata è connesso un dominio in cui questa corda non può chiudersi ad un punto senza spezzarsi ad esempio:
Semplicemente Connesso
Se ogni linea chiusa può essere ridotta ad un solo punto: un esempio è un semplice cerchio:
Connesso
Il ragionamento è lo stesso di quello in R^2. Connesso se esiste almeno una corda che non può essere ricondotta ad un punto:
Semplicemente Connesso
Se ogni corda può essere ridotta ad un solo punto. Come una sfera:
EQUAZIONI LINEARI E A VARIABILI SEPARATE:
Un esempio del secondo tipo è: yʹ=f(t)g(y)
In questo caso si fa la separazione di variabili; prima si verifica l'esistenza di funzioni costanti (g(y)=0), in questo caso saranno soluzioni y(t) e vent
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