Teoremi asintotici e convergenza

CONVERGENZA IN PROBABILITA’

Definizione:

Si dice che {X (.)} converge a X(.) in probabilità se vale che

n

In qualche modo qui stiamo dicendo qualcosa sull’errore, sulla differenza tra

, potrei considerare X come approssimazione di e chiedermi l’errore

che si commette se prendo X come approssimazione di e accorgermi che

la probabilità che il modulo di questo errore sia minore o uguale a tende a 1

quando n va a infinito, quindi sono legittimato a usare X in sostituzione di

purché n sia abbastanza grande.

Osservazioni:

·5 Questa è una nozione di convergenza più forte della precedente, infatti

si può dimostrare che convergenza di probabilità =>convergenza in

distribuzione ma non vale il viceversa

Tuttavia anche questa non è una convergenza di quelle più forti perché

anche in questo caso non c’è una convergenza di variabili casuali ma

ciò che converge è una successione di numeri, in particolare converge

la successione delle probabilità indicate

·6 Ciò che converge non solo le variabili casuali ma la successione di

numeri { }

CONVERGENZA IN MEDIA QUADRATICA

Definizione:

Si dice che {X } converge a X(.) in media quadratica se

n

quando si verifica questa forma di convergenza si dice che il l.i.m. X =X dove

n

l.i.m. indica il limit in the mean.

Per capire questa forma di convergenza mi conviene ragionare sulla variabile

casuale errore, quindi definisco una Y =X -X dove X è la variabile casuale

n n

limit e X è l’n-esimo valore della successione. Nel termine sto

n

considerando il valore quadratico medio di Y, esso è una misura della

dispersione di Y intorno all’origine, quindi quello che si sta dicendo è che se

vado a studiare la densità di probabilità di Y , al crescere di n questa densità

n

di proabbilità è sempre meno diispersa intorno all’origine, quindi di fatto il

suo valore quadratico medio che misura la concentrazione di questa densità

intorno all’origine è sempre più piccola, cioè la densità diventa sempre più

stretta intorno all’origine, al limite tenderà ad una delta id Dirac:

Al crescere di n abbiamo che il valore quadratico medio tende a 0, questo mi