Teoremi asintotici e convergenza

Convergenza in probabilità

Definizione

Si dice che {X (.)} converge a X(.) in probabilità se vale che: in qualche modo qui stiamo dicendo qualcosa sull'errore, sulla differenza tra, potrei considerare X come approssimazione di e chiedermi l'errore che si commette se prendo X come approssimazione di e accorgermi che la probabilità che il modulo di questo errore sia minore o uguale a tende a 1 quando n va a infinito, quindi sono legittimato a usare X in sostituzione di purché n sia abbastanza grande.

Osservazioni

• Questa è una nozione di convergenza più forte della precedente, infatti si può dimostrare che convergenza di probabilità implica convergenza in distribuzione, ma non vale il viceversa.
• Tuttavia, anche questa non è una convergenza delle più forti perché anche in questo caso non c'è una convergenza di variabili casuali ma ciò che converge è una successione di numeri, in particolare converge la successione delle probabilità indicate.
• Ciò che converge non sono solo le variabili casuali ma la successione di numeri { }.

Convergenza in media quadratica

Definizione

Si dice che {X } converge a X(.) in media quadratica se, quando si verifica questa forma di convergenza, si dice che il l.i.m. X = X dove l.i.m. indica il limit in the mean. Per capire questa forma di convergenza mi conviene ragionare sulla variabile casuale errore, quindi definisco una Y = X - X dove X è la variabile casuale limit e X è l'n-esimo valore della successione.

Considerando il valore quadratico medio di Y, esso è una misura della dispersione di Y intorno all'origine, quindi quello che si sta dicendo è che se vado a studiare la densità di probabilità di Y, al crescere di n questa densità di probabilità è sempre meno dispersa intorno all'origine. Di fatto, il suo valore quadratico medio, che misura la concentrazione di questa densità intorno all'origine, è sempre più piccolo, cioè la densità diventa sempre più stretta intorno all'origine, al limite tenderà ad una delta di Dirac: al crescere di n abbiamo che il valore quadratico medio tende a 0.