Geometria - Teoremi

APPROPOSIZONE SU AUTOVETTORI E AUTOVALORI

1) Dobbiamo dimostrare che dato un autovettore v, l'autovettore λ corrispondente è unico. Quindi, per assurdo che ne sia un altro. Allora () = μv ⇒ v ≠ 0 λ = μ. λv = f(v). Dato che

2) Dobbiamo dimostrare che se ci sono m autovettori con relativi m autovalori tutti distinti, allora gli m vettori sono tutti l.i. Quindi procedo per vm=1, m-1 → induzione su m. Se è l.i. Sia vero per. Pongo

1() ⇒ 0 = f(v) + … + c = c + c v … + c v c v v λ v … + c λ v1 1 m m 1 1 m m 1 1 1 m m m + … + c = 0 λ c λ v … + c λ v λ v … + c λ v c λ v … + c λ λ v

Poi se moltiplico la stessa c.l. per ottengo:. Quindi

m 1 m m m ⇒ () () ⇒ + = c + −λ + − = 0 c λ v … + c λ v λ v … + c λ v c λ v … + c λ λ v

−11 1 1 m m m 1 m 1 m m m 1 1 m 1 m−1 m−1 m m∀ =…=c =0λ ≠ λ , i ≠ i c
Per ipotesi Quindi per ipotesi induttiva. Segue chei j 1 m−1⇔c=0 =0c v
Quindi sono tutti l.i.m m m3) Dobbiamo dimostrare che l’autospazio è sottospazio vettoriale di V e che( ) ∀ ∈V−λIker f d . vè uguale a Quindi sia ,v λ( ) ( )( )=λv ( )−λv=0 ( )=0⇔ ⇔ ⇔ ∈ker−λI −λIf v f v f d v v f d .v v( )−λI( )∈ ker f df , I d End V quindi è sottospazio vettoriale di V.vv
TEOREMA 51) Dobbiamo dimostrare che la somma tra le dimensioni dei sottospazi èminore di n. Denotiamo con{ }( )≔d dim V , v ,… , v Vsia base di . Basta dimostrare che tutti i vettorii λ i ,1 i , d λi i i ∈V=cw v ,+…+ c vsono l.i. quindi scrivo una c.l. e la pongo 0. Denoto con .i i ,1 i ,1 i , d i ,d λi i i+ =0w

Quindi segue che , e dal punto 2 della proposizione segue che1 k=…=w =0,w perché se non fossero tutti 0 allora essendo i coefficienti della c.l.1 k =0c v ,+…+ c vwtutti 1 tutti i sarebbero l.d. però devono essere l.i. Quindi i ,1 i ,1 i , d i ,di i iv∀ i=1,… , k . Ed essendo tutti vettori della base di sono tutti l.i.i ⇔f2) Dobbiamo dimostrare che è diagonalizzabile la somma delledimensioni degli autospazi è n. dDimostro prima prendo quindi e i vettori degli autospazi come nel puntoi1. Abbiamo dimostrato che i vettori sono tutti l.i. e per ipotesi la domma delledimensioni degli autospazi è n. Quindi tutti i vettori degli autospazi insiemefformano una base di autovettori per V e quindi è diagonalizzabile.⇒ fOra dimostro se è diagonalizzabile allora esiste una base B di autovettorifche diagonalizza . Considero il sottoinsieme di B formato dagli autovettori( )≔ ⇒δ ≤ d dim Vv ,

… , v λcon relativo autovalore . Osservo che Quindii i λi , 1 i , δ i iisi ha chen n n∑ ∑ ∑⇒ =nn= δ ≤ d ≤ n di i ik=1 k=1 k=1

PROPOSIZIONE 7 CHE LEGA L’AUTOVALORE AL DETERMINANTE{ }( ) ( )( )∈ ⇔ ⇔−λI −λI =0λ Sp f ker f d ≠ 0 det f d

Dobbiamo dimostrare che v v{ } ( )( ) ( )=λv ( ) ( )∈ ⇔ ∃ ∈V ∖ ⇔ ⇔−λv= −λIλ Sp f v 0 t . c . f v 0=f v f d v Quindi v{ } { }( ) ( )⇔∃ ∈ ∖ ∈ker ⇔− −λIv V 0 t .c . v f λI d ker f d ≠ 0v v−λIf d Ora, essendo un endomorfismo di V, abbiamo per il corollario 2 chev{ }( ) ⇔−λI −λIker f d ≠ 0 f d non è un automorfismo, e per il corollario 4 questo si hav vB ( )⇔ − VM f λI d non è invertibile, dove B è una base di , e sempre per il corollarioB v

&hArr;4 questo si ha( ) ( )B B( ) ( )&hArr;rg &hArr;− <n −λI =0M f λI d det M f dB v B v

PRODOTTI SCALARI E FORME BILINEARI

PROPOSIZIONE 3 SUL PRODOTTO SCALARE USANDO LA MATRICE

Vogliamo provare che se λ sono le coordinate di v rispetto a una base B di V e μ sono le coordinate di w rispetto a B, allora:

(v, w) = (λ1, μ1) + (λ2, μ2) + ... + (λn, μn)

Il risultato segue da:

(v, w) = ∑(λi, μi)

PROPOSIZIONE 4 PER LA SIMMETRIA DI G

Se G(v, v) = G(v, v) per ogni v in V, allora G è simmetrica.

Se G(v, v) = G(v, v) per ogni v in V e la matrice G è simmetrica, allora G è simmetrica.

Sia B = {v1, v2, ..., vn} una base di V.

^λ v .1 1 n n+…+w=μ v μ v .E sia Allora1 1 n n( )n n n n∑ ∑ ∑ ∑( )=g = ∗g (v )= ∗g(v )=g(wg v , w λ v , μ v λ μ , v λ μ , v , v)i i j j i j i j i j j ii=1 j=1 i , j=1 i , j=1 (g)MPROPOSIZIONE 5 PER RICAVARE LA MATRICE C{ } { }B= v , … , v , C= w , … , w .Sia Dobbiamo dimostrare che1 n 1 nt C C( ) ( )( ) ( )∗M c= ∗MM g M I d g I d . Quindi denoto con l’elemento di postoijC B v B B vC ( )(i, M I d .j) di Quindi per definizione ogni elemento della base C si scriveB v=c +w v …+c vcome j 1 j 1 nj n) (g)g(w , w M(i, j)è l’elemento di posto di . Quindii j C( )n n∑ ∑( ) ( )=g +…+ +…+ =g =¿g w , w c v c v ,c v c v c v , c v¿i j 1 i 1 n 1 j 1 nj n ki k lj lk=1 l=1n∑ ( )¿ ∗g ∗cc v , vki i j ljk ,l=1 t C C( )∗M( ) ( )∗MM I d g I dChe corrisponde esattamente all’elemento di posto (i, j)di .B v B B v PROPRIETÀ DELLE NORME

1. Devo dimostrare che √( ) perché g è definita positiva, ed inoltre vale 0 se e solo se ∀ ∈g v , v ≥ 0, v V=0.v
2. Devo dimostrare che √ | |√ 2 | | ( ) ( )== ∗g ∗g cv , cv c v , v c v . 2 2 2| | | | | || | | | |
3. Devo dimostrare che √( )= +2 +v+ w v g v , w w2 2 2| | | | | || | | | | |( )=g ( ) ( ) ( )= ( )=g + +w +2 + +2 +v+ w v w , v v , v g v , w g w , w v g v , w w
4. Disuguaglianda di Cauchy Schwarz: devo dimostrare che| | | | | || | | |( )∀ ∈V ∗v , w , g v , w ≤ v wQuindi sappiamo che 2 2| | | |2 2| | | |( )=g ( )+ ( ) ( ) ( )∀ ∈ + + = +2 +λ R , g v λw v , v 2 λg v , w λ g w , w v λg v , w λ w( )−g v , wλ=Prendo ora 2| || |w2 2 2( ) ( ) ( )2 g v , w g v , w g v , w2 2

2| | | | | || | | | | |⇒ − + = −v w v2 4 2| | | | | || | | | | |w w w2( )g v , w 2 | || | | | | || | | | | |( )⇒ ⇒= ∗v g v , w ≤ v w2| || |w5) Disuguaglianza triangolare: devo dimostrare che| | | | | || | | | | |∀ ∈V +v , w , v+ w ≤ v w2 2 2 2 2| | | | | | | | | || || | | | | | | | | |Quindi osservo che ( ) ( )= +2 + +2 +v+ w v g v , w w ≤ v g v , w w ≤2 2 2| | (| | | |) | | (| | | |)| | | | | | | | | | | |che per il punto 4 + ∗ + = +≤ v 2 v w w v w2 2| | (| | | |) | | | | | || | | | | | | | | | | |⇒ ⇒+w + +w +v ≤ v w v ≤ v w| || | | | | || | | | | | ∀ ∈V−v w ≤ v+ w , v , w6) Devo dimostrare che| || || | | | | | | || | | | | | |

ORTOGONALI L.I.

Devo dimostrare che se n vettori non nulli sono ortogonali allora sono l.i. Quindi faccio il prodotto scalare tra e la combinazione lineare degli n vettori e la pongo uguale a 0.

Applicando le proprietà del prodotto scalare ottengo che:

(v1 • v) + ... + (vn • v) = c1(v1 • v1) + ... + cn(vn • vn) = 0.

I vettori sono ortogonali quindi i prodotti scalari sono tutti 0.

∀i=1, ..., n: ci = 0.

Perché v per ipotesi è non nullo.

PROPOSIZIONE 8 SU COORDINATE RISPETTO A BASE ORTONORMALE

B = {v1, ..., vn} è una base ortonormale per V rispetto al prodotto scalare g.

Devo dimostrare che, se v è un vettore in V, allora per ogni i ho che:

(v • v) = (c1v1 • v1) + ... + (cnvn • vn) = c1(v1 • v) + ... + cn(vn • v).

Scrivo quindi una combinazione lineare di v, allora:

(v • v) = (c1v1 + ... + cnvn • v) = c1(v1 • v) + ... + cn(vn • v).

TEOREMA DI GRAM SCHMIDT

w1, ..., wn è una base di V rispetto al prodotto scalare g.

uno s.v.E., siano vettori l.i. di V. A