Geometria - Teoremi

Teorema di struttura dei sistemi lineari

Sottospazio vettoriale

Biosogna verificare che la somma di ogni coppia di soluzioni di uno SLO è soluzione, così come il prodotto per scalari. Si ha che:

( )' '+s = =0+A* s A*s+ A*s 0=0A*( )=a*( )=a*0=0 na*s A*s

Quindi inoltre S è sottospazio vettoriale di Kn.

Verifica delle soluzioni

Sia s’ una soluzione. Biosogna verificare che è soluzione ∈s K~ ' '' s−s '. Quindi si osserva che . Basta dimostrare che +(s−s )⇔ s=s+s=s s è soluzione dello SLO.

~( ) ( )' ' ' ' n. Sia ora , dimostro ∈=A*s+ −s = =b−b=0 +A* s−s A* A*s−A*s s=s s K~ A*~( )' ' che s è soluzione si SL: + = +A* s s A*s s=b+ 0=b

Proposizione del completamento

Dobbimo dimostrare che dati k vettori l.i. esiste una base tale che questi vettori appartengano alla base. Quindi, essendo V f.g. esistono m vettori che generano V, ma anche gli k+m vettori generano V. Quindi prendiamo tutti i possibili vettori l.i. tra i k+m da mettere nella base e dato che i k vettori sono l.i. sicuramente appartengono alla base.

Formula di Grassmann

Dobbiamo dimostrare che dati due sottospazi di V: U e W, vale la seguente formula:

( ) ( ) ( )−dim ( )+W =dim +dim dim U U W U ∩W

Procediamo fissando prima una base dell'intersezione, la estendiamo a base di U e W, ( )=k ( )=k ( )=k ( )+ + +W =k +n+dim U ∩W dim U n , dim W m dim U m. Devo dimostrare che, ossia dimostro che i k + m + n vettori delle basi formano una base di U + W. Prima di ∈U ∈Wu , w tutto verifico che generino U + W. Scrivo una combinazione lineare di ,=u+wv , raccolgo e ottengo una c.l. Poi dimostro che sono l.i. e scrivo una c.l. di=cv . l . w=c .l . u=c . l. tutti i vettori, ponendo dei k vettori, dei m vettori, dei n ∈W ∈U ∈U ⇒ ∈ ⇒+ −uv w+u=0, w , u+ v , w=−v w U ∩W vettori. I coefficienti della c.l.u+ v=0 di w sono tutti 0, rimangono solo . Questi vettori sono l.i. perché vettori della base di U.

Teorema di Rouche-Capelli

|( )=rg(⇔rg A b A)|

Devo dimostrare che un sistema è compatibile . Quindi, un SL è ( ) ( ) ( )1 n 1 n 1 n compatibile ⇔ ∈ ⇔ =Span b Span A , … , A Span A , … , A A , … , A ,b . ( ) ( ) ⇔1 n 1 n Dato che , vale “ = “ hanno la stessa ⊆Span A , … , A Span A , … , A ,b |( )=rg(⇔ rg A b A) dimensione, cioè n−r Ora devo dimostrare che il SL ha soluzioni. Per il teorema di struttura ∞' dove +WS=s ,{ } { }n n Per il teorema della dimensione ∈ ∈=S= s K : A*s=b , W s K : A*s=0 . ( )=n−rg(dim W A) . ( ) ( ) ∈ ⇒ =n−r w Wr=rg A dim W . Quindi ogni vettore si può scrivere come c.l. di 'n−r n−r vettori, quindi quindi le soluzioni dipendono da parametri +S=s w ,⇒ n−r il SL ha variabili libere.

Teorema di struttura per le applicazioni lineari

Dobbiamo dimostrare prima l'esistenza della AL, poi l'unicità. Quindi prendo un vettore di V e lo scrivo come combinazione lineare della base B. Definisco ( )=λ +f v w …+ λ w , dimostro che è lineare e per definizione si ha appunto che 1 1 n n ( ) ∀=wf v , i . Quindi per dimostrare l'unicità prendo un'altra AL g che soddisfi le i ( ) ( ) ( )( )=f + =λ +…+ =¿f v λ v …+ λ v f v λ f v stesse proprietà. Si ha che 1 1 n n 1 1 n n ( ) ( ) ( )¿ +…+ =λ +…+ =g + =g(v)λ w λ w g v λ g v λ v …+ λ v 1 1 n n 1 1 n n 1 1 n n

Proposizione su nucleo e immagine

1. Devo dimostrare che è sottospazio vettoriale di V. Quindi prendo ∈ ( )v , w ker f . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=a*f ( )=0 ( )⇒ ∈ker ∈ ∈ker=f + =0 +f v+ w v f w v w f . a K , f av v , av f

2. Devo dimostrare che è sottospazio vettoriale di W. Quindi prendo ( ) ( )∃ ∈V =w =wv , v t . c . f v , f v ∈ image(f )w , w . Per definizione di immagine . 1 2 1 2 1 1 2 2 Quindi ( ) ( ) ( )( )∈ ∀ ∈+ =w +w image =a*f =a* w image(f )f v v f . a∈ K , f a*v v 1 2 1 2 1 1 1

3. { }( )= ⇒⇔f è iniettiva ker f 0. Dimostro prima Se f è iniettiva, per definizione ( ) ( ) ∀ ∈Vv ≠ w v , w .f v ≠ f w , se , Allora { }( ) ( ) ( )=∀ ⇒ ∉ker ⇒v ≠0 f v ≠ 0⇒ v f ker f 0 ( )={0} ∈Vv ≠ wker f sia ora . Siano . ( ) ( )⇒v ∉ ⇒ ⇒−w −w (v) (v ≠ 0 ker f f v−w ≠ 0 f ≠ f w)

4. ( )=W⇒ image f. Devo dimostrare che è suriettiva. Questo vale per definizione di funzione suriettiva.

Teorema della dimensione

( )( )=dim ( ) ( )+rgdim V ker f f . ( )ker ⁡ f Devo dimostrare che Fisso una base di di k ( )ker ⁡ f vettori di , la estendo a base di V a k+n vettori. Devo dimostrare che ( ) {f }u , … , f u image(f ) è base di perché così 1 n ( ) ( ) ( ) ( )=k ( ) image =n=rg +n=dim + )dim f f , dim V ker f rg(f . ( ) ( )f u , … , f u image( )f . Prima dimostro che generano 1 n ( ) ( ) ( ) ( )( )=Span(image )f f v , … , f v , f u … , f u Osservo che . Ma i primi k vettori 1 k 1 n appartengono al ker quindi sono 0. Resta da dimostrare che sono l.i. Quindi scrivo una ( ) ( )f u , … , f u c.l. di e la pongo 0. 1 n ∈ker ( )⁡ f Osservo che quindi questa c.l. e si può porre uguale a una c.l. dei vettori della base del ker. Porto tutto al primo membro e raccolgo. Osservo che sono tutti l.i. perché vettori della base di V.

Corollari

• Corollario 1: ( )=n−rg ( )dim W A
• Corollario 2: ( )=dim ( )dim W V

Se le 3 affermazioni sono equivalenti: { }( )=ker f 01) (è iniettiva) ( )=W image f 2) (è suriettiva) f 3) è un isomorfismo 1⇒ 2 Dimostriamo prima quindi per il Teorema della Dimensione ( ) ( ){ }( )( )=dim ( )=dim ( ) ( ) ( )= ( ) ( ) ( )=W⇒dim ⇒+dim image =dim image image dim V W ker f f . ⇒ ker f 0 W f f . ⇒ f Sia ora vera 2 (o 1), quindi vale 1 (o 2) quindi è un isomorfismo. Sia ora vera 3 e per definizione sono valide 1 e 2.

Proposizione sul calcolo di coordinate con matrice

B C(v )f Dobbiamo dimostrare che le coordinate di rispetto a C sono il vettore dato dal B ( ) prodotto righe per colonne tra per il vettore delle coordinate di v rispetto a B. M f C=λ +…+v v λ v Quindi scrivo 1 1 n n ( ) ( ) ( )( )=f + =λ +…+ =¿f v λ v …+ λ v f v λ f v 1 1 n n 1 1 n n ( ) ( )¿ + +…+ +…+ =¿λ a w …+a w λ a w a w 1 11 1 m 1 m n 1 n 1 mn m ( ) ( )¿ + + +a λ …+a λ w …+ a λ …+ a λ w 11 1 1 n n 1 m 1 1 mn n m ( )+…+a Ba λ λ w ( )E si osserva che è l’ i-ma riga del prodotto tra e il vettore M f ¿ ¿ 1 n i C delle coordinate λ.

Corollario 3 per il calcolo di ker e im

1. ( )ker ⁡ f1) Bisogna dimostrare che è formato dai vettori che hanno come B ( )*λ=0 coordinate λ t.c. .M f C B( )=0 ( )*λ⇔=λ +…+Sia quindi , per la proposizione. La 2) segue in v v λ v . f v 0=M f 1 1 n n C modo analogo.

2. ( )CB( )=rg ( )3) Dobbiamo dimostrare che Dal punto 2 segue che rg f M f . B ( ))=dim( image(f ))=dim (image(L ))=rg(M ).rg( f f CB ( )M fC

Proposizione 3 quella lunga

Siano spazi vettoriali U, V, W. Sia { }D= u , … , u base di U 1 p { }B= v , … , v base di V 1 n { }C= w , … , w base di W 1 m ( )∘g :U → V , f :U →W . f g :U → W Siano È quindi definita la composta, allora D B D( )=M ( )*M∘ (M f g f g)C C B

DIM: ∀ ∀i=1, … , m , j=1 ,… p , Andremo a dimostrare che si ha che n[ ] [ ] [ ]∑D CB D( ) ( ) ( )