Analisi matematica - Teoria e dimostrazioni dei principali teoremi

ANALISI MATEMATICA

Questa definizione non è altro che quella per funzioni di una variabile, opportunamente adattata. Abbiamo

tuttavia due risultati in più da enunciare. Prima definiamo i concetti di insieme di sopralivello e sottolivello.

Ricordando la definizione di insieme di livello

()

= { ∈ : () = }

⊂ ℝ : → ℝ

siano un sottoinsieme non vuoto e una funzione, definiamo l’insieme di sopralivello

+ ()

= { ∈ : () > }

e l’insieme di sottolivello − ()

= { ∈ : () < }

: ℝ → ℝ ∈ ℝ

Possiamo enunciare la seguente proposizione: sia una funzione continua, allora per ogni

+ −

() () ()

e sono aperti e è chiuso.

+ +

() ()

Dimostriamo che è aperto: se è vuoto, sappiamo già che l’insieme vuoto è aperto, quindi

+ +

() () ( )

≠ ∅; ∈

possiamo supporre vogliamo quindi dimostrare che per ogni esiste una palla

tale che +

( ) ()

⊂

+ (),

∈

Sia per definizione di insieme di sopralivello sappiamo che

)

( >

Sfruttando ora la continuità di possiamo dire che )

lim () = ( >

→

() = () − ,

in particolare, se definiamo questa è ancora continua e vale

)

lim () = ( = () − > 0

→ ( )

Applicando la permanenza del segno strong, abbiamo che esiste una palla tale che

( )

() > 0, ∀ ∈

()

ovvero, ricordando come abbiamo definito ( )

() > , ∀ ∈

In altre parole abbiamo dimostrato che per ogni appartenente alla palla, lo stesso è contenuto

nell’insieme di sopralivello + (), ( )

∈ ∀ ∈

ovvero +

( ) ()

⊂

come volevamo. Per dimostrare che anche l’insieme di sottolivello è aperto potremmo ripetere lo stesso

ragionamento, oppure osservare che

− +

{ {

() (−)

= ∈ : () < } = ∈ : −() > −} =

− 14

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−.

in altre parole, ogni sottolivello di una funzione continua è scrivibile come sopralivello di Per quanto

− ()

dimostrato nella prima parte, è aperto. Infine ci resta da dimostrare che l’insieme di livello

{

()

= ∈ : () = }

è chiuso. Per farlo basta osservare che l’insieme di livello è il reciproco dell’unione degli insiemi di sopralivello

e sottolivello + −

() () ())

= ℝ \( ∪

Per definizione di insieme chiuso, otteniamo la tesi.

: ℝ → ℝ ∈ ℝ

Il secondo risultato è il seguente corollario: sia una funzione continua, allora per ogni gli

{ {

∈ : () ≥ } ∈ : () ≤ }

insiemi e sono chiusi. La dimostrazione è immediata, dato che gli

insiemi appena considerati sono i complementari degli insiemi di sottolivello e sopralivello, rispettivamente.

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Estremi superiore e inferiore ℝ:

Iniziamo considerando E sottoinsieme numerico non vuoto di

• ∈ ℝ ∈

M è detto maggiorante se per ogni x E ho che x ≤ M

• ∈ ℝ ∈

m è detto minorante se per ogni x E ho che x ≥ m

Potremmo quindi dire che E è limitato superiormente se ammette un maggiorante, è limitato inferiormente

se ammette un minorante, è limitato se è sia limitato superiormente che limitato inferiormente.

Si definisce estremo superiore di E come, se E è limitato superiormente, come il più piccolo tra i maggioranti

M sup E = M

Se E non è limitato superiormente, l’estremo superiore è +∞

sup E = +∞

Si definisce estremo inferiore di E come, se E è limitato inferiormente, come il più grande tra i minoranti m

inf E = m

Se E non è limitato inferiormente, l’estremo inferiore è -∞

inf E = -∞

Osserviamo che queste definizioni a priori potrebbero essere mal poste: potrebbe infatti non esistere il più

piccolo tra i maggioranti o il più grande tra i minoranti, e in tal caso le definizioni non avrebbero senso. Il

seguente teorema elimina questo inconveniente.

Sia E ⊂ tale che E ≠ ∅. Se E è limitato superiormente, esiste il più piccolo tra i suoi maggioranti; se E

ℝ è limitato inferiormente, esiste il più grande tra i suoi minoranti

La dimostrazione si basa sull’uso dell’Assioma di Continuità:

[ ]

Sia una successione di intervalli chiusi, aventi la seguente proprietà

= , ⊂ ℝ

coincide con una delle due metà di , per ogni

∈ ℕ

+1

Allora esiste uno ed un solo che appartenga a tutti gli intervalli , ovvero

∈ ℝ

0

= ∩ ∩ ∩ … ∩ … = { }

⋂ 1 2 3 0

∈ℕ

Iniziamo scegliendo due punti e con le seguenti proprietà:

0 0

• è un maggiorante di E (esiste perché stiamo assumendo che E sia limitato superiormente);

0

• non è un maggiorante di E (visto che E non è vuoto, conterrà almeno un elemento x, allora

0

possiamo scegliere x-1 come punto ).

0 [ ]

= ,

Consideriamo quindi l’intervallo chiuso . Dividiamolo in due tramite il suo punto medio e

0 0 0

[ ],

= ,

prendiamo il nuovo intervallo dove

1 1 1

+

• 0

= =

e se quest’ultimo è un maggiorante di E

1 0 1 2

+

• 0

= =

e se invece il punto medio non è un maggiorante di E

1 1 0

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Si procede in modo iterativo in questo modo, dividendo ad ogni passo in due l’intervallo e prendendo la metà

in cui l’estremo di sinistra non è maggiorante, mentre il secondo lo è. Si costruisce così una successione di

intervalli dimezzati , che in base all’Assioma di continuità contengono uno ed un solo punto in comune,

∈ ℝ

ovvero esiste tale che

0 = { }

⋂ 0

∈ℕ

Il punto è l’estremo superiore di E.

0 { } ⊂ ℝ

Anche alle successioni è applicabile il concetto di “limitata”: una successione si dice

∈ℕ

• ∈ ℝ ≤ ∈ ℕ.

limitata superiormente, se esiste M tale che per ogni

Si definisce inoltre sup = sup{ : ∈ ℕ}

con la usuale convenzione che sup = +∞

se la successione non è limitata superiormente;

• ∈ ℝ ≤ ∈ ℕ.

limitata inferiormente, se esiste M tale che per ogni

Si definisce inoltre inf = inf{ : ∈ ℕ}

con la usuale convenzione che inf = −∞

se la successione non è limitata inferiormente;

• limitata, se è sia limitata superiormente che inferiormente 18

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Criteri di convergenza per successioni e serie

Criteri di convergenza per successioni

Criterio del confronto

Siano , e tre successioni. Supponiamo che

{ } { } { }

∈ℕ ∈ℕ ∈ℕ

i. esista tale che

∈ ℕ ≤ ≤

ii. e non siano irregolari e valga

{ } { }

∈ℕ ∈ℕ =

→∞ →∞

Allora si ha che = =

→∞ →∞ →∞

{ } { } > 0 , ∈ ℕ

Dall’ipotesi sui limiti e si ha che per ogni esistono due indici tali che

∈ℕ ∈ℕ 0 1

• − < < + ≥

per ogni

0

• − < < + ≥

per ogni

1

},

= max{ , ≥

In particolare, se si sceglie si ha che per ogni valgono contemporaneamente le

2 0 1 2

≤ ≤

due stime precedenti, nonché l’ipotesi . Abbiamo quindi

− < < < < + ≥

per ogni

0

ovvero − < < + ≥

per ogni

0

Dalla definizione di limite abbiamo dimostrato che

lim =

→∞

“Infinitesima vs. Limitata”

Siano una successione limitata e una successione convergente a 0. Allora anche

{ } ⊂ ℝ { }

∈ℕ ∈ℕ

converge a 0.

{ }

∈ℕ > 0

Per ipotesi di limitatezza, si ha che esiste tale che

| | ≤ ∈ ℕ

per ogni

{ } > 0, ∈ ℕ

Dal momento che converge a zero, si ha che per ogni esiste tale che

∈ℕ

| | < ≥

per ogni

Abbiamo dunque che | | | || |

= ≤ ≥

per ogni

> 0 → 0 → ∞.

Visto che era arbitrario, dalla definizione di limite abbiamo quindi che per

Successioni monotone

Sia una successione monotona. Allora la successione non è irregolare, ovvero essa è

{ } ⊂ ℝ

∈ℕ

convergente oppure divergente. Inoltre, vale