Tac

ANALISI DI FOURIER

Il teorema di Fourier afferma che ogni funzione periodica può essere scomposta

nella somma di sinusoidi con specifiche frequenze, ampiezze e fasi.

Trasformata di Fourier

La somma di più sinusoidi riesce a rappresentare qualsiasi segnale periodico.

 Maggiore è il numero di sinusoidi, migliore è la corrispondenza della funzione

 calcolata.

Teorema del campionamento.

 Matlab.



In figura è riportato un esempio: la funzione quadrata periodica. Per riprodurre questa

funzione, si considera inizialmente una sinusoide con lo stesso periodo, in modo che le

due funzioni siano in fase. Si sommano una funzione costante (senza frequenza, f0),

pari alla media della funzione da modellizzare, e la funzione con lo stesso periodo f1.

Aggiungendo una terza sinusoide con frequenza doppia e ampiezza minore, la prima

sinusoide si trasforma. Procedendo in questo modo, l'onda risultante è sempre più

simile alla funzione periodica quadrata.

Un segnale periodico si può scomporre nella somma di sinusoidi con determinata

ampiezza e frequenza (quindi periodo). L'onda deve essere campionata: deve essere

disponibile un numero sufficiente di campionamenti per l'analisi di Fourier.

Il segnale viene digitalizzato con una certa frequenza. Il sensore determina la

frequenza di campionamento e il teorema del campionamento permette di

determinare le frequenze fino alla metà della frequenza di campionamento. Maggiore

è la frequenza di campionamento, più si è precisi nel riprodurre la funzione.

Il segnale può essere rappresentato con una curva di questo tipo: s(t)s(t).

*a0, il valore costante è la media del segnale.

Invece di avere un segnale che varia nello spazio (il detector registra come varia

l’intensità del segnale nello spazio), si può calcolare la frequenza del segnale. Se il

segnale è solo una sinusoide, i parametri sono la frequenza e l’ampiezza. Il segnale

può essere rappresentato, non più nel dominio dello spazio come s(t), ma nel dominio

delle frequenze S(ω). Si può rappresentare il contenuto del segnale in maniera diversa.

Il segnale s(x) è l’attenuazione misurata dal detector. Con la trasformata di Fourier, si

riesce a calcolare il segnale in frequenza (tutte le sinusoidi).

Il segnale è la somma di diverse sinusoidi. Si possono scomporre e, in funzione della

frequenza, si possono rappresentare in uno spazio tridimensionale. I tre assi sono

spazio, frequenza e intensità. La rappresentazione tridimensionale si può proiettare. La

prima sinusoide ha una certa ampiezza e frequenza. La seconda sinusoide ha

ampiezza minore e frequenza maggiore. In questo caso, abbiamo trasformato il

dominio dello spazio nel dominio delle frequenze. Possiamo elaborare questo segnale

perché possiamo cambiare il contributo delle diverse frequenze.

sinogramma,

L'immagine illustra il processo di formazione del una rappresentazione

utilizzata nell'imaging medico, come nella tomografia computerizzata (CT), per

analizzare e ricostruire le proprietà interne di un oggetto a partire dai dati raccolti

tramite raggi X.

In alto a sinistra, vediamo un oggetto circolare con diverse aree che assorbono i raggi

X in modo differente: il bianco rappresenta un’attenuazione alta, il grigio chiaro

un’attenuazione media, mentre il nero indica l’assenza di attenuazione. Un fascio di

raggi X, rappresentato da linee rosse, viene proiettato attraverso l'oggetto in una

direzione specifica, ad esempio lungo un angolo θ=0∘\theta = 0^\circ. Durante il

passaggio attrav