Schemi teoria di Geometria

Spazi Vettoriali

def. Campo: è un insieme K su cui sono date due operazioni

• somma
• prodotto

• commutativa
• associativa
• elemento neutro
• opposto/inverso
• distributiva

def. Spazio Vettoriale: è un insieme non vuoto i cui elementi sono n-dimensionali vettoriali, dotato di due operazioni:

1. somma, che associa a due vettori u, v ∈ V un vettore somma u+v ∈ V
2. prodotto di un vettore per uno scalare, che associa a un vettore u ∈ V e a uno scalare λ ∈ ℝ un altro vettore denotato λ·u ∈ V

Somma:

1. (u₁+v)+w = u₁+(v+w) ∀ u, v, w ∈ V
2. u+v = v+u ∀ u, v ∈ V
3. ∃ 0 ∈ V t.c. u+0 = u + 0 + u = u ∀ u ∈ V
4. ∀ u ∈ V ∃ -u ∈ V t.c. u + (-u) = 0_V

1. λ(u+v) = λu + λv ∀ λ ∈ ℝ, u, v ∈ V
2. (λ+μ)u = λu + μu ∀ λ, μ ∈ ℝ, u ∈ V
3. λ(μu) = (λμ)u ∀ λ, μ ∈ ℝ, u ∈ V
4. 1u = u ∀ u ∈ V

def. Sottospazio Vettoriale: Un spazio vettoriale W ≠ Ø, W ⊆ V, si dice sottospazio vettoriale di V se

1. u₁, u₂ ∈ W ⇒ u₁+u₂ ∈ W
2. λu ∈ W ∀ λ ∈ ℝ, ∀ u ∈ W

dim:

1. Chiusura per la somma

   ∀ x, y ∈ W

   x = | x₁ | e y = | y₁ |

       | x₂ |     | y₂ |

   x + y = | x₁ + y₁ | = | x₁ + y₁ | ∈ W

         | x₂ + y₂ |     | x₂ + y₂ |

2. Chiusura per prodotto per scalare

   ∀ λ ∈ ℝ ∀ x ∈ W

   x = | x₁ |

       | x₂ |

   λx = | λx₁ | = | λx₁ | ∈ W

         | λx₂ |     | λx₂ |

N.B. Deve essere uno sottospazio vettoriale di V, ie vettore nullo ∈ W

Oss. Ogni sottospazio vettoriale W di uno spazio vettoriale V è esso stesso uno spazio vettoriale. (Rispetto cioè operazioni di somma e prodotto)

(V spazio vettoriale e 0 ≠ 0V SV sottospazio vettoriale di V, allora 0 ≠ 0V in uno spazio vettoriale)

Dim.

λ∈ℝ×W→W

+:W×W→W

V: a),5),6),b). Verificaste

b) 3u∈W (u∈U → (-u))

c) u∈W → -u∈W (= -W)

Corollario

se W è un sottospazio vettoriale di V allora 0∈W

Dim.

d∈ℕ e consideriamo Rad(ℓ)={P(ℓ)∈ℝ[ℓ]:deg f(ℓ) W₁ w₁,..., w_p i.e. w₁,...,w_p = p = 1

w₁,...,w_p sono linearmente, dipendenti, => assurdo se ... !

Corollario 1 del T. del Completi

... v. esso vettoriale B, e B, n base di V

dim. B = n! = m

=w₁, ..., w_P basi di i => V il ver l'unicamen

perche n è il numero di stesso minimo di eleemoni

Per assurdo, supponiamo m = p, B meno di scarichiamo B e t

posso supporé p ≤ m

= (per il T. del completamento)

1) n = p, i vettori di B, che aggiuanti a, e, danno una base di B

= contraddizione

=> p e un sottounäche maschiore di vettra unathrzate independenti (aggiungwaendo con

il portodendo fel uniche indipendenza)

def. V spazio vettoriale, B base di V, oppure

dim V = #B

DIMENSIONE V = 'GENALUTA' DI B

(qusto "modì elementi")

Corollario 2 V spatia veftorialle m = dim V i = n, e v ∈ V i! unisn indpend. sono = w₁,..., w_m base di V, U, v₁...,v_m, ε V e...

dim. B = N! = M₀, m bace di V U, W₁,..., w_m w_l Wieir Modigliowey => percio e theorem deo compofimonio

anche m=n=0 vettori di B che agguanti, a, u,m, perciò hi

əl uno e base si v

=> W₁,...,w_m e. una base di V

Corollario 3 V spatio vettoriale ni= drim V i, n, и _lm, el con m=rm

possono n₁...,n_m sono linemn dlependei

dim. N₁...n_m

a) linear dipendenti vni buoni 0!,

b) linear ind- gndeniante vperin cerebrodo q)

n₁,...,n_m, base di v, v = Lesistenzliche maschore di vettra lina, independenti

N₁,,,N_m m_max w₁,...,w_m lnlinearmente dipendenti

Applicazioni Lineari

def V, W spazi vettoriali, T: V→W si dice applicazione lineare se:

• 1) TRASMUTTIVA T(n₁ + n₂) = T(n₁) + T(n₂) ∀ n₁, n₂ ∈ V
• 2) OMOGENEA T(λn) = λ T(n) ∀ λ ∈ R, ∀ n ∈ V

oss se T : V→W è una applicazione lineare allora T(0_V) = 0_W

dim.

T(0_V) + T(0_V) = T(0_V) => T(0_V) = 0_W

Prop

T(A n₁) = λ T(n₁) + T(n₂) ∀ λ, µ ∈ R,∀ n₁, n₂ ∈ V allora T(λ n₁ + µ n₂) = λ T(n₁) + µ T(n₂)

dim.

→ T(λ n₁ + λ₂ n₂) = T(n₁, n₂) = T(λ n) + λ₁ T(n₂)

← λ = λ₂ = λ₁ = φ ottengo tre omologene

Teorema (di esistenza e unicità di app. lineari definite su una base)

V, W spazi vettoriali, B = {n₁,...,n_m base di V, W₁,...W_m ∈ W} esistono

∃! T: V→W dimostrato: T(n_i) = W_i,...T(n_m) = W_m

N.B.

Applicazione Lineare Applicata Ad Una Matrice

dato Φ matrice A:_n^m

B₁: ℝ^m→ℝ^m

B₂: ℝ^m→ℝ^m

dove m: indice di riga m : indice di colonna

def. Matrice

V_m,m(R) = spazio vettoriale delle matrici

SOMMA (Prova di prodotto righe per colonne)