Schema riassuntivo della teoria di Manutenzione

TEORIA dell'AFFIDABILITA'

Definire parametri per modellare il comportamento al guasto di:

• COMPONENTI
• SISTEMI

Due famiglie di componenti:

1. Componenti RIPARABILI → componenti che alla rottura possono essere riparati

(+ cicli di funzionamento - rottura - aggiustamento)

2. Componenti NON RIPARABILI

→ possono al massimo essere sostituiti

Tipi di riparazione:

• As Good As New → componente riportato all'istante 0
• Minimal repair → componente riportato alle condizioni prima del guasto (istante t⁺)
• Imperfect repair → componente riportato in un istante compreso tra 0 e t⁺

1. Modelli affidabilistici per componenti NON RIPARABILI

La variabile che esprime il tempo di rottura è il TIME TO FAILURE (tempo al guasto) → t_ff, t (grandezza casuale)

y(t), RATEO DI GUASTO NON CONDIZIONATO, è una misura puntuale della velocita' con cui un generico componente si rompe in un istante di tempo t, quando è messo in funzione in t=0.

∫_-∞^t ϕ(x) dx = ∫₀^t ϕ(x) dx = P(t_ᵩ ≤ T) = F(t) funzione di INAFFIDABILITA’

probabilità che il guasto si manifesti prima di T (t_ᵩ ∈ ]0;T])

∫_-∞^+∞ ϕ(x) dx = 1 condizione di normalizzazione (certezza del guasto)

∫_t^+∞ ϕ(x) dx = P(t_ᵩ ≥ T) = R(t) funzione di AFFIDABILITA’

probabilità che il guasto si manifesti dopo T (t_ᵩ ∈ [T;+∞])

F(t) + R(t) = 1 —> F(t) = 1-R(t)

R(t) = 1-F(t)

Rateo di guasto non condizionato ϕ(t) :

ϕ(t)∙Δt = P(t ≤ t_ᵩ ≤ t + Δt) = ∫_t^t+Δt ϕ(x) dx

Rateo di guasto condizionato λ(t) : (hazard rate/failure rate/tasso di guasto)

λ(t)∙Δt ∆= P(t ≤ t_ᵩ ≤ t + Δt | sano in t [guasti/ℓa])

• La differenza rispetto al rateo di guasto non condiz. noto è la condizione che il componente sia sano all'istante t (dall'istante di entrata in servizio il componente deve arrivare sano all'istante t)
• è una grandezza probabilistica puntuale
• rappresenta la velocità di rottura di un componente

T = t - t₀

λ(t)

t₀ -------- t -------- t + Δt --------> t

R(t)

Questo modello affidabilistico è basato su 2 ipotesi:

1) I componenti/sistemi possono assumere solo 2 stati possibili:

ψ(t) = -^dR(t)/_dt

= ∫₀^∞ e dt = ∫₀^∞ tψ(t)dt = ∫₀^∞ t[-^dR(t)/_dt] dt.

= -∫₀^∞ t d[R(t)] dt = -[t R(t)]₀^∞ + ∫₀^∞ R(t)dt =

integro per parti

= -[- ∫₀^∞ R(t)dt = ∫₀^∞ R(t)dt

Nell'ipotesi di vita utile (λ(t) = cost = λ) MTTF (λ = cost) = ∫₀^∞ R(t) dt = ∫₀^∞ e^-λt dt = -¹/_λ [e^-λt]₀^∞ =

= -¹/_λ [e^-λt]₀^∞ = -¹/_λ {[e^-λ∞]-[e^-λ0]} =

= -¹/_λ (0-1) = ¹/_λ

R(MTTF) = R(t = ¹/_λ) = e^-λt = e^-λ1/_λ = e^-1 = _0.367

R(MTTF) non vale Q5 perché R(t)_▼ è un'esponenziale negativo

DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' DI WEIBULL

La distribuzione di probabilita' di Weibull e' una distribuzione parametrica capace di rappresentare diverse distribuzioni di probabilita' (gaussiana, log-normale, esponenziale, ecc) mediante la valutazione di due parametri a e b

R(t) = e^-(t/_a)b

ψ(t) = -^dR(t)/_dt = ^b/_a [(^t/_a)^b-1 e^-(t/_a)b

• a - parametro di scala (o vita caratteristica)
• b - parametro di forma

λ(t) = ^ψ(t)/_R(t) = ^{b (}/_a (^t/_a)^b-1

Modelli affidabilistici per componenti RIPARABILI

• I componenti/sistemi possono assumere solo due stati possibili ed e’ ammessa la riparazione del generico componente
• La transizione (guasto o riparazione) da uno stato ad un altro (dal funzionamento alla rottura) e’ istantanea → no degradazione
• Non e’ ammessa l'esistenza di due transazioni nel generico intervallo di tempo Δt
• I componenti sono As Good As New

Variabile fondamentale: tempo di riparazione tr (t/r) dipende da:

• ✅ Chiamata
• Preoperazione
• Smontaggio
• Riparazione
• Sostituzione
• Calibrazione
• Rimontaggio
• Verifica
• Chiusura intervento

Il t_r e’ una variabile aleatoria con una distribuzione di probabilita' g(t), rateo di aggiustamento non condizionato:

∫_-∞^T g(x) dx = ∫₀^T g(x)dx = p(tr ≤ T) = G(tr) Manutenibilita’

probabilita’ che il componente o il sistema sia riparato entro un tempo pari a T (tr ∈ [0;T])

Rateo di aggiustamento condizionato μ(t):

μ(t)Δt = P(t ≤ tr ≤ t + Δt)

μ(t) = _g(t)/^1-G(t)

Rs(t)=_n∑_i=F'(ⁿ)(_i)Rⁱ(1-R)^n-i dove (ⁿ)(_k)=^n!/_k!(n-k)!

nei punti in cui tutti i componenti siano uguali (R_i(t)=R)

Rs(t)=_j∈S∑Rs_j(t) S=insieme di successo

tabella Ok-Nav Ok - Pst(t)

Parallela con riserva (stand-by)

Presenza di organo di commutazione (switch) che varia la connessione al fine di garantire il funzionamento del sistema.

L'affidabilità dello switch deve essere di molto superiore all'affidabilità dell'intero sistema controllato. Si può ipotizzare R_sw=1 cioè che lo switch sia sempre pronto ad intervenire.

Rs(t)=R₁(t)+R_n1(t)

R₁(t)=Ra(t)

R_n1(t)=∫₀^∞γ_A(r)R_B(t-r)dr

Sostituendo :

Rs(t)=e^{-∫₀tλ_A(x)dx}(∫₀^{λ_A(r)e-∫₀tλ_B(x)dxdr})

con ipotesi di vita utile : λ_A=λ_B=λ

Rs(t)=e^-λt(1+λt)

MTTF_s=²/_λ

Rs(t)=e^-λt(1+λt)≧R(t)=e^-λt

• per le grandi t, fattore corretivo (1+λt) garantisce un incremento di affidabilità significativo
• per le piccoli t, fattore corretivo (1+λt) non garantisce un incremento di affidabilità significativo

→ applicato politiche di mantenimento.

Type 2 Modello a data costante (used-based)

Questa politica consiste nell'effettuare un intervento preventivo sul sistema dopo un tempo operativo tp indipendentemente dalle numerosità degli interventi correttivi, a guasto, che siano eventualmente succeduti nel corso di tp.

• guasto
• guasto

Ipotesi: As Good As New

EC(tp) = Cp + Cp * U(tp) costo medio della gestione manutentiva

dove U(tp) è il numero stimato di rotture (= num stimato di interventi al guasto)

E[N(tp)] = ∫₀ w(s)ds

T = tp valore atteso della lunghezza del ciclo di funzionamento

UEC(tp) = EC(tp) / tp = (Cp + Cp * U(tp)) / tp costo medio unitario per unità di tempo

(costo della politica al variare di tp)

Politica ispettiva elementare

Lo scopo principe di una politica manutentiva di tipo ispettivo è raccogliere informazioni sullo stato di salute di un componente/sistema produttivo complesso.

È necessario definire degli indicatori (vibrazioni, rumore, qualità del prodotto, ...) dai quali è possibile prevedere la rottura del componente/sistema e pianificare nuove azioni manutentive.

La frequenza con cui viene eseguito un intervento ispettivo e il livello di monitoraggio dipendono da:

• costo di ispezione
• benefici dell'ispezione
• bontà dell'indicatore impiegato