Prima parte degli appunti della materia: Elaborazione di dati e segnali biomedici

Segnali si dividono in determinati e stocastici (ovvero casuali/aleatori).

Segnale noto: perfettamente rappresentabile con una funzione che definisce il suo andamento per ogni istante. Questo può essere periodico e non periodico. Si studiano utilizzando metodi matematici.

Segnale stocastico: non è completamente note e non può essere studiato utilizzando metodi matematici, ma utilizzando piuttosto tecniche di tipo statistico.

Segnali possono essere a tempo continuo o a tempo discreto: i primi hanno come dominio della variabile tempo l'insieme dei numeri reali, i secondi hanno come dominio della variabile tempo l'insieme dei numeri naturali positivi e negativi.

I segnali possono essere ad ampiezza continua o discreta: i primi hanno come codominio l'insieme dei numeri reali, i secondi hanno come codominio l'insieme dei numeri naturali positivi e negativi.

In funzione quindi del tipo di dominio e codominio posso quindi avere 4 tipologie di segnale:

1. Analogico, continuo nel tempo e nell'ampiezza
2. Campionato, discreto nel tempo e continuo nell'ampiezza
3. Quantizzato, continuo nel tempo e discreto nell'ampiezza
4. Digitale, discreto nel tempo e nell'ampiezza

Campionare un segnale significa trasformarlo da tempo continuo a tempo discreto. Applico quindi al segnale il pettine di dirac, ovvero un treno di impulsi, equispaziati tra loro del periodo Tc. Pertanto si definisce frequenza di campionamento l'inverso di questo periodo: Fc = 1/Tc.

Segnali possono essere pari, dispari o generici: i primi presentano una simmetria rispetto l'asse delle ordinate s(t) = s(-t), i secondi simmetria rispetto all'origine s(t) = -s(-t) e i terzi non sono né pari né dispari.

Un segnale continuo si dice periodico se esiste un intervallo di tempo finito T0 tale che: s(t) = s(t + T0), per ogni t appartenente a R. In sostanza se il segnale si ripete infinite volte dopo il tempo T0 (che viene detto periodo) è periodico. Si ricordi che T0 = 2*pi/omega.

Anche i segnali periodici possono essere resi periodici. Definisco segnale

aperiodico nell'intervallo [-T0,T0], posso renderlo periodico mediante la relazione:

Questo è il segnale ottenuto ritardando s0 di un tempo pari a nT0. In sostanza quello che faccio è considerare il periodo di un segnale aperiodico pari a infinito nel caso di un segnale che assume valori di ampiezza sempre diversi. Diversamente da un segnale aperiodico definito in uno specifico intervallo temporale e poi assume in tutto il resto del dominio valori di ampiezza nulli: in questo caso considero effettivamente una ripetizione del segnale, all'aumentare del numero n considero il dato periodo.

SEGNALE CAUSALE:

un segnale che per tempi minori di zero assume ampiezza nulla, mentre assume valori diversi da zero per tempi maggiori di zero.

• s(t) = 0 , t < 0
• s(t) = 0 , t > 0

SEGNALE COSTANTE:

un segnale che per tutto il dominio assume lo stesso valore di ampiezza

• s(t) = A , ∀t ∈ ℝ

SEGNALE SINUSOIDALE:

un segnale periodico, la cui ampiezza varia per tutto il dominio t, secondo una legge sinusoidale (del seno o del coseno).

• s(t) = A cos(ωt + φ) , ∀t ∈ ℝ

SEGNALE SINUSOIDALE COMPLESSO:

• s(t) = Ae^{j(ωt + φ)}
• s(t) = A cos(ωt + φ) + j A sin (ωt + φ) , ∀t ∈ ℝ
• Somma di due segnali sinusoidali nel piano complesso.

SEGNALE A GRADINO E IMPULSO RETTANGOLARE

• s(t) =
  • A , t ≥ t₀
  • 0 , t < t₀
• s(t) =
  • A , |t - t₀| ≤ T₂
  • 0 , |t - t₀| > T₂
• Ammettendo a null'istante di valore

S(t)=e^-dt

Energia

E_S(t)=∫|e^-dt|²dt=∫e^-2dtdt

= lim_t→∞(e^-2dt-e^-2d∞)/2d

= Energia infinita ∀d

Potenza

lim_T→∞1/T∫e^-2dtdt = lim_T→∞e^-d∞/2dT

= 0/∞ → 0

Energia infinita, potenza infinita

Segnale costante

S(t)=A, ∀t∈ℝ

E_S(t)=∫A²dt=∞

Energia infinita

P_S(t)=lim_T→∞1/T∫A²dt=A²

Segnale sinusoidale

S(t)=Acos(ωt)

P_S(t)=lim_T→∞1/T∫Acos(ωt)²dt=lim_T→∞A²/2T

= A²/2

Potenza finita

RIEPILOGO:

1. Lo spettro frequenziale dei segnali aperiodici è una funzione continua
2. Gli spettri di ampiezza e fase dei segnali periodici sono discreti
3. I segnali periodici possono essere scomposti in una somma di infinite componenti frequenziali e frequenze armoniche
4. I segnali aperiodici vengono scomposti nella somma di infinite componenti sinusoidali la cui frequenza varia con continuità su tutto l'asse reale

Proprietà delle trasformate di Fourier:

1. linearità

   Z(t) = a ⋅ x(t) + b⋅ y(t) =⇒ Z(f) = a⋅X(f) + b⋅Y(f)

2. dualità

   S(t) ⇆ S(f) , S(f) ⇆ s(-f)

3. teorema del ritardo

   x(t - z) ⇆ X(f)e^-j2pifz

4. teorema del cambiamento di scala

   x(at) ⇆ 1/|a| X(f/a)

5. teorema della modulazione

   x(t)cos(2πfot) ⇆ X(f-fo) - X(f+fo)/2

   2πf = wu

6. integrazione

   ∫x(a)da ⇆ X(f)/j2πf

7. derivazione

   d x(t)/dt = X(f)⋅ j2πf

CONVOLUZIONE

Ft { x(t)* y(t)} = X(f)⋅ Y(f)

Ft { x(t) . y(t)} = X(f) * Y(f) 1/2π

TEOREMA DI PARCEVAL

∫_-∞^+∞|y(t)|²dt = 1/2π ∫_-∞^+∞|y(ω)|²dω

L’energia del segnale nel tempo è pari all’energia della sua trasformata.

La DTFT altro non è che la periodizzazione nel dominio delle frequnze della trasformata di Fourier della funzione campionata. E' quindi quanto visto finora, la trasformata del prodotto del treno di impulsi di dirac per il segnale infinito da campionare. E' pertanto una funzione continua e periodica, con periodo 2*pi. Generalmente si dispone di un numero limitato di punti di un segnale discreto, ovvero una sequenza numerica di durata N*Tc. Generalmente pertanto utilizzo da DFT (discrete Fourier transform), ovvero eseguo un campionamento della DTFT, e ottengo una discretizzazione in frequenza e in ampiezza del segnale campionato. Anche in questo caso posso ricostruire il segnale nel dominio del tempo utilizzando la trasformata inversa, che mi permette di passare dal dominio delle frequenze a quello del tempo.

La DFT è quindi ottenuta campionando la DTFT, sarà allo stesso modo periodica.

Il calcolo della DFT è molto laborioso e richiede N^2 FLOPS (N floating point operations per N campioni).

Per ovviare ai problemi di calcolo più che utilizzare la DFT, utilizzo la FFT (fast fourier transform), che posso applicare quando il numero di campioni è una potenza del 2. Infatti utilizzando l'algoritmo di Cooley-Tuckey si spezza la DFT di dimensione N in due sotto campioni N1 e N2 tale per cui il loro prodotto fornisce di nuovo N. (N = N1*N2). Si richiede quindi piuttosto che N^2 FLOPS, N log2 (N FLOPS). Per far si che N risulti essere una potenza del due, generalmente effetuo quello che viene chiamato zero-padding, ovvero l'aggiunta di zeri al campione, in maniera da allargarlo in modo fittizio per soddisfare cond.

Questa tecnica non aggiunge informazione ne cambia la ditorsione dovuta alla finestratura.

Difatti il troncamento con finestra rettangolare produce dei lobi laterali indesiderati nel dominio della frequenza.