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DFT COMPLESSA
Nella DFT complessa compare un'unica equazione, non più due. Osserviamo che non abbiamo più il fattore di normalizzazione (1/N lo troviamo sempre quando parliamo di numeri discreti). Alternativamente possiamo scriverla in forma rettangolare come:
Osserviamo che qui stimiamo N seni e N coseni (non più N/2+1), questo è dovuto al fatto che ora stiamo considerando anche le frequenze negative. Queste frequenze negative non hanno nessun significato fisico e non aggiungono nessuna informazione, servono soltanto a ricostruire esattamente il segnale. Dopo aver applicato quindi la DFT otteniamo un numero complesso X[], tale numero è caratterizzato dall'avere:
- Parte Reale simmetrica rispetto all'asse delle ordinate => con simmetria pari
- Parte Immaginaria simmetrica rispetto all'origine => con simmetria dispari
DFT COMPLESSA INVERSA (iDFT)
- Forma Polare
- Forma Rettangolare
Proprietà DFT: lineare, omogeneità
additività.-La trasformata di Fourier è cioè possiede le proprietà di e Questo è vero per tutti equattro i membri della famiglia della trasformata di Fourier (trasformata di Fourier, serie di Fourier, DFT e DTFT).
OmogeneitàDire che è omogena significa che se io ho un segnale nel dominio del tempo x[ ] di cui conosco la trasformata X[ ], se lo moltiplico per una costante K, non devo ricalcolare nuovamente la trasformata poiché essa sarà pari alla trasformata del segnale originale moltiplicata per K
AdditivitàSe ho due segnali x1[ ] e x2[ ] nel dominio del tempo, di cui conosco la trasformata. Andando a sommare questi due segnali, nel dominio della frequenza ottengo la somma delle loro trasformate.
-La DFT da luogo ad uno spettro periodico. Questo vale per tutte le trasformate che si applicano ad un segnale discreto. Se prendo un segnale discreto, la trasformata restituisce uno spettro con delle repliche del segnale ogni Fs
(frequenza di campionamento). La DFT è periodica con periodo pari alla frequenza di campionamento. Quindi, la FFT (Fast Fourier Transform). La FFT venne scoperta da J.W. Cooley e J.W. Tukey. In realtà, altri avevano scoperto la tecnica molti anni prima. In particolare, il matematico tedesco Karl Friedrich Gauss (1777-1855) aveva utilizzato il metodo più di un secolo prima, ma gli mancava lo strumento per renderlo pratico: il computer digitale (calcolatore). Mentre invece Cooley e Tukey hanno scoperto la FFT al momento giusto, all'inizio della rivoluzione informatica. La DFT vista con i metodi precedenti è troppo onerosa, quindi c'era la necessità di implementare questa operazione tramite l'utilizzo di un calcolatore che rendesse più veloce l'operazione complessa. La FFT è un algoritmo che calcola e risolve la trasformata di Fourier. Dobbiamo allora cercare di capire come possiamo passare dalla trasformata reale a quella complessa.complessa.Ricordiamo che la trasformata reale trasforma N punti nel dominio del tempo in N/+1 ampiezze dei seni (Im) e N/2+1 ampiezze dei coseni (Re). Nella DFT complessa io ho sempre un segnale di N campioni e quindi in realtà ho 2 vettori di N campioni (quindi 2N valori) corrispondenti uno alla parte Im e uno alla parte Re. Nel dominio della frequenza ottengo due sequenze di N campioni che sono sempre la parte Im e Re del mio segnale in frequenza, metà di ciascuno caratterizzato da f<0 e l'altra metà da f>0. La DFT reale può essere vista come un caso particolare della DFT complessa con parte Im nulla. Quindi se voglio usare la DFT complessa per un segnale reale allora nel dominio della frequenza vado a considerare la prima metà delle ampiezze della parte Re (quelle con frequenza positiva) e la prima metà delle ampiezze della parte Im (sempre quella con frequenza positiva, perché la DFT reale considera solo f positive). Frequenze negative
ma sono considerate frequenze nulle.sono di transizione. Calcolo iDFT reale usando iDFT complessa Il calcolo dalla iDFT reale usando quella complessa invece è leggermente più complicato perché dobbiamo assicurarci che le frequenze negative siano inserite nel giusto pattern (formato). Noi sappiamo che la DFT reale prende un vettore di N campioni e il risultato sono due vettori (uno Im e uno Re) di N/2 +1 componenti. Il risultato della DFT complessa sono invece due vettori di N componenti. Abbiamo visto come calcolare la DFT reale usando la DFT complessa. Ora dobbiamo fare l'operazione inversa e cioè vogliamo calcolare la iDFT reale a partire da quella complessa. Noi abbiamo a disposizione i due vettori di N/2+1 componenti nel dominio della frequenza e vogliamo ricavare il vettore di N componenti nel dominio del tempo usando la iDFT complessa. La iDFT complessa prende però due vettori di N componenti nel dominio della frequenza e produce 2 vettori di N componenti nel dominio del tempo. Allora pereffettuare questaoperazione noi dobbiamo realizzareun vettore di N componenti neldominio della frequenza avendo adisposizione il vettore di N/2+1componenti.Consideriamo ad esempio solo il vettore reale.
I primi N/2+1 valori del nostro vettore complesso sono la replica esatta del vettore reale. A questo punto le restanticomponenti le possiamo realizzare ribaltando il vettore reale, ricordando che gode di simmetria pari.
Stessa cosa facciamo con il vettore immaginario, che ha simmetria dispari è quindi nella seconda metà dovremmo invertire il segno.
In questo modo quindi abbiamo ottenuto i due vettori complessi e quindi possiamo usare la iDFT complessa perricavare il segnale nel dominio del tempo reale ponendo la parte immaginaria pari a zero.
Come funziona la FFT?
La FFT opera attraverso 3 passi:
- Decompone il segnale di N campioni in N segnali, ciascuno composto da un singolo valore.
- Calcola gli N spettri di frequenza corrispondenti agli N segnali nel tempo.
- Ricompone gli N
- Scomposizione nel dominio del tempo
Per capire in che modo possiamo effettuare questo passaggio:
Consideriamo un segnale di 16 campioni (Nel dominio del tempo)
Osserviamo che è preferibile che il numero di campioni sia una potenza di 2 in quanto il numero di stadi attraverso cui un segnale viene decomposto è pari a:
- Se ho 16 campioni ho bisogno di 4 stadi (2^4)
- Se ho 512 campioni ho bisogno di 7 stadi (2^7)
A questo punto prendiamo il nostro segnale da 16 campioni e lo dividiamo in 2 vettori da 8 valori.
Il primo vettore contiene tutti i valori corrispondenti alle componenti in POSIZIONE pari.
Il secondo vettore contiene invece i valori corrispondenti alle componenti in POSIZIONE dispari.
Questo rappresenta un primo stadio di scomposizione.
Dopodiché prendo uno dei due vettori da 8 e lo divido in due vettori da 4: uno contenente i valori corrispondenti alle componenti in posizione pari e uno contenente i valori delle componenti in posizione dispari.
A questo punto considero la sequenza iniziale in numeri binari: - prendo il primo elemento (0) e lo inverto 0000 => 0000 => posizione 0 decimale 0->0 - prendo il secondo elemento (1) e lo...
inverto:0001 => 1000 => noto ora che 1000 è l'aposizione 8 in numero decimale.1-> 8Ripetendo questo procedimento ottengol'ordine della sequenza finale.2 Spettro dei segnali a singolo valoreCon il primo step abbiamo ottenuto 16 segnali (nel dominio del tempo), ciascuno con un singola componente, ora il nostroobbiettivo è ricavare lo spettro di ognuno di essi, ma lo spettro di un segnale a singola componente è il segnale stesso.Bisogna però prestare attenzione al fatto che noi abbiamo ora segnali nel dominio della frequenza e non segnali nel dominiodel tempo. 3 Combinazione degli N spettriinversoL'ultimo step della FFT consiste nel combinare gli N spettri di frequenza nell'esatto ordine in cui è avvenuta ladecomposizione nel dominio del tempo.Sfortunatamente, la scorciatoia dell'inversione di bit non è applicabile in questo caso e quindi dobbiamo tornareindietro di una fase alla volta.-Nella prima fase, 16 spettri di- frequenza (1 punto ciascuno) vengono sintetizzati in 8 spettri di frequenza (2 punti ciascuno).
- Nella seconda fase, gli 8 spettri di frequenza (2 punti ciascuno) vengono sintetizzati in 4 spettri di frequenza (4 punti ciascuno), e così via.
- L'ultimo stadio risulta nell'output della FFT, uno spettro di frequenza di 16 punti.
- In che modo combiniamo questi spettri?
- Consideriamo lo step in cui abbiamo due segnali nel dominio del tempo da 4: abcd e eefgh. "abcd" rappresenta il vettore contenente le posizioni pari del vettore da 8, mentre "efgh" contiene le posizioni dispari.
- Noi ora vogliamo ricostruire il corrispondente vettore da 8 nel giusto ordine.
- Il segnale nel dominio del tempo a 8 punti può essere formato in due passaggi: diluire ciascun segnale a 4 punti con zeri per renderlo un
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