Elaborazione di dati e segnali biomedici: appunti seconda parte

inevitabilmente porterà a rottura lo strumento).

Allo stesso modo di come per la trasformata di LaPlace la ROC (regione

di convergenza = regione di stabilità) è il semipiano sinistro (valori negativi

dei numeri reali), la ROC della trasformata Z è l'interno del cerchio di

raggio unitario.

Si: x(n) = e^jw_n implica: nel tempo

Definizione di risposta impulsiva: y(n) = ∑_{k= -∞}^∞ h(n)e^jw(n-k)

h(k) è la risposta impulsivadel sistema

y(n): il risultante della convoluzione tra impulso e^jwn e

la caratteristica del sistema avv: ∑h(k)e^-jwk

H(e^jw) = ∑_k=0^∞ h(k)e^-jwk → y(n) = H(e^jw)e^jwn

Funzione di trasferimento - Risposta in frequenza del sistema

calcolato per z = e^jw, x = 1

avv nella circonferenzadi raggio unitario.

H(e^jw) = |H(e^jw)|e^-jφ

Modulo: ampiezza: |H(e^jw)|Fase: φ = arg{H(e^jw)}

FILTRI

I filtri sono dispositivi che discriminano le varie componenti di frequenza all’ingresso. La natura del filtraggio dipende dalla caratteristica del filtro, ovvero dai coefficienti della propria equazione alle differenze (coefficienti della risposta impulsiva)

Filtri utilizzati quando si vogliono eliminare componenti di frequenza non utili, ridurre rumori o eliminare artefatti.

Filtri possono essere di 4 tipi: passa-basso, passa-alto, passa-banda, elimina-banda.

Questo lo otteniamo in base alle loro caratteristiche ideali, suddividendo le frequenze nelle bande passate (di interesse) ed in bande arrestate (da rimuovere).

In base alla funzione di trasferimento razionale H(z) i filtri numerici si distinguono in filtri FIR e IIR.

FILTRI FIR

y(n) = ∑_k=0^N-1a(k)x(n-k) + ∑_k=1^M-1b(k)y(n-k)

b(0) = 1

b(k) = 0 per k ≠ 0

Quindi:

φ(n) = ∑_k=0^N-1a(k)x(n-k)

y(n) = uscita filtro

x(n) = ingresso filtro

H(z) = ∑_k=0^N-1a(k)z^-k

Funzione trasferimento filtro FIR

a(k) = h(k)

Equazione non ricorsiva: uscita dipende soltanto da input.

Ordine del filtro: N corrisponde al numero di campioni.

Filtro ha fase lineare (non introduce distorsioni) se rispetta la condizione:

h(n) = h(N-1-n)

La fase può essere lineare o meno nei filtri FIR.

Filtro a fase minima quando la differenza di fase calcolata in w = 0 e quella calcolata in w = pi*fc è minima, quindi pari a zero

Filtro a fase massima quando la differenza di fase calcolata in w = 0 e w = pi*fc è massima, quindi pari a pi.

In generale un filtro FIR si dice a fase minima se gli zeri della funzione trasferimento sono tutti all'interno del cerchio unitario, infatti tutti gli zeri reali e le coppie di zeri complessi e coniugati producono una variazione totale nulla della fase calcolata tra w = 0 e w = pi*fc. Un filtro FIR si definisce a fase massima se gli zeri della funzione trasferimento sono tutti all'esterno del cerchio unitario. Tutti gli zeri reali producono una variazione di fase calcolata tra w = 0 e w = pi*fc pari a pi. Invece i termini corrispondenti a coppie di zeri complessi e coniugati proocano una differenza di fase calcolata tra w = 0 e w 0 pi*fc pari a 2*pi. Lo stesso vale per i filtri IIR, Ottengo in filtro a fase lineare quando la risposta impulsiva simmetrica, ma questa si perde quando il filtro è a fase massima o minima.

I filtri ideali non esistono

I filtri reali ammettono una tolleranza per la banda passante e per la banda oscura ed infine ammettono una banda di transizione:

Quando si progetta un filtro devo attenermi ai vincoli quali:

1. Elevata selettività (banda passante quanto più stretta possibile)
2. L'ampiezza delle oscillazioni (RIPPLE) sia in banda passante che in banda attenuata devono essere molto basse.

Filtro Smussatore

Operatore ottenuto dalla media di 3 punti consecutivi:

y_m = 1/3 (x_m-1 + x_m + x_m+1)

Trasformata Z:

Y(z) = 1/3 ( X(z)z^-1 + X(z) + X(z)z ) = 1/3 X(z) (z^-1 + 1 + z)

Quindi: la funzione di trasferimento è: Y(z) = 1/3 (z^-1 + 1 + z)

Risposte in frequenze la calcolo imponendo z = e^-jω, x = 1.

H(e^jω) = Y(e^jω) / X(e^jω) = 1/3 (e^-jω + 1 + e^jω) = 1/3 (1 + 2cosω)

Se vario il peso di coefficienti ottengo un risultato ancora migliore:

y_m = 1/4 (x_m-1 - 2x_m + x_m+1)

H(e^jω) = 1/4 (2 + 2cosω)

Filtro di Hilbert

Trasformata di Hilbert: x̂(t) = 1/π ∫ x(τ) dτ = H[x(t)]

Che equivale alla convoluzione: x̂(t) = x(t) ∗ 1/πt

Trasf. di Fourier

F[x̂(t)] = X̂(f), X(f)F[1/jπt] = -j X sign f

FILTRI DI CHEBYSHEV

Presentano una banda di transizione più stretta rispetto al filtro di Butterworth dello stesso ordine, ma presentano un ripple maggiore in banda passante. I filtri di chybyshev si chiamano così in quanto si considera il criterio appunto di Chebyshev, che minimizza l'altezza massima del ripple.

OSSERVAZIONI IN GENERALE SUI FILTRI

La serie di due filtri ha una risposta in frequenza pari al prodotto delle singole risposte ed equivale ad un unico filtro con risposta all'impulso pari alla convoluzione delle due risposte all'impulso (vedi proprietà conv.)

FILTRO DI PAN TOMPKINS

(utile per la rilevazione di segnali ECG, in particolare i complessi QRS di un tracciato elettrocardiografico)

FASE 1:

Filtro passabanda: per ridurre il rumore fisiologico causato da muscoli e quindi interferenza dell'onda T, da interferenza a 50 Hz. La banda consigliata per massimizzare l'energia del complesso QRS è compresa tra 5 e 15 Hz.

FASE 2:

derivata a 5 punti per ricavare l'informazione sulla pendenza del complesso QRS. La funzione trasferimento sarà quindi

FASE 3:

Elevo al quadrato il segnale risultante: questo perchè amplifico l'uscita della derivata, enfatizzando le alte frequenze (che sono quelle di interesse) e rendendo intrinsecamente positiva la funzione risultante.

FASE 4:

Integrazione a finestra mobile (applicazione di un filtro smussatore), per ottenere informazioni sulle caratteristiche della forma d'onda, oltre alla pendenza dell'onda R.

FASE 5:

Selezione di soglie opportune, anche variabili. Sono possibili soglie basse grazie al miglioramento del rapporto segnale-rumore dato dal passabasso.