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Capitolo 1: L'aritmetica computazionale

  • Calcolo numerico:

    • Disciplina della matematica computazionale che studia gli algoritmi per trovare soluzioni numeriche a problemi matematici del continuo
    • Studia gli aspetti computazionali della matematica in tutte le loro articolazioni
    • Si prefigge lo scopo di dare una risposta ad un problema matematico analiticamente intrattabile o complesso attraverso l'uso di un elaboratore
    • Cerca gli algoritmi che risolvono il problema matematico nel minimo tempo e con la massima accuratezza

  • Modello mat. definito nel continuo

    • Estendere una posizione "infinita" (le computer ha una precisione limitata)
    • Necessario per risolvere dei problemi ottenere un'informazione della soluzione adeguata alla richiesta attraverso un numero limitato di operazioni

  • Risoluzione numerica del problema

    • Soluzione calcolata partendo da un insieme finito di numeri;
    • Con un num. finito di operazioni da una macchina e con un insieme finito di numeri
  • Esistono diversi livelli di approssimazione:

  • Dal modello reale a quello matematico

    • Quando si introduce un modello matematico si introduce un'approssimazione per limitare il numero di fattori che, semmai, sarebbe ingestibile

  • Dal modello matematico alla sua rappresentazione computazionale

    • I modelli matematici teorici non sono sempre rappresentabili, per questo è CN vuol studiare gli effetti delle approssimazioni

1.1 Rappresentazione dei Numeri Reali

  • I computer operano su numeri → problema: base di rappresentazioni con una sequenza finita di cifra.
  • (quella del computer) è binomia.

Teorema 1.1 (Rappresentazione in Base)

Sia β un numero reale non nullo e β≥2, un numero intero allora esistono e sono unici il numero intero p e la successione {d-1, d-2, ...} di numeri interi 0≤di≤β-1 non definitivamente uguale a β-1, tale che:

d = ± (d0 + d1·β-1 + d2·β-2 + ...)β

Si parla di:

  • Rappresentazione in base β
  • Mantissa: cifre della base rappresentazione
  • Esponente

Se d è un simile δk tale che dk ≠0, di = 0 per i > k, la rappresentazione in base β si dice finita di lunghezza k.

→ d ∈ ℝ si può scrivere in:

  • Forma Mista d = ± (d1d2...dp.dn+1...dp...)β p>0 ± (0.00 ... dndn+1...dp...)β p ≤ 0
  • Forma Scientifica (o Normalizzata) d = ± 0·d1d2...dp·βp' con d1≠0 e d≠0 → prima cifra ≠ 0 dopo ie punto radice

Esempi:

  • d = (23.37)10 = 0.2337·102 (β = 10)
  • d = (−0.0045)10 = 0.45·10-2 = (−4·10−44.5·10−2)·102

d = ± (d1·β-3 + d2·β-2 + ... + d3·β3 + ...)·βp'

Con d1≠0 e 0≤di

Dettagli
Publisher
4le02
A.A. 2022-2023
130 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/08 Analisi numerica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher 4le02 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi numerici per il calcolo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Bologna o del prof Casciolaa Giulio.