Metodi Matematici

Numeri complessi

z = x + iy

x, y ∈ ℝ

• x = ρcosθ = ρcosΘ
• y = ρsenθ

ρ = ^{√(x2 + y2)}

θ = arctg^y/x (π/2 , -π/2 )

esercizio

1. z = √3 - i¹

ρ = √3 + 1 = 2

• cosθ = √3/2
• sinθ = 1/2

⇒ θ = -60° = -π/6

z₂ = i₁

z₂ = 2+i√2

zⁱ⁺² = 3 + i (√2)

z¹² = 1 - √2 + i

z¹² = i +1 = 2

z₁₂ = -√2

z₁₂ = -i√2+x+i√2

2+√2+i(-√i+2)

(icon polari)

zⁱz₂ = ρ₁(cosθ₁+isenθ₁), ρ₂ (cosθ₂+isenθ₂)

= ρ₁₂(cosθ₁cosθ₂-senθ₂senθ₂+isenθ₂cosθ₂

+isenθ₂ + cosθ₁)

= ρ₁ ρ₂(cos(θ₁+θ₁)+ isen(θ₁+θ₁))

z² = ρ²(cos2θ + i sen 2θ)

2ⁿ , 3^m (cos nΘ + i sen nΘ)

z = √2/2 + i √2/2

z = 2³

Radici:

ω^m = z → ω^m = z

√z ha sempre m valori

z = β(cos Θ + i sen Θ)

1 = β(cos(Θ + 2kπ) + i sen (Θ + 2kπ))

m√z = √β (cos(Θ + 2kπ/n) + i sen(Θ + 2kπ/n))

k ∈ [0, m-1], k ∈ ℕ

Esempio

³√2 = ?

³√z_k = ³√1 = (Θ + 2kπ/3) + i sen 2kπ/3)

con k = 0, 1, 2

z₀ = 1

z₁ = z₂

z₂ = (cos 4π/3 + i sen 2π/3)

Parametrizzazione circonferenza

• β = R
• Θ ∈ [0, π]
• • x = βcosΘ
  • y = βsinΘ

Parametrizzazione retta

• Θ = k fisso
• β ∈ [R₁, R₂]
• • x = βcosΘ
  • y = βsinΘ

nella semiretta

• β ∈ [0, ∞]

∑_m=0^∞ (z / 4z_i)^m converge se |z / 4z_i| < 1

Coe |z_i2| / |4z_i| > 1 => |z| < 4

=(1 / 1 - z / 4z_i)= 4z_i / 4z_i - z

⊩ z_m = ∑_m=0^∞ (z²)^m = ∑ (z²)^m = 1 / 1 + z²

t² = (z²)^m converge per |z²| < 1

z² z + 4 (1 / ***)

=> |z| < 4

z = z² / 2 + z³ / 3 + z⁴ / 4 + ---

= ∑_n=1^∞ z^m / m (-z)^m+1 = log (1 + z)

r = 1 Vale per |z| < 1

∫ w = z + 1

log w := ∑ (-1)^m+1 / m . (w + z)^m

   = una definizione

Problema: come definisco e che significato ha la funzione esponenziale in campo complesso?

e^z = exp(z) lo tratto come e^x => e^x = ∑_m=0^∞ x^m / m!

∀z ∈ ℂ

e^z := ∑_m=0^∞ z^m / m!

   lo definisco

Derivate in campo complesso

f: D ⊂ C → C

w = u + iv

(x, y) ↔ x + iy

u(x,y) ↔ v(x,y) ↔ u(x,y) + iv(x,y) = f(x + iy)

Df(x,y)

JACOBIANA

analog. per

Esempio

f(z) = z² = (x + iy)² = x² + y² + 2ixy Df = (2x - 2y, 2y, 2x)

f(z) = z̅ = x - iy

Df = (1 0, 0 -1)

f(z) = e^z = e^x(cos y + i sin y) ↔ u = e^xcos y ↔ v = e^xsin y

Df = (e^x cos y, -e^x sin y, e^x sin y, e^x cos y)

∂f/∂y = i ∂f/∂x

• z → Re z = x
• z → Im z = y
• z → z = x - iy
• z → x² + y² = |z|²

Teorema

Se f(z) = _n=0^∞ a_n (z - z₀)ⁿ con t_z > 0

Definito quindi B_Rt(z₀)

f(z) è domorfa → f'(z)

f'(z) = _n=1^∞ n a_n (z - z₀)^n-1

f''(z) = _n=2^∞ n (n-1) a_n (z - z₀)^n-2

In Generale

f^(k)(z) = _n=k^∞ a_n (z - z₀)^n-k . n . (n-1) ... (n-k+1)

Esempio

e^z = _n=0^∞ zⁿ / n!

f(z) = e^z

f'(z) = _n=1^∞ n z^n-1 / n!

= _n=0^∞ zⁿ / n! = e^z

f^k(z) = f^l(z) con f(l)(z) = e^z

n ℝ → x(t) = R cosθ

y(t) = R senθ

θ ∈ [0; 2π]

n ℂ → x

z(t) = x(t) + i y(t)

= R (cos(t) + i sen(t))

= R e^iθ

- Parametrizzazione circ. circonferenza

Se l'origine non è 0 ma z₀, allora:

z(t)= z₀ + R e^iθ

Definizione

∫_γ F(z) dz := ∫_a^b f(z(t)) · z'(t) dt

z(t) = x(t) + i y(t) ⟺ ( x(t); y(t) )

z'(t) = x'(t) + i y'(t) ⟺ ( x'(t); y'(t) )

f(z) = u(z) + i v(z) ⟺ (u(x,y); v(x,y))

f(z) o z'(z) = u(x,y) x'(t) # v(x,y) y'(t)

prodotto scalare, allora fare prodotto complesso

∫γ f(z) z'(z) = ∫_{[u(x,y), v(x,y)].x'(t) - v(x,y).y'(t)} + i (v(x,y)x'(t) - u(x,y)y'(t))

DIM Th

z = x + i y

z' = x' + i y'

f(z) = u(z) + iv(z)

∮_Γ f(z)dz = ∮_Γ (u(x,y) + iv(x,y))(x' + i y')dt = ∫_a^b (v(x,y)x' + u(x,y)y')dt

I = 0 II = 0

se Γ è un circuito semplice e f olom in D

campo rotorìde

ĝ = ( -v(x,y) )

      ( u(x,y) )

ux' - vy' = ĝ • ( x' )

                            ( y' )

I

∮_Γ ĝ • dt = ∮_Γ ĝ • _∂âΔ = ∫_AΓ( ∂v - ∂u ) dxd y = 0 PER CONDIZIONI DI C.R.

                  PER GAUSS-GREEN

Introduco allo stesso modo

ĥ_Γ(x,y) = ( -u(x,y) )

                              (  v(x,y) )

II

∮_Γ ĥ • _∂ds = ∫∫_{∂v dx}( ∂u ) dxdy = 0 PER CONDIZIONI DI C.R.

Variante

So che f è olomorfe nelle 

        regioni compresa tra Γ₀

        (circuito esterno) e un certo numero

        di circuiti interni r₁ ... r_m.

A_Γ = A_Γ0 \ (A₁ ∪ ...∪ A_Γm)

Γ = Γ₀ + r₁ + r₂ + ... + r_m − −+2P   significa Γ percorre in

                                                                   senso antiorario