Metodi Matematici

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Author: Lociano94

Revisionato il 16/06/2026

di Lociano94

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Introduzione all'Analisi ComplessaRichiami sui numeri complessi Serie di potenze in campo complesso: raggio di convergenza e formule per la sua determinazione Funzioni esponenziali e …

Esame Metodi matematici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Savarè Giuseppe

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2014-2015

178 pagine

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Numeri complessi

I numeri complessi sono espressi come z = x + iy, con x, y appartenenti a ℝ.

x = ρ cos Θ
y = ρ sen Θ
ρ = √(x² + y²)
Θ = arc_tg^y/_x (-π/2 , π/2)
arc_tg^y/_{x + π} (π/2 , π)
arc_tg^y/_{π - π} (π , 3π/2)

Esercizio

Considera z = √3 - i, dove ρ = √3 + 1 = 2,
cos Θ = √3/2, sen Θ = 1/2,
quindi Θ = -60° = -π/6.
z₁ = 1 + i
z₂ = 2 + i√2
z_desc = 3 + i (z₁ + √2)
z₁₂ = i√2 + i + i√2
z₁/z₂ = 2 - i√2 + i + √2/4 + 2
z₁ + z₂ = 2 - i√2 + i + (√2 + i)(Icon polare)

La moltiplicazione di numeri complessi può essere espressa in forma polare:

z₁z₂ = ρ₁(cosΘ₁ + i sinΘ₁)ρ₂(cosΘ₂ + i sinΘ₂)
= ρ₁ρ₂(cosΘ₁cosΘ₂ - senΘ₁senΘ₂ + i senΘ₁cosΘ₂+ i senΘ₂cosΘ₁)
= ρ₁ρ₂(cos(Θ₁ + Θ₂) + i sen(Θ₁ + Θ₂))

Esercizio

z = √3 - i
ρ = √(3² + 1²) = 2
cos θ = ^√3/₂
sin θ = ¹/₂
⇒ θ = -60° = -^π/₆

Calcoliamo altre espressioni:

z₁ = 1 + i
z₂ = 2 + i√2
z_{è sparito} = 3 + i (z + √2)
z₁₂ = -1 - √2 + i√2

Calcolo della divisione:

z₁₂ = ^{1 + i}/_{2 + i√2} ⋅ ^{2 - i√2}/_{2 - i√2}
= ^{2 - i√2 + i + √2}/_{4 + 2}
= ^{2 - i√2 + i + √2}/₆
= (^{-√2 + i}/_{√2 + 1})

(Loro polari) z₁z₂ = ρ₁(cos θ₁ - i sin θ₁) ⋅ ρ₂ (cos θ₂ - i sin θ₂)

= (ρ₁ρ₂) ⋅ (cos θ₁ cos θ₂ - sin θ₂ sin θ₂ + i sin θ₂ cos θ₁ + i sin θ₁ cos θ₁)
= ρ₁ρ₂(cos (θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂))

Esercizio

Considera z = ^√2/₂ + i ^√2/₂

z = z²³

β = ^√2/₄

|z| = ^√2/₂ = 2/√245° = ^π/₄

z²³ = |z|²³ (cos ²³/₄π + i sen ²³/₄π) = β cos(6π - ^π/₄) + i sen(6π - ^π/₄)

Radici

ω = ^m√z -> ω^m = z
^n√z ha sempre m valori: z = β(cosθ + isenθ)
|z| = β(cos(θ + 2kπ) + isen(θ + 2kπ))
^m√z = ^m√|z|(cos(^{θ + 2kπ}/_n) + isen(^{θ + 2kπ}/_n))
k ∈ [0, m - 1], k ∈ ℕ

Esempio

^3√√2 = ?
^3√_{z_k}√1=1 (^{θ + 2kπ}/₃ + i sen ^2kπ/₃) con k = 0, 1, 2
z₀ = 1
z₁ = ^√2/₃ + i√2 cos ^2π/₃ + i sen ^2π/₃
z₂ = (cos ^4π/₃ + i sen ^4π/₃)

Esempio

Considera ^3-z√3-z_g=2

{cos =√3/2 sen =-1/2}
z=2 (cos(-π/6+2kπ)+i sen(-π/6+2kπ))
z=√2 (cos(-π/12+kπ)+i sen(-π/12+kπ)) K=0,1
z₀=√2(cos(-π/12)+i sen(-π/12))
z₁=√2(cos(11/12)π+i sen(11/12)π)

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