Numeri complessi
z = x + i y , x, y ∈ ℝ
x = ρ | | cos Θ = ρ cos Θ
y = ρ sen Θ
ρ = √(x2 + y2)
Θ = arctg y/x (-π/2 , π/2)
arctg y/x + π (π/2 , π)
arctg y/π - π (π , 3π/2)
Esercizio
z = √3 - i
ρ = √3 + 1 = 2
cos Θ = √3/2
sen Θ = 1/2
⇒ Θ = -60° = -π/6
z1 = 1 + i
z2 = 2 + i√2
zdesc = 3 + i (z1 + √2)
z12 = i√2 + i + i√2
- z1/z2 = 2 - i√2 + i + √2/4 + 2
z1 + z2 = 2 - i√2 + i + (√2 + i)
(Icon polare)
z1z2 = ρ1(cosΘ1 + i sinΘ1)
ρ2(cosΘ2 + i sinΘ2)
= ρ1ρ2(cosΘ1cosΘ2 - senΘ1senΘ2 + i senΘ1cosΘ2
+ i senΘ2cosΘ1)
= ρ1ρ2(cos(Θ1 + Θ2) + i sen(Θ1 + Θ2))
z2 = ρ2(cos2Θ + i sin2Θ)
Numeri complessi
z = x + i y , x, y ∈ ℝ
- x = ρ|z|cos θ = ρcos θ
- y = ρsin θ
- ρ = √(x2 + y2)
- θ = arctg y/x (π/2, -π/2)
- arctg y/x + π (π/2 , π)
- arctg y/-π (π, -π/2)
esercizio
- z = √3 - i
- ρ = √32 + 12 = 2
- cos θ = √3/2
- sin θ = 1/2
⇒ θ = -60° = -π/6
- z1 = 1 + iz
- z2 = 2 + i√2
- zè sparito = 3 + i (z + √2)
- z12 = -1 - √2 + i√2
z12 = 1 + i/2 + i√2 2 - i√2/2 - i√2
= 2 - i√2 + i + √2/4 + 2 = 2 - i√2 + i + √2/6 = (-√2 + i/√2 + 1)
- (loro polari)
- z1z2 = ρ1(cos θ1 - i sin θ1) ⋅ ρ2 (cos θ2 - i sin θ2) =
- (ρ1ρ2) ⋅ (cos θ1 cos θ2 - sin θ2 sin θ2 + i sin θ2 cos θ1 + i sin θ1 cos θ1) =
- = ρ1ρ2(cos (θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2))
- z2 = ρ2 (cos 2θ + i sin 2θ)
Esercizio
z = √2⁄2 + i √2⁄2
z = z23
β = √2⁄4
|z| = √2⁄2 = 2⁄√2
45° = π⁄4
z23 = |z|23 (cos 23⁄4π + i sen 23⁄4π) = β cos(6π - π⁄4) + i sen(6π - π⁄4)
Radici
ω = m√z -> ωm = z
n√z ha sempre m valori:
z = β(cosθ + isenθ)
|z| = β(cos(θ + 2kπ) + isen(θ + 2kπ))
m√z = m√|z|(cos(θ + 2kπ⁄n) + isen(θ + 2kπ⁄n))
k ∈ [0, m - 1], k ∈ ℕ
Esempio
3√√2 = ?
3√zk√1=1 (θ + 2kπ⁄3 + i sen 2kπ⁄3) con k = 0, 1, 2
z0 = 1
z1 = √2⁄3 + i√2
cos 2π⁄3 + i sen 2π⁄3
z2 = (cos 4π⁄3 + i sen 4π⁄3)
esempio3-z
√3-zg=2
{cos =√3/2sen =-1/2}z=2 (cos(-π/6+2kπ)+i sen(-π/6+2kπ))z=√2 (cos(-π/12+kπ)+i sen(-π/12+kπ)) K=0,1z0=√2(cos(-π/12)+i sen(-π/12))z1=√2(cos(11/12)π+i sen(11/12)π)
Polinomio in
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