Metodi Numerici per l'Ingegneria - Appunti

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Revisionato il 22/04/2026

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Appunti del corso di Metodi Numerici per l'ingegneria.L'appunto tratta i seguenti argomenti:-Introduzione e funzionalità di Matlab-Calcolo delle radici di un'equazione/sistemi di …

Esame Metodi numerici per l'ingegneria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Macconi Maria

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2013-2014

144 pagine

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Estratto del documento

Introduzione - algoritmo

Definizione di algoritmo

Iniziamo definendo cosa è un algoritmo. Un algoritmo è una successione finita di istruzioni che in sequenza comprende istruzioni elementari assegnate in modo non ambiguo che consentono di passare in un tempo finito dal problema alla sua soluzione. Ovviamente, il problema è sinonimo di "dato" e "soluzione" è sinonimo di "obiettivo" da ottenere, che non è detto che sia esattamente la soluzione del problema ma può anche essere una sua approssimazione. L'algoritmo rappresenta dunque il legame tra dato e risultato.

Costruzione del modello matematico

Nel nostro caso, per risolvere un problema fisico generico, come primo passo devo costruire un modello matematico. Ad esempio, se mi viene chiesto di calcolare la superficie terrestre, posso considerarla vedendola bene come una sfera, e quindi calcolare P₀ = 4πR². Chiaramente ho fatto un'approssimazione e quindi la soluzione trovata non è quella reale ma approssimata. Una volta definito il modello matematico (in questo caso conosciuto con le formule), devo calcolare A = 4πr².

Tuttavia, r ed R sono a loro volta approssimati (avrebbero infinite cifre). Dunque, se il modello da calcolare è approssimato, anche la soluzione è approssimata. Lo schema è dunque il seguente: Problema Fisico → Modello → Soluzione.

Soluzioni generiche e particolari

Ritornando al concetto di algoritmo, in generale vogliamo risolvere un problema di risultato generico. Ad esempio: (2+5)*1, oppure (a+b)+c. Il primo è un caso particolare, il secondo è generico. Riprendendo il secondo esempio, a+b+c. Non esiste un unico metodo: (a+b)+c ≠ a+(b+c) = (a+c)+b. Tra questi, gli algoritmi sono diversi ma matematicamente forniscono lo stesso risultato.

In realtà, detti R₁, R₂ ed R₃, i risultati dei tre algoritmi possono fornire risultati diversi. Durante l'esecuzione posso scegliere quello corretto (come lo vedremo in seguito).

Acquisizione e restituzione dei dati

Ritornando all'algoritmo, due cose fondamentali sono: acquisizione dei dati (ingresso) e restituzione dei dati (uscita). Importante è anche il linguaggio. Ad un calcolatore dobbiamo insegnare a leggere per acquisire i dati (un Metodo). C'è un termine ben preciso in ogni flusso formale: la variabile.

Importante è anche il simbolo "=" che lega un nome di variabile ad un'espressione. In questo caso, il simbolo "=" rappresenta una frase di assegnazione. Le frasi di assegnazione non sono di equivalenza. Ad esempio, i₁=i₂ non ha senso matematico, non è un'uguaglianza ma una assegnazione.

Esempio di algoritmo

Facciamo un esempio. Immaginiamo di voler scrivere l'algoritmo per calcolare una sommatoria: S = Σ_i=1ⁿa_i.

Dati n, a_i
S := 0
Per i=1,2,...,n: S := S + a_i
Risultato: S

In alternativa, possiamo non definire S:=0 inizialmente, ma in questo caso l'algoritmo corrente risulta:

Per i=2,3,...,n: S := S + a_i

Ritornando al caso precedente (S:=0), che cosa succede se utilizzo il seguente algoritmo? Quel risolto in questo caso non è S ma a₁. In questo caso ho spostato il passaggio 2 nel 3. Quindi è sempre fondamentale controllare i dati e la ragionevolezza del risultato ottenuto.

Algoritmo con matrici

Quando i=n e j=n, l'algoritmo è concluso. Procedo dunque analizzando la matrice riga per riga. Alla fine ottengo dunque le voci di L e seguo i criteri scrivendo il seguente algoritmo:

Dati m, A, Θ
N = 0
Per j=1,2,...,n
Per i=1,2,...,n se a_i,j > Θ allora N = N + 1

Soluzione per colonna

A differenza del caso precedente, ora considero la matrice colonna per colonna. Esercizio per casa: Data A ∈ R^m×n, determinare il numero N di elementi che sono uguali ad una quantità φ, se quello NG è maggiore di φ.

Esercizio per casa: Formuliamo il seguente problema. Data A ∈ R^m×n, quanti elementi su ciascuna riga di A sono uguali a 0? Questo è un problema diverso dal precedente. Differentemente per la notazione del risolutore, il risultato è un vettore.

Proprietà delle matrici

Relativamente alla matrice, sappiamo che nell'insieme delle matrici quadrate A ∈ R^m×n ci sono matrici particolari. Un primo esempio è rappresentato dalle matrici diagonali, denotate come diag(d₁,...,d_n). Un secondo esempio particolare sono le matrici triangolari, che sono matrici in cui tutte le componenti sono nulle al di sopra e al di sotto della diagonale.

Il determinante delle matrici triangolari è dato dal prodotto degli elementi diagonali. Ad esempio, se K è una matrice triangolare, det(K) = ∏_i=1ⁿ K_ii.

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