Appunti metodi matematici

INSIEMI

1. L'insieme è una classe, fatto gruppo di un aggregato definito di elementi avuti una caratteristica in comune

2. Il concetto: un concetto primitivo, ossia un concetto che non può essere definito attraverso concetti più elementari; quindi non è più che dare una definizione matematica

3. L'insieme può benissimo essere rappresentato matematicamente quando si specifica in maniera UNIVOCA, quali sono gli elementi che fanno parte dell'INSIEME

- L'insieme dell'alfabeto italiano è un insieme matematico

- è chi più bello che i talebani NON E INSIEMES MATEMáTICOS mostir e solo sé só

- I vari insieme si indicano con la lettera maiuscola

- gli elementi dell'insieme si rappresentano con la lettera minuscola

- Per indicare che un elemento appartenanta un insieme, si usa il simbolo di APPARTENENZA a ∈

• x ∈ X (x appartiene a X)
• y ∉ X (y non appartiene a X)

Es: X = {1, 5, 3}

1 ∈ X; 7 ∉ X

- L'insieme vuoto è quell'insieme che non ha elementi viene indicato con Ø

DESCRIZIONE DI UN INSIEME

1) Metodo per ELENCAZIONE, scrivendo tutti gli elementi dell'insieme, separati da virgola, delimitati da due parentesi graffe

Es: A = {a, e, i, o, u}

A = {a, e, i, ... z}

N = {1, 2, 3, ...} = INSIEME NUMERI NATURALI

2) Metodo mediante PROPRIETÀ CARATTERISTICA

X = {x : P(x)}

Es: A = {x ∈ N / x ≤ 10⁶³

Tutti i numeri naturali compresi tra 1 e 10⁶

Es: X = {1, 3, 5, 7, 9} X = {numeri dispari : 1 < m < 10³}

SIMBOLI UTILIZZABILI:

• ∀ : quantificatore universale (per ogni)
• ⇒: implicazione logica (se... allora...)
• ⇔: doppia implicazione logica (se e solo se...)

Due insiemi A, B sono uguali (A=B) se sono costituiti dagli stessi elementi.

∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B

- Se, aggiungendo un elemento ad un altro insieme (A=B) esiste almeno un elemento che appartiene ad uno solo

Es: A: {1, 3, 4, 3}

B: {3, 1, 1, 3}

C: {3, 1, 4, 5}

D: {5, 4, 1, 3, 3}

A = B; C ≠ D

non conta l'ordine, non conta se vengono ripetuti

Sottoinsiemi

"Un insieme A è sottoinsieme di B" ⟺ "A è incluso in B" (si scrivono: A ⊂ B)

Se ogni elemento di A è anche elemento di B:

∀ X: X ∈ A ⟹ X ∈ B

A differenza di vari sottoinsiemi, ci sarà sempre 2ⁿ insiemi stiamo al n insieme vuoto

A = B ⟹ A ⊂ B e A ⊂ A

A ⊄ B ⇔ B ⊂ A

Insieme delle Parti

Data un insieme X, si definisce insieme delle parti di X, e si denota con P(X), l'insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di X

Es: Scrivere l'insieme delle parti dell'insieme costituito dalle lettere delle parola 'dod':

P(X) = {∅, X, {d}, {o}, {d, o}, {d, d}, {o, d}, {o, {d}}, {d, o, d}}

Se l'insieme X è costituito da n elementi, l'insieme delle parti è costituito da 2ⁿ

Operazioni fra insiemi

• Unione
• Intersezione
• Differenza
• Complementare
• Prodotto Cartesiano

1. Unione di A e B (A ∪ B) l'insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono o ad A oppure a B

A ∪ B = {X: X ∈ A ∨ X ∈ B}

2. Intersezione di A e B (A ∩ B) è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A sia a B

A ∩ B = {X: X ∈ A ∧ X ∈ B}

P.S. Diverso l'intersezione di due insiemi da un insieme vuoto i due insiemi si dicono disgiunti

3. Differenza di A e B (A \ B) è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A ma non appartengono a B

A \ B = {X: X ∈ A ∧ X ∉ B}

ALCUNE PROPRIETÀ DI ℝ

1. Moltiplicazione per zero

   • ∀ a ∈ ℝ, a · 0 = 0

2. Legge di annullamento del prodotto

   • ∀ a, b ∈ ℝ, a · b = 0 ⇒ a = 0 opp. b = 0

3. ∀ a, b, c ∈ ℝ vale una ed una soltanto delle seguenti affermazioni:

   • a < b, a = b, b < a
4. • ∀ a, b, c ∈ ℝ sommando uno stesso numero a un'equazione, quest'ultima non cambia
   • a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c

5. ∀ a, b, c ∈ ℝ

   • a ≤ b⇒ a · c ≤ b · c, se c > 0

NB: se moltiplichiamo per una quantità negativa, si cambia il verso delle disuguaglianze

a ≤ b ⇒ a · c ≥ b · c, se c < 0

6. Regole dei segni:

   • Il prodotto di due numeri concordi è sempre positivo o maggiore 0, se non nullo positivo
   • Il prodotto di due numeri discordi è un numero negativo
   • + · + = +
   • - · - = +
   • + · - = -
   • - · + = -

7. Segno di un quadrato:

   • ∀ a ∈ ℝ
   • a² ≥ 0
   • a² = 0 ⇔ a = 0

Esercizio:

Siano dati a, b, c ∈ ℝ con a ≤ b. Stabilire se sono vere o false le seguenti affermazioni

1. 5 - a ≤ 5 - b Vero: sommiamo 5 una uguale quantità a ≤ b conserviamo segno a ≤ b
2. -7 - a ≤ -7 - b Vero per la (linea procedente)
3. ∀ a ≤ b | c ≠ 0 è vera, ma se c < 0 no ⇔ -2 (a ≤ b), b ≥ c c < 0 ⇒(-7)
4. 1 = ¹/₂ 1 = ¹/₄

Per definire il massimo ed il minimo di un insieme, consideriamo il maggiorante e il minorante.

Dato un insieme _X ⊂ ⊆, un numero reale K si dice:

• maggiorante se ∀ x ∈ X, x ≤ K (l'insieme delle x del maggiorante è lo stesso dato che il numero è min
• minorante se ∀ x ∈ X, K ≤ x ∈ X

Un insieme X ⊂ ⊆ si dice:

• limitato superiormente se ammette almeno un maggiorante
• limitato inferiormente se ammette almeno un minorante
• limitato se ammette sia un maggiorante che un minorante

Determinare se esistono M (max) e m (min) dei seguenti insiemi e verificare se sono limitati.

a) A = { x ∈ ⊆: 4 - x ≥ 3 } ∪ { 3, 7 }

• A = { 2 ≤ x ≤ 3 } ∪ { 3, 7 }
• A = [ 2, 3 ] ∪ { 3,7 }

max A = 7

min A = 2

M (A) = [ 2, 7 ] ∪ {− ∞, 0]

m (A) = [ − ∞, 0 ]

b) B = { x ∈ ⊆: 4 − x ≥ 3 } ∪ { 3, 7 }

• B = [ 2, 7 ] ∪ { 3, 7 }
• B = [ 3, 7 ]

max B = 7

min B = 3

M (B) = [ 7, +∞ )

m (B) = [ 3, +∞ ]

c) C = { x ∈ ⊆: (x − 1)(x + 2)(3x − 4)(2 − x + 3) < 0 }

• x < 1
• x > − 2
• x > 4/3
• X < ^-1

—— | ×—————— — | 4/3

Riconoscimento di rette parallele e perpendicolari

Det. due rette di equazione

• s: y = m₁x + q
• s: y = m₂x + q

• r e s sono parallele se e solo se m₁ = m₂
• r e s sono perpendicolari se e solo se m₁ · m₂ = -1

Distanza di un punto da una retta d(P, r) = |ax₀ + by₀ + c| / sqrt(a² + b²)

Circonferenza

È il luogo geometrico dei punti che hanno la stessa distanza dal centro

d(P, C) = r

(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²

Equazione della circonferenza di centro (x₀, y₀)

NB. Circonferenza di centro l'origine degli assi: x² + y² = r²

• Ex. (1,0), r = 3 → x²/9 + y²/9 = 1
• (-1,1), r = 2 → (x + 1)² + (y - 1)² = 4

Parabola

È il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto detto fuoco e una retta detta direttrice.

y = ax² + bx + c con a ≠ 0

Equazione della parabola di vertice ( -b/2a , -Δ/4a )

x = -b/2a

NB: Se conosciamo l'ascissa del vertice, possiamo trovare l'ordinata sostituendo il valore di x nell'equazione

• Se a > 0 la concavità è rivolta verso l'alto
• Se a < 0 la concavità è rivolta verso il basso

Ex. y = 2x² + 4x + 1 V( -1, -2 )