Matematica Generale

Insiemi numerici

Insieme dei numeri reali _{(Rappresentazione dei numeri reali)}

• Estremi di un qualsiasi carattere
• Possiamo supporre un estremo, non esso numeri:

x ^{non essendo un numero più cerca di un tot}

x _{non essendo un numero negativo più piccolo di un tot}

Gli intervalli

Sono sottoclassi di R

• Intervallo (a, b) chiuso, si rappresenta con parentesi

def [a, b]: x ∈ R : a ≤ x ≤ b

ex [4, 4] : x ∈ R : 4 ≤ x ≤ 4

• Intervallo (a, b) semiaperto, si rappresenta in 3 modi

def (a, b]: x ∈ R : a ≤ x ≤ b

ex (4, 4] : x ∈ R : 4 ≤ x <= 4

• Intervallo (a, b) aperto, si rappresenta con parentesi spezzate

def (a, b): x ∈ R : a < x < b

ex (a, b): x ∈ R : a < x < b

Le Semirette

• [a, +∞) ➝ def {x ∈ ℝ | x ≥ a}
• (a, +∞) ➝ def {x ∈ ℝ | x > a}
• [-∞, a] ➝ def {x ∈ ℝ | x ≤ a}
• (-∞, a] ➝ def {x ∈ ℝ | x < a}

Distanza e Valore Assoluto

Dati numeri a e b, ovvero |a-b|, si ha che c'è sempre un unico elemento... per il numero… esteso [a, b) [-4, 0]

E etc... ℝ ℕ ℤ sempre e comunque

Def: distanza di un numero assoluto è solo l'origine |x, y| = 1

• x ≥ 0
• x < 0

d (5,0) = 5

es d(5,0) = |5| = 5 d(7,0) = |7| = 7

Distanza tra due punti

• d (x₁, x₂)
• d (4,-1) = 3 ➝ |4 - (-1)|
• d (4,4) ➝ |-4| = |-0|

d(x, x₀) = |x - x₀|

• x, x₀, y, x₀

|x-x₀| x y ≤ 0

Punto di accumulazione

A ⊆ ℝ, x₀ punto di accumulazione per A se ∀ ε > 0 ∴ infinito si trovanopunti di A diversi dal punto stesso (si possono più o non più appartenereall'insieme).

↔ { ± (1 + ⁻¹ / n) }↔

Prendendo un intorno di x₀, ci devono essere punti dell'insieme diversi da x₀,sempre un punto di (0,5) (?).Cosa vuol dire che x è isolato?Unico punto con un certo punto G.

E come se studiamo il 10 a 0,06 che sto assaporando, estendono fuori dall'insieme.A = {[1,5] } x=2 (punto interno).

x è lo che tornando all'intorno di 2 trovo cerchio punti, esistono sempre punto 2 èunico.

Un punto interno è anche un punto di accumulazione.

∃ {-1,1,3 }-1 è punto di frontiera, contiene sì punti che appartengono, sì no che nonappartengono all'insieme, consistenza quale x è (non appartengono), riunendosi legge "meno verso sempre punto x".

-1 ∈ A

Un punto di frontiera è anche un punto di accumulazione, ma non sempre.

Punto isolato

A ⊆ ℝ, x₀ ∈ CA&exists; cerchio sufficiente se esistono un intorno di x₀ che non contenepunti dell'insieme escluso il punto stesso.

↔_x0

Pendio un intorno, all'interno dell'intorno non ci sono elementi, solamente x₀.

Il punto isolato non è interno, è di frontiera.

Un punto di frontiera non isolato è un punto di accumulazione.

f(x) = log₂(x² - x)

Dominio: (⁰/ _{x > 0})

• x(x - 1)

-1 < x < 2

1 < x < 2 oppure (x - 1) ∪ (2, + ∞)

2 al dominio di f(x) non è comune con il campo di esistenza degli esponenti

• x < -2
• x > 2 aperto

Grafico di una funzione

f: X -> R x ≤ 2

Uniamo le coppie dei polo {x, f(x)}

1. {x, f(x), x ε X}

f(x)=1x-2

Dominio: x ∈ ℝ

f(x): ^{|x - 2|}/_{x - 2}

• Dominio: x ∈ ℝ, x ≠ 2

|x - 2| { x - 2, x ≥ 0 -(x - 2), x < 2

x ∈ ℝ x - 2 x + 2

Rappresentare: -2 < x < 2

f(x) = ^{|x - 2|}/_{x - 2}, x ∈ ℝ - 2, x ≠ 2

f(x) = ^{x - 2}/_{x - 2}, x > 2 = ^{-(x - 2)}/_{x - 2}, x < 2

• ^{|x - 2| (x - 2)}/(x - 2), x ∈ ℝ - 2, x ≠ 2

26

Verifica se x₀ è un punto di massimo relativo, 7 lim): f(m) > f(m) in:

x³-3x² x sentra x_min-2

calcolato f(x₀)=2

immagine f(x₀)₂ poi la definizione. (f(m); f(m))

max(3x; 3x² ; x2 )

x sup 2

x³ + 3x -

x²(2x-3)=0

x₀ min

2x-3=0

x₀=

Ogni volta che prandi un intorno di punto C e nel diritto x=3. se distinguendo e verifico, pirai definire come definizione gfi e fin.

x₀ = punto di max relativo, non croce da

sin punto x+3² altrici sopra intorno nel

Per lo stesso esercizio, la disuguagianza si verifica in R1, sex anil cortei che x punto di con ̴

29

f(x)=x²-4x+1

x₀ =2 mp massimo a assolao

f(2)=3

1+massino relativo [bay] or [gri a guki])

x²-A + Lis 5

x²-4 il tu a 3

x+li prinoso

x(n-37)= 0, Nx²² = e 5 oupoll X utilizoolo ei in, mundo & a dimino di f(x) è tutto R, il punto di veres un massimo assoluto

Se x₀ è un punto di massimo o menimo absoluto, verificare e a x₀, punto di silizio, e massimo absoluto.

2) Conosca res di termine: x₀ punto di massimo o menimo relativo, non ̴

Limite di f(x)

f(x) = (log_x)^x con x appartenente (0, +^∞)

(f(1/xⁿ), 10^-n)

lim sup f(x) = ¹/_-10ⁿ

lim_x→0 f(x); lim_x→∞ ¹/_x = -∞

lim_x→0 f(x) = ∞

Per ogni intorno U di ∞ ∃ V tale che V ⊆ x₀, x_n ∈ V, f(x) ∈ U

Intorno di ∞ - semiretta (M, +∞)

∃x₀ > ∃x₀ x_x0 ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ) - f(x) ∈ (M, ∞)

^:)

lim_k→∞ f(x)_k = ^f/_ε talesi definisce

lim_x→x0 f(x) = M = x₀

Per ogni intorno di x_{x0 x0 ∍ H}

Esiste un ancoro sotto xo: ∃ δ > 0 tale che (x_x0) tale che (f(x), appartiene alla semiretta, |f(x) - H|

⁸

C.V.D. ∃ c_δ ^{≤ δ}

x_x0 ∅ C.V.D. |f(x) - H

Limiti:

lim_{x → ∞} ^{3x3 - 2x + 1}/_{x⁴ + 2x³ + 1} = 0

1. Se il grado del numeratore < grado denominatore

limite = 0

2. Se il grado del numeratore = grado denominatore

limite = rapporto dei coefficienti

3. Se il grado del numeratore > grado denominatore

limite = infinito

lim_{x → ∞} ^{a_nxn + a_n-1xn-1 + ... + a₀}/_{bmx^m + bm-1x^m-1 + ... + b0} =

• ∞ se n > m
• 0 se n < m
• an/bm se n = m

2) Su podio di composizione

f(x) = x², se x < 0 lim_{x → 0^-} x² = 0 lim_{x → 0⁺} x² = 0

^lim_x→∞ ^x2/_e^x = ₀ lim_x→0⁺ ln(x) = -∞

lim_{x → 0} e^x - 1 = 0 lim_x→0 ^{e2 + x - e}/_x = lim_x→0 ^{x · ex}/₁ = 2 · e