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SE
= O =
1 SEXO
X -
- 11 SP
linf(x) 2 Dis
=
x +
> 0
- ((x)
lin 1
=
O -
30-
X -
I
1
- · 1
-
(
1() = x2
lim 1
=
-
>1
x -
linx l
1 ---O =
- +
· 1
>
x -
1
F 12
. & = 1
Se02X
x Q
+
f(x) = 12x13
XSE
G -
D [0 3]
= ,
limx x)
lin(a
a
+ -
=
- +
X 1
>1 x -
-
1 2
3
+ a =
-
a = 14
3 -
2
1- 6 3x
I
I
I
1 23
f(x) 3
Max =
Minf(x) 1
=
7 14
. 2x2
x3
f(x) 2
+ x
= -
-
Verif in 3]
o
teorema desui
che sodd 3
il ,
f( 3) 80
27 18 3
- 2
= + = -
+
- -
f(3) 27 18 2
= 4070
3 =
+ -
-
[ 9()
( 3]
c :
3 0
=
,
2x2
x3 + 0
2
x
- =
-
x2(x 1(x
2) 2)
+ + 0
=
- 0
(x 2)
1)(x =
+
. o x o
Eu lin
=
o
Lim
line
lin o
=
X -7 00
+
- 13x
22
lie x
+
>1
X -
lie 27
71
+ -
- log L
3
lie 0 =
x -1 -
-0
line 4
=
x - 1
7 21
.
lie 1)
Roys(x 5)
logy(x
+ =
+
-
X-3700
River 20938
o
+
>
x - lo
einfeli
too
-
X
-
F 22
.
Cimite
liv
=
(Nex-x)
Time CE-N
tin
>
-
* >- 00 00
X >
- - -
Cortex-vex) +
lim
7 00
X -
- - 2x -
x
+ x
-
x x4
2x
Rile x
+
+ lin
- -
& - 3
00
7
X ex =
- -
+
- x x 3 00
- - -
ex)
f(x)se
E
g(f(x)) =0
= f(x)]"SE f(x)0
[ 14 P(x)10
& x(0ex21
SE
f(x)10Se02x41
1
1 x
X -
- O mummux
mumm E SE
E XLO
g(f(x))
① = SEX11
1)2SEX9
( -
Le DERIVATE 14 (x)
f
, fe(x)
f1(x) x &
RAPPORTO INCREMENTALE
↓
* ALL'ASSEY
RISPETTO
VARIA La
Di X
QUANTO
2() x 11x 3
c =
=
= f()
3)
(( 15
3 -
+ =
=
=
↓
I E
RAPP
Derivabile QUANDO
INC Esiste
LIM DEL Ed
Il
FINITO
Pr e
e =
-
DERIVATA FUNZIONE
UNA
Di
funzione FUNZIONE
P(4) produrre Un'altra
SiPUÓ
Derivata di
Esempio &
x2f'()
f(x) 1
= =
l'klim
x2 1
f(x) f'(x) =
=
e
liu
3 +'Cr)
f(x) = e
eld -
=
sim
line si
Sx3 1
line - -02
1x Einer
- xx
30 70
>
-
1x -
-
DERIVATA SECONDA
La funzione derivata
essere
può
derivata volta
a sua
Differenziale funzione
una
di AL
FUNZIONE TANGENTE
INCREMENTO MISURATO
DELLA SULLA
G AfiCO PUNTO
FUNZIONE
DELLA NEL
l'(x0)
df(x0) Sx
= . x)
(x
E Euro
f(x) e() E
+
= -
. differenziale
Approssimare attraverso
funzione
Una il
Punti Deriabilita
son
di
. f(x) Ix) nel punto 0
= x =
~ i
2f(x) punto
nel o
X
= =
ANALOGAMENTE
+
ek) punto 9
Nel x =
= -
FUNZION A TRATTI
3 SEXC1
E =
Es x 1
f(x) -
= Sex11
enx
Regole Derivazione
di
f(x) costante o
--
POTENZE 1
2
2 - - X
-
(X
x 1
>3x3 >3
* - -
- 1
4 4x
X -
ax >
> -
-
~ 1
+n
D(x4) -
= w . -
1 -
-
1)
D(x
P(E) t
3 x >
-
= -
. -
1
2
2) - -
D(x -
P(EC) 1
+
= x -s
- -3
RADIZALI 1
2xt
x 1 - =
(V)) - =
1x
* =
= = 2
②
t
yx5
x 1
d((x) - 5
=
= =
funzione et
esponenziale
2 e (sempre)
=
ESPONENZIALE BASE
DI Q
at
D(a) eoga
=
funzione logaritmica
& (x) logx
=
DRoya E
=
D(logux) Flogue
=
I e(x)
f(x) 8
C 1
+e
xe -
es
atewa
at
ex ex
Flogne
loy ax
ex E
Regole (somma)
derivazione
di
Derivata SOMMA
della
g(x))
[f() g'(x)
f(x) +
+ =
ES : x4
20yx v
Y + -
= xz ax3
i + -
Ex 1 ux
-
E + -
4x3
c
E + -
DERVATA PRODOTTO
DEL 9)
f(x)
[e(x) y(x)
g(x)] f(x)
+
· = .
.
ES : 3 logx
22x) x
= . x
3x2Cogx
x 3
3 Coyx logx .
Dx + +
. =
.
DERIVATA DEL QUOZIENTE
e
9k)
#(4)
· -
Esempio
=
f(x) Le tue e
&
·
DELIVATA FUNZIONI COMPOSTE
DELLE
Df(g())
DF Dg()
= .
ESEMPIO
20gx
y = 1 c
1 =
.
2
log
Y = .
blog De
CALCOLARE CON
20
1 = log2xx
loyx)
x
ex) X
=
. - " 1)
Cog(
-
Y loy # 1)
Cog(x +
= +
= -
=
=
ESERCIZI
(
" = c())
i =
·
-
3x
y 7
jx +
= -
NEL 2
PUNTO XO =
f(x0) 9
=
l'(x) 3 f(xo) f(2) 7
Gx 0
= =
=
- -
2)
7(x
y 5
7x
-
y y -
=
- - =
⑳
= 2
c)
f(x) ( y()
Prf(x) f(x)
y(x)
Der
- +
- . .
x (x -
d(+f) -
= - c
2) 3
-
( 2)
2(x -
b -
- -
- 2 E
-2) +
#
27 f(x)
l'(x) g'(x)
f(x) g(x)
Cogex + -
= .
.
27 27.
logbx
logez E
+
. log
1] VEDERE
&
[s log 20gx
27 +
3 -C.
9k)
(x)
7(x) Derquoz
= ·
x2 1
+
-1.
I
#1-ax- RIVEDERE
2VX
-
1)2
(x2 +
=
(x)
+ .
+
**
l 3.
xx)2
1) 3(
* 1(x + +
+ -
-3(1 x)
2x +
+
V
-
1)9
(x + 3x
3
xE Gx
(
1 + -
+ -
+
x - -
114
k(x +
E
-
c)
(x (x)
f(x) +
x
= -
- E
210(x)
x xsexz0
E 2. =
2 se x
x
2) +
(x2 -
-
x =
- - SEx2 XLo
SE
x2 20 -
2
x x
+
+ - -
x 220
x f
-
- + +
+
I
1) 10
2(x
1)
x(x +
+ - --
1)20
( 2((x t
+ +
- -
x
X22 1vx12
-
x2 1
- 1 2
O
- 1
I
k + +
2) -
-
x -
- |
| +
+
x - -
[
x
f(x) SEX1
2 x
x
= -
-
-
2 2 xSE 1(X0
+ +
x
-X - -
x SEOX(2
-X + X + +
2
2 xSEx]2
+ +
x
x +
Teoremi derivate
sulle
Teorema ROLLE :
di b)
Ca
by
Ipotesi f(x) la delvable
y con
in
e
continua in
= ,
· ,
f(x) f(b)
= b)
FcE(m f'()
Tesl 0
con =
,
· Dimostrazione
: f(x) l'(x) XxE(a d)
k 0
é ossia
costante
funzione
se la > =
= - ,
E (1
11X(2 2)
SE
1
f(x) X + ,
= Se 2
2 x =
1 8
& >
Teorema Lagrange
di Ca
f(a) b)
by
Ipotesi la
y perivabile
e
in
continua con
in
=
· ,
,
f(a) f(b)
Tesi f =
el
b)
JCE(w
· con
,
Teorema L'HOPITAL
De Che SI NELLE
PRESENTANO
RISOLUZIONE
APPLICA
Si LIMMI
ALLA Del
FORMEINDETERMINATE :
8 ,
TESI :
Pin
↓ e
effettuare delle derivate
quoziente
Bisogna la
non
il
QUOMENTE
DERIVATA DEL
lun(
+ =
+ 8
logue
In
P g
=
e
Cogx)
line (x . =
ot
X >
-
Pro
=
I
livr EmEx
=
X - ot -
In 1)
Time (x3 +
x 00
+
-) 1x t e
lin -y(x
1)
eine +
100
+ - =
in 1) c
lin (ab 1
+ = =
x 00
- +
Formula Mclaurin
Turor e
di
APPROSSIMAZIONE
y ex
= em)(0) e VEN
e
(h(x) e
= = =
4 1 +
e 1 x
+ +
=
.
9 2 x2
x f(x) -
f(x) e 2xe
=
= - 2
2)e
f()
2]
I-2
TEOREMA IN
ROLLE
DI =
,
k) 2]
e
2 -2
continua in ,
f(x) 2)
[.
E Dervabile 2
in ,
e (((a) f(b)
=
- y()
b)
ct(u : 0
=
,
f(x) x2)
log(1 +
= I-2 2]
LAGRANGE
TEOREMA DI IN ,
9 [-2
k) 2]
CONTINUA In ,
e() 2)
(-2
Derbale in , =
l
= e'
b)
ct(c (
:
, e
lo si
Jc(72 =
1(
2) :
,
f(x) =
↓
i( =
live %
un
cloyf(x)9k)g()20g(()
(x(94)
↓ -
↓
Cine
↓ DELL'ESPONENTE
STUDIO
Circ
I
↓ L'HOPITAL
DE
DI
TEOREMA =
l
lie 9
-
x =
x
in
↳
.
9 el
limxjek-log(1 + -1] +0.
= BBOH
lin e
.
9 F .
19 00 0
=+ .
X -) 00
- (e)
*
xe Xe ex
e
= =
xet
line 00
3
X - - L'HOPITAL
TEOR DE
line Ex
x - -00
lie o
ex
x s
- - l line et
lin - 0 Ques =
X-3-00-et = 80
X 3 -
-
in =
L'HOPITAL
T DE
-
line X
lin to
X2
o
lin =
- + 0
line 1
f 0
= = =
x - + Too
o
in
entoo
line o 2
=
7
x - +
· 3)
vx
(x
line 1
+ +
-
>
X +
00
- I
vx
3)
(x +
lim 1
+ x 3
+
x +
- -
+00
X > -
+
- 2
+ x + 3
-
#
li
er
X- x2
00
+ x 3
+
x2 x2
lin 3
x
1 +
+
2x
+ -
-
xxx
o
+
x - 3
+ + +
lin o
X-
line = =
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x-
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