Matematica generale

A

linearmente indipendenti.

≤ {, },

Si può quindi dire che ovvero avrà al massimo un valore pari al numero più piccolo tra numero di righe e

numero di colonne.

= {, },

Quando si parla di rango pieno.

Per il calcolo del Rango si possono utilizzare 2 teoremi:

Teorema. Sia A una matrice di ordine (m, n). r(A) = k se e solo se in A si ha una sottomatrice di ordine (k, k) con

determinante non nullo e tutte le sottomatrici quadrate di A di ordine (k+1) hanno determinante nullo.

 Si dice MINORE di A di ordine k un determinante di una sottomatrice (k, k) di A.

Secondo il teorema precedente, quindi, perché il rango di A sia uguale a k, bisogna che un minore di ordine k sia non

nullo e che tutti i minori di ordine (k+1) siano nulli.

Questo teorema è utile per le matrici che siano al massimo di ordine 3. Risulta quindi più comodo l’algoritmo di

Kronecker.

Teorema (Algoritmo di Kronecker).

Sia A una matrice di ordine (m, n). r(A) = k se e solo se A possiede una sottomatrice (k, k) con determinante non nullo e

tutte le sottomatrici quadrate di ordine (k+1) ottenute orlando la sottomatrice precedente con una riga e una colonna di

A scelte a caso tra quelle escluse ha determinante nullo.

Esempio: Algoritmo di Kronecker e calcolo del Rango

−1 1 3 2 1

= [ ].

2 0 −1 2 2

0 2 5 6 4 ≤ 3,

Prima di procedere, si nota che perché la matrice ha solamente 3 righe.

Si sceglie un valore di k, ad esempio k = 2, e si cerca di verificare che r(A) = k.

- Si verifica che esista una sottomatrice (k, k) (quindi una 2 x 2) il cui determinante sia

diverso da 0.

2 0

det = 4 ≠ 0.

[ ] La condizione è verificata.

0 2 () ≥ 2:

Quindi, sappiamo che r(A) sarà uguale a 2 oppure a 3.

- A questo punto, si deve orlare questa sottomatrice in tutti i modi possibili, creando

quindi delle sottomatrici di ordine (k+1) (quindi delle 3 x 3).

Si dovranno aggiungere la riga 1 e, una alla volta, le colonne 3, 4 e 5, ovvero quelle

escluse dalla sottomatrice di partenza.

Si calcola poi il determinante di queste 3 x 3: 32

Luca Biglieri −1 1 3

det = 0

[ ]

2 0 −1

0 2 5

−1 1 2

det = 0

[ ]

2 0 2

0 2 6

−1 1 1

det = 0

[ ]

2 0 2

0 2 4

- Esiste una sottomatrice 2 x 2 con determinante diverso da 0 e tutte le possibili 3 x 3

che si possono ottenere orlando la 2 x 2 hanno determinante uguale a 0: si può

concludere che r(A) = 2.

4.4 Sistemi Lineari

4.4.1 Equazioni e Sistemi Lineari + + ⋯ + = .

Si definisce Equazione Lineare nelle incognite x , x , … , x un’equazione del tipo 1 1 2 2

1 2 n

Le a vengono definite Coefficienti, mentre b è il Termine Noto.

In un’equazione lineare, è necessario che tutte le incognite abbiano grado 1.

1

…

= [ … ], = [ ],

In termini vettoriali, si può identificare ovvero un vettore dei coefficienti, e ovvero un vettore

1

∙ = ,

delle incognite. Si avrà quindi che e ogni vettore delle incognite che soddisfa questa relazione viene definito

soluzione dell’equazione.

Si definisce Sistema di Equazioni Lineari nelle incognite x , x , … , x un sistema del tipo:

1 2 n

+ + ⋯ + =

11 1 12 2 1 1

…

{

+ + ⋯ + =

1 1 2 2

Questo sistema avrà quindi m equazioni e n incognite.

sarà un coefficiente del sistema che rappresenta il coefficiente assegnato a x nella m-esima equazione.

n

…

11 1 1

… … … …

= =

[ ], [ ],

Si potranno quindi identificare, in questo caso, ovvero la matrice dei coefficienti, il

(,) …

1

1

…

= [ ].

vettore delle incognite, e

= .

Un sistema di equazioni lineari, dunque, sarà sempre tale che

4.4.2 Possibilità e Determinazione di un Sistema Lineare

Un sistema lineare può essere possibile oppure impossibile e, nel primo caso, potrebbe ammettere una oppure infinite

soluzioni (ovvero, potrebbe essere determinato o indeterminato).

Per verificare se un sistema è possibile, si può utilizzare il seguente teorema:

Teorema di Rouché-Capelli.

= , ∈

Sia dato il sistema lineare con A di ordine (m, n) e . 33

Luca Biglieri () = ( ⋮ ), ⋮ ]

Il sistema è POSSIBILE se e solo se dove [ è la matrice orlata o aumentata, ottenuta aggiungendo

ad A il vettore colonna dei termini noti.

Dimostrazione (non in programma).

= è =

Il sistema possibile se e solo se esiste un vettore delle incognite x tale che

.

1

… =1

1 2 1

∑

= … ∙ = + ⋯ + = ∙ =

[ ] [ ] [ ] [ ]

Quindi, se e solo se 1

.

Quindi, equivale a dire che questo è vero se e solo se esistono i pesi x , … , x che

1 n

permettono di esprimere b come combinazione lineare delle colonne di A.

Quindi, se e solo se b è linearmente dipendente dalle colonne di A.

() = ( ⋮ ):

Quindi, se e solo se il rango di A è il numero delle colonne di A

linearmente indipendenti.

( ⋮ ), ( ⋮ ) ≥ (); ( ⋮ )

N.B.: In si aggiunge una colonna ad A. Quindi, in particolare, = r(A) oppure = r(A) + 1.

−() 0

() = ( ⋮ ). ∞ ∞ = 1.

Corollario. Sia In tal caso, il sistema ammetterà soluzioni. Si considera in questo caso

Il numero n - r(A) viene definito come i Gradi di Libertà del sistema e rappresenta il numero di parametri presenti tra le

sue soluzioni.

4.4.3 Calcolo delle Soluzioni

Per quanto riguarda il calcolo delle soluzioni di un sistema (dopo aver dimostrato che esso sia possibile e aver

determinato il numero delle soluzioni stesse), si può riscrivere il sistema in scrittura non matriciale e operare per

sostituzione.

In questa fase, sarà anche possibile depennare dal sistema una o più equazioni, se esse risulteranno linearmente

dipendenti a un’altra equazione del sistema; per verificare che questa operazione venga fatta correttamente, si verifica

il rango: il rango della matrice ottenuta depennando una delle equazioni dovrà essere uguale al rango della matrice

( ⋮ ).

Si può inoltre effettuare il calcolo delle soluzioni di un sistema in forma matriciale. In questo caso, il procedimento sarà

diverso a seconda delle caratteristiche della matrice dei coefficienti A:

 ≠

A è quadrata e non singolare: A è una nxn e det A 0.

In questo caso, la matrice A sarà invertibile (dal momento che il suo determinante è diverso da 0). Quindi,

= ,

partendo dal sistema lineare si avrà: −1 −1

= => =

−1

=

−1

=

= => =

In sostanza, si procede come se fosse un’equazione numerica, in cui .

Questo procedimento, tuttavia, è scomodo per matrici di ordine elevato, perché trovare la matrice inversa

richiede molti calcoli: si può utilizzare, quindi la Regola di Cramer.

= ∀ ∈ ,

Teorema di Cramer. Sia con A quadrata. Il sistema è possibile e determinato, se e solo se

det ≠ 0. 34

Luca Biglieri

Da questo Teorema deriva la REGOLA DI CRAMER:

= , det ≠ 0.

Sia con A quadrata e

det

= , = 1 … , dove A è la matrice che ha tutte le colonne uguale ad A tranne la i-esima, che è uguale al

i

det

vettore b.

 A è quadrata e singolare: det A = 0.

Se det A = 0, il rango della matrice A sarà inferiore al numero delle sue colonne; pertanto, il sistema sarà

possibile ma indeterminato.

Per trovare le soluzioni, si potrà trovare una matrice equivalente ad A, eliminando una riga e una colonna e

mantenendo lo stesso rango, per poi applicare la regola di Cramer: bisognerà quindi depennare una delle

equazioni del sistema che sia combinazione lineare delle altre equazioni.

Alla fine di questo procedimento, si troveranno le soluzioni del sistema, alcune delle quali saranno dei

parametri.

 A non è quadrata.

In questo caso, si calcola r(A) e poi si procede risolvendo il sistema in forma algebrica oppure applicando la

regola di Cramer.

4.4.4 Sistemi Lineari Omogenei = .

Un Sistema Omogeneo è un sistema lineare in cui b = o: (,) () = ( ⋮ )

Provando ad applicare il teorema di Rouché-Capelli, si nota che per ogni matrice A, dal momento che il

vettore nullo sarà sempre combinazione lineare di tutte le colonne di A: pertanto, un sistema lineare è sempre possibile

(e potrà essere determinato o indeterminato, a seconda dei casi).

Inoltre, x = o sarà sempre una delle soluzioni del sistema.

Esempio: Tema d’Esame

Verificare per quali valori di k il sistema è determinato o indeterminato.

0 −4

= [ ];

−1 3 0 b = o.

0 −2 −

Il sistema sarà sempre possibile perché è omogeneo. Sarà determinato quando r(A) = n = 3;

se r(A) < 3, sarà indeterminato.

≠

Quindi, se det A 0, sarà determinato; altrimenti, sarà indeterminato.

≠ ≠

2

det A = -8 +12 – k => Se k +2 e k -2, r(A) = 3 e il sistema è determinato.

Se k = 2 V k = -2, r(A) < 3. In particolare, r(A) sarà = 2 perchè esiste una sottomatrice 2x2 di A

≠

con det 0.

Soluzioni del sistema per k = -2. −2 − 4 = 0

0 −2 −4 − + 3 = 0

= [ ], {

−1 3 0 che equivale al sistema lineare −2 + 2 = 0

0 −2 2

Si depenna quindi la prima equazione, ottenendo una matrice dei coefficienti 2x2, in questo

− + 3 = 0 = 3 = −6

=>

{ { {

modo: => .

= −2

− 2 = −2 3 − 2 = −2

−6 , ∀ ∈ .

[ ]

−2

Il vettore delle soluzioni, quindi, sarà: 35

Luca Biglieri 36

Luca Biglieri

5. Derivate