Matematica generale

Luca Biglieri Matematica Generale

Corso AK – Prof. Molho – A.A. 2014/15

1. Insiemi numerici

1.1 Introduzione; concetti generali su Q e R

Tra gli insiemi numerici più importanti, si ricordano N (numeri interi naturali), Z (interi relativi), Q (razionali, esprimibili sia sotto forma di frazioni che di numeri decimali), R (numeri reali, che comprendono anche gli irrazionali come radicali, π, e, √−1) e C (numeri complessi, come i). Riguardo all’insieme Q, si ricorda che, tra due numeri q e q′ ∈ Q, esiste sempre almeno un altro numero q′′ ∈ Q:

• ∀ q₁, q₂ ∈ Q, ∃ q₃ ∈ Q: q₁ < q₃ < q₂.

Per quanto riguarda, invece, l’insieme R, esso comprende anche i numeri irrazionali ed è possibile dimostrare che, tra due numeri q₁ e q₂ ∈ Q, esistono infiniti numeri irrazionali ∈ R (basti pensare alla retta dei numeri: fissati q₁, q₂ e il punto medio tra essi, si può costruire un quadrato che abbia come estremi della base q₁ e il punto medio e individuare la diagonale √2, che, trasportata anch’essa sulla retta dei numeri, avrà lunghezza un numero, cioè, appartenente a R). Gli irrazionali, dunque, sono infinitamente densi e hanno una corrispondenza biunivoca con la retta dei numeri. Bisogna inoltre ricordare che un numero irrazionale come √2 ≠ 1,4; è corretta, invece, la dicitura ∼ 1,4.

1.2 Insieme R: struttura algebrica, d’ordine, topologica

1.2.1 Struttura algebrica di R

La struttura algebrica di R consiste nelle operazioni di somma e prodotto, che vengono assiomaticamente definite in tale sistema numerico: è possibile, infatti, svolgere calcoli come √2 + 5√3 oppure √2√3.

1.2.2 Struttura d’ordine di R

La struttura d’ordine di R permette di stabilire, se ∀ x, y ∈ R, x > y, x < y, x = y. La struttura d’ordine permette di introdurre il concetto di intervallo in R, ovvero un sottoinsieme di R tale che due punti ad esso appartenenti possono essere uniti senza uscire dall’intervallo stesso (ad esempio, R è un intervallo, mentre N non lo è). Gli intervalli in R si dividono in:

• Limitati:
  • [a, b] = intervallo chiuso e limitato; {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}
  • [a, b) = intervallo aperto a destra e limitato; {x ∈ R: a ≤ x < b}
  • (a, b] = intervallo aperto a sinistra e limitato; {x ∈ R: a < x ≤ b}
  • (a, b) = intervallo aperto e limitato; {x ∈ R: a < x < b}
• Illimitati:
  • [a, +∞) = intervallo chiuso e superiormente illimitato; {x ∈ R: x ≥ a}
  • (a, +∞) = intervallo aperto e superiormente illimitato; {x ∈ R: x > a}
  • (-∞, b] = intervallo chiuso e inferiormente illimitato; {x ∈ R: x ≤ b}
  • (-∞, b) = intervallo aperto e inferiormente illimitato; {x ∈ R: x < b}
  • (-∞, +∞) = R

È possibile introdurre, all’interno degli intervalli, i concetti di maggiorante e minorante:

• k ∈ R si dice MAGGIORANTE per un insieme A ⊆ R quando k ≥ a ∀ a ∈ A. L’insieme dei maggioranti di un insieme A si definisce Magg A. Esempio: A = (-∞, 2). Un maggiorante è, ad esempio, 3. In generale, Magg A = [2, +∞). Esempio: B = (1, 3] ∪ (5, 7). Magg B = [7, +∞). Esempio: N non ha maggioranti: è superiormente illimitato.
• h ∈ R si dice MINORANTE per un insieme A ⊆ R quando h ≤ a ∀ a ∈ A. L’insieme dei minoranti di un insieme A si definisce Min A.

Di seguito a queste definizioni, si possono stabilire anche le condizioni di limitatezza di un insieme numerico:

• Un insieme A ⊆ R si dice SUPERIORMENTE LIMITATO se esiste almeno un maggiorante di A (se Magg A ≠ ∅).
• Un insieme A ⊆ R si dice INFERIORMENTE LIMITATO se esiste almeno un minorante di A (se Min A ≠ ∅).
• Un insieme A ⊆ R si dice LIMITATO se è sia superiormente che inferiormente limitato.

Dalle definizioni di maggiorante e minorante si nota che due numeri k e h che siano rispettivamente un maggiorante e minorante di A devono essere ∈ R, ma non necessariamente ∈ A. Nel caso particolare in cui k o h appartengano anche ad A, essi vengono definiti massimo o minimo dell’insieme A:

• k si dice MASSIMO per A ⊆ R (e si indica con max A) se k ∈ A e k ≥ a ∀ a ∈ A (ovvero, se k ∈ A ed è maggiorante di A).
• h si dice MINIMO per A ⊆ R (e si indica con min A) se h ∈ A e h ≤ a ∀ a ∈ A (ovvero, se h ∈ A ed è minorante di A).

Il massimo o il minimo di un insieme numerico esistono solo se esistono maggioranti o minoranti per l’insieme stesso (ovvero, se l’insieme è superiormente o inferiormente limitato: condizione necessaria):

• ∃ max A → A è chiuso superiormente.
• ∃ min A → A è chiuso inferiormente.

Tali implicazioni non sono invertibili: la condizione è necessaria, ma non sufficiente. Dai concetti di limitazione, di maggiorante e di minorante derivano anche le definizioni di estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme numerico:

• Sia A ⊆ R un insieme superiormente limitato. Si dice ESTREMO SUPERIORE di A (e si indica come sup A) il minimo dei maggioranti di A.
• Sia A ⊆ R un insieme inferiormente limitato. Si dice ESTREMO INFERIORE di A (e si indica come inf A) il massimo dei minoranti di A.

N.B.: se esiste max A, sup A = max A; se esiste min A, inf A = min A.

1.2.3 Struttura topologica di R

Come già accennato, l’insieme R possiede anche una struttura topologica o metrica che va a definire il concetto di “distanza” o “vicinanza” tra due numeri reali.

• Si dice DISTANZA tra due numeri x e y ∈ R il valore d(x, y) = |x – y|.

Dalla definizione di distanza si arriva facilmente a quella di intorno di un numero reale:

• Preso x₀ ∈ R, si dice INTORNO di raggio r di x₀ ( I_r(x₀) = {x ∈ R | |x – x₀| < r}, r > 0). Un intorno corrisponde a un intervallo: I_r(x₀) = (x₀ − r, x₀ + r).

Spiegazione: si può anche dire che |x – x₀| < r → x₀ − r < x < x₀ + r, il che corrisponde all’intervallo precedentemente determinato. Un punto x₀ ha infiniti intorni, perché gli intorni variano al variare di r, che può assumere qualsiasi valore di R.

Si possono poi individuare anche le definizioni di intorno destro e sinistro:

• Si dice INTORNO DESTRO di raggio r di x₀ I_r⁺(x₀) = [x₀, x₀ + r).
• Si dice INTORNO SINISTRO di raggio r di x₀ I_r^-(x₀) = (x₀ − r, x₀].

Se si opera in R*, si possono individuare anche gli intorni di ±∞:

• I_r(+∞) = (a, +∞), a ∈ R.
• I_r(−∞) = (−∞, b), b ∈ R.

Anche ±∞ hanno infiniti intorni, perché a e b possono assumere tutti i valori di R.

1.3 Classificazione di un punto rispetto a un insieme

Dati un insieme A ⊆ R e un punto x₀:

• Il punto x₀ ∈ A si dice PUNTO INTERNO di A se esiste un intorno I_r(x₀) tale che I_r(x₀) ⊆ A. L’insieme dei punti interni di A si dice int A.

Esempio: A = (2, 3].

• x₀ = 2,5 è un punto interno di A.
• x₀ = 3 non è un punto interno: l’intorno completo non è A.

int A = (2, 3)

• L’insieme A ⊆ R si dice INSIEME APERTO quando int A = A. (Sono insiemi aperti tutti gli intervalli aperti)
• L’insieme A ⊆ R si dice INSIEME CHIUSO quando A^C (ovvero R\A) è un insieme aperto. (Sono insiemi chiusi gli intervalli di tipo [a, b], (-∞, b], [a, +∞))

Esempio: A = (2, 3]

• A^C = (-∞, 2] ∪ (3, +∞)

int A ≠ A, perché x₀ = 2 ∈ A ma non ∈ int A. Quindi, A non è un insieme chiuso; A = (2, 3] non è aperto né chiuso.

Un insieme A ⊆ R può non essere aperto né chiuso; inoltre, gli unici due insiemi ad essere sia aperti che chiusi sono R e Ø.

N.B.: Se A non è un intervallo, nessun elemento di A sarà un punto interno (ovvero, A non sarà un insieme aperto e int A = Ø.

• Il punto x₀ ∉ A si dice PUNTO ESTERNO di A quando x₀ è un punto interno di A^C. L’insieme dei punti esterni di A si indica con ext A.
• Il punto x₀ ∈ R è PUNTO DI FRONTIERA di A quando x₀ non è né punto interno né punto esterno di A. L’insieme dei punti di frontiera di A si indica con δA.

Questa classificazione è completa: dati x₀ e A ⊆ R, x₀ sarà punto interno, esterno oppure di frontiera di A.

Esempio: A = (2, 3]

• Int A = (2, 3)
• Ext A = (-∞, 2) ∪ (3, +∞)
• δA = {2, 3}

Teorema. Un insieme A ⊆ R è un INSIEME CHIUSO se e solo se δA ⊆ A.

Si può quindi arrivare a un’ulteriore definizione di Punto di Frontiera:

• Un PUNTO DI FRONTIERA di A è un punto tale che in ogni suo intorno cadono sia elementi di A che elementi che non appartengono ad A.
• Il punto x₀ ∈ R si dice PUNTO DI ACCUMULAZIONE di A ⊆ R quando in ogni intorno I_r(x₀) cade almeno un punto x ∈ A, con x diverso da x₀. Ovvero, I_r(x₀) ∩ (A\{x₀}) ≠ ∅, ∀ r > 0.

Un punto di accumulazione di A, quindi, può anche non appartenere ad A.

• Il punto x₀ ∈ R si dice PUNTO ISOLATO per A ⊆ R quando x₀ non è punto di accumulazione per A. Ovvero, ∃ r > 0: I_r(x₀) ∩ A = ∅.
• L’insieme dei punti di accumulazione di A ⊆ R si dice INSIEME DERIVATO e si indica con A’.

Si può notare come int A ⊆ A’: quindi, se un punto x₀ è un punto interno di A, sarà anche un suo punto di accumulazione.

Pertanto, si può estendere anche la definizione di Insieme Chiuso:

• Se un insieme A contiene tutti i suoi punti di accumulazione (A’ ⊆ A), allora A sarà un INSIEME CHIUSO.

In maniera simile, si nota anche che ogni punto isolato di A è anche un punto di frontiera di A.

Allargando il concetto di punto di accumulazione in R*, si può arrivare facilmente alle definizioni di insiemi illimitati:

• A ⊆ R è SUPERIORMENTE ILLIMITATO se e solo se +∞ è un punto di accumulazione di A in R*.
• A ⊆ R è INFERIORMENTE ILLIMITATO se e solo se -∞ è un punto di accumulazione di A in R*.

Ad esempio, l’insieme Q è sia superiormente che inferiormente illimitato, dal momento che sia +∞ che -∞ sono suoi punti di accumulazione. Inoltre, Q è denso in R: tutti i suoi punti sono punti di accumulazione, non ha alcun punto isolato.

2. Funzioni

2.1 Concetti generali

• Siano dati gli insiemi A e B. Si dice FUNZIONE definita su A in valori in B (f: A→B) una relazione che lega ogni elemento di A ad un solo elemento di B.
• A si dice DOMINIO della funzione e si può indicare con Dom(f).
• B si dice CODOMINIO della funzione e si può indicare con Codom(f).
• Un elemento y ∈ B (ovvero ∈ Codom(f)) si dice IMMAGINE di x attraverso f.
• Un elemento x ∈ A (ovvero ∈ Dom(f)) si dice CONTROIMMAGINE di y attraverso f.
• L’INSIEME DELLE IMMAGINI di f, indicabile con Im(f) oppure con f(A) è definito come:

{y = f(x) | x ∈ A, y ∈ B}

Ad esempio, nel caso di f(x) = x², f: R→R, si avrà che Im(f) ⊆ B. In particolare, B corrisponderà a R, mentre Im(f) sarà l'insieme dei valori che f può realmente assumere: Im(f) = [0, +∞), quindi Im(f) ⊆ R. Per quanto riguarda, invece, il Dominio, bisognerà determinarlo a seconda della funzione, trovando quindi il Dominio Naturale della funzione stessa: ad esempio, f(x) = √x avrà un dominio naturale Dom(f) = [0, +∞).

• Sia f una funzione tale che f: A→R, con A ⊆ R. Si dice GRAFICO di f e si indica con graf(f) l’insieme A x R tale che:

{(x, y) = (x, f(x)) | x ∈ A}

Data una funzione f: A→B, è possibile verificare che sia effettivamente una funzione tracciandone il grafico e svolgendo il Test delle Rette Verticali: se tutte le rette verticali tracciabili hanno al massimo 1 intersezione con il grafico di f, allora f sarà una funzione. Ad esempio, saranno funzioni le parabole, le iperboli, le rette non verticali; non sono funzioni, invece, le circonferenze e le parabole a concavità orizzontale.

• Una funzione f: A→B si dice INIETTIVA quando, ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≠ x₂, → f(x₁) ≠ f(x₂).

Per verificare che una funzione sia iniettiva, si svolge il Primo Test delle Rette Orizzontali: se tutte le rette orizzontali tracciabili hanno al massimo 1 intersezione con il grafico di f, allora f sarà iniettiva. Ad esempio, una parabola non è iniettiva perché alcune rette intersecheranno il suo grafico in 2 punti; la funzione esponenziale y = e^x, invece, è iniettiva, come anche y = log x.

• Una funzione f: A→B si dice SURIETTIVA quando Im(f) ≡ B, ovvero quando ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A tale che y = f(x).

Tutte le y, quindi, devono avere una controimmagine x. Si può verificare che una funzione sia suriettiva con il Secondo Test delle Rette Orizzontali: se tutte le rette orizzontali tracciabili hanno almeno 1 intersezione con il grafico di f, allora f sarà suriettiva. Ad esempio, y = e^x non è suriettiva, mentre y = log x lo è.

• Una funzione f: A→B si dice BIIETTIVA o BIUNIVOCA quando è sia iniettiva che suriettiva.

Per verificare la biunivocità di una funzione, si usa il Terzo Test delle Rette Orizzontali: se tutte le rette orizzontali tracciabili hanno una e una sola intersezione con il grafico di f, allora f sarà biunivoca.

2.2 Funzioni composte

Si supponga di avere f: A→B e g: C→D. Tuttavia, si ha anche che Im(f) ⊆ C: quindi, B≡C. Partendo da un elemento x in A, dunque, si otterrà un elemento z contenuto in B tramite l’applicazione di f e, in seguito, z subirà la trasformazione (rappresentata dalla funzione g) in un elemento y contenuto in D. Si può quindi trovare una funzione g(f): A→D, ovvero la funzione composta di f di g:

• Siano f: A→B e g: C→D, con Im(f) ⊆ C. Si dice FUNZIONE COMPOSTA fra f e g la funzione g(f): A→D tale che:

(g ○ f)(x) = g(f(x)), ∀ x ∈ A

Esempio: f(x) = 3x – 4; g(x) = e^x.

• g(f(x)) = e^3x-4 = e^f(x)
• f(g(x)) = 3e^x – 4

Esempio (tema d’esame): f(x) = 2e^3x; g(x) = 4x. Trovare f(g(-1)).

• g(-1) = -4
• f(g(-1)) = 2e^-4 = 2

Occorre fare attenzione nella composizione di funzioni che hanno un dominio diverso l’una dall’altra: Im(g) deve essere Dom(f).

Esempio: f(x) = √x; g(x) = x – 1.

• g(f(x)) = √(x – 1)
• f(g(x)) = √(x – 1), ma si tiene conto di Dom(f(g)): x ≥ 2

2.3 Funzioni inverse

Se si ha f: A→B e si vogliono scambiare dominio e codominio mantenendo le associazioni tra gli elementi (ovvero mantenendo le coppie (x₁, y₁), (x₂, y₂),…) si può utilizzare lo strumento della funzione inversa. Va ricordato che una funzione è invertibile soltanto se è iniettiva.

• Sia f: A→B iniettiva. Si dice FUNZIONE INVERSA di f la funzione f^-1: Im(f)→A tale che x = f^-1(y) se e solo se y = f(x).

Esempio: f(x) = (3x – 1)/(4x + 2).

• y = (3x – 1)/(4x + 2) → (4xy + 2y) = 3x – 1 → x(4y – 3) = −2y − 1 → x = (3y + 1)/(4y − 2) = f^-1(x).

Per invertire una funzione iniettiva, dunque, sarà sufficiente esprimere la x in funzione della y. Graficamente, si noterà che le due funzioni saranno simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (y = x).

2.4 Massimi, minimi, estremi

Una funzione f si dice LIMITATA se la sua Immagine Im(f) è un insieme limitato (la definizione continua nel documento originale, ma è stata interrotta qui per il compito richiesto).